高等數(shù)學(xué)1-5無窮大與無窮小ppt課件

1、北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系21lim()1nnnn北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系無窮是一個永恒的謎無窮是一個永恒的謎 HilbertHilbert第五節(jié) 無窮小和無窮大（一） 無窮?。ǘ?無窮大（三） 二者關(guān)系（四無窮小的階北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系一、無窮小0 x 時定義定義1：在自變量的某種趨勢下，以零為極限：在自變量的某種趨勢下，以零為極限的函數(shù)變量稱為無窮小量，簡稱無窮小的函數(shù)變量稱為無窮小量，簡稱無窮小.例如：例如：2, sin , tan , 1 cos , tansinxxxxxx21,arctan2xexx.是無窮小量x 時是無窮小量.北京理工大學(xué)數(shù)

2、學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系注意注意（1無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;（3零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).（2無窮小是變量的一種變化趨勢無窮小是變量的一種變化趨勢;北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例如例如,11lim0,1xxx11.1xxx函數(shù)是當(dāng)時的無窮小, 01lim xx.1時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn10lim0 xxe北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系10lim0.xxe例1、證明證證01xe要使1lnx只要1ln 取10,lnx當(dāng)

3、時1xe有10lim0 xxe1lnx只要1)(不妨設(shè)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:意義意義（1將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題 (無窮小無窮小);02( )f xx（ ）給出了函數(shù)在附近的近似表達式( )f xA( ).x誤差為北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系3、無窮小的運算性質(zhì)、無窮小的運算性質(zhì):定理定理2 在同一過程中在同一過程中, 有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .33312limnn

4、nnn例如, 22212limnnnnn北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一過程中在同一過程中, 有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論推論2 常數(shù)有界量與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)有界量與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.,0 x 例如 當(dāng)時都是無窮小都是無窮小注意無窮多個無窮小的乘積未必是無窮小注意無窮多個無窮小的乘積未必是無窮小. .1sinxx21,arctanxx北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系二、

5、無窮大北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1limtan2xx ，lim ln,xx 特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或01limxx ，limxxe 2limxx 0lim lnxx 0lim cot,xx 10limxxe 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系0lim ln.xx 例2、證明證證0Mln xM 要使Mxe只要Me取0Mxe當(dāng)時ln xM 有0lim ln.xx 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系10lim.xxe 例3、證明證證1M1,xeM要使1ln,Mx只要1,lnM取10,lnxM當(dāng)時

6、1xeM有10lim.xxe 1lnxM只要北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系注意注意（1無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量, 但是無界變量未必是無窮大但是無界變量未必是無窮大.)(lim20認認為為極極限限存存在在）切切勿勿將將（ xfxx110sinxyxx例如,當(dāng)時,是無界變量，是無界變量，但不是無窮大量但不是無窮大量北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系lim( )xaf x 若 lim( )xf xA若 lim( )xaf x 或( )xayf x稱直線為曲線的垂直漸近線,lim( ),xaf x

7、或,lim( )xaf x 或,lim( )xf xA或( )yAyf x稱直線為曲線的水平漸近線北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ; 恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論, , 都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系四、無窮小的階及其比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02210, ,3 ,sin ,sin.xxx xx xx當(dāng)時都是無

8、窮小極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不快慢程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx, 0 , 1 比較比較北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系( )(1)lim0( )xx如果，定義定義: :( ), ( ),( )0.xxx設(shè)是中的兩個無窮小且同一過程( )(2)lim0( )xCx如果1,( )( )Cxx等價的如果稱與是無窮?。? )( )xx低階的稱是的無窮??；( )( )xx高階的稱是的無窮小；( )( ( )xox記作：；( )( )xx同階的稱與是無窮??；( )( ( )xOx記作：( ) ( )xx記作：；北京理

9、工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系( )(3)lim0,0, ( )kxCkx如果(0)xxx通常，當(dāng)時，取為標(biāo)準(zhǔn)無窮?。?.)xkx的階是無窮小稱( )()xxaxa當(dāng)時，取為標(biāo)準(zhǔn)無窮小；1( )xxx當(dāng)時，取為標(biāo)準(zhǔn)無窮??；( )( )xxk若是標(biāo)準(zhǔn)無窮小的 階無窮小，( )kx稱：是 階無窮小。北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系20lim0 xxx，1sinlim0 xxx20;xxx當(dāng)時，是 的高階的無窮小2( ) (0).xo xx即是是等等價價無無窮窮小小與與時時，當(dāng)當(dāng)xxxsin0).0(sinxxx即即例如，例如，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例4 4.sintan,0:的

10、三階無窮小的三階無窮小為為時時當(dāng)當(dāng)證明證明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系210nxxnZ練習(xí)：求-1當(dāng)時的階 ()？是不是任意兩個無窮小？是不是任意兩個無窮小 都可以進行階的比較都可以進行階的比較,1)(xxf xxxgsin)( )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大x 時的無窮小北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系(.2)o與

11、是等價無窮小的充要條件為 定理稱是的主要部分意義：用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式意義：用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式例如例如,).(21cos122xoxx ,0時時當(dāng)當(dāng) xxycos1 221yx 2121 cos xx北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當(dāng)當(dāng) x sin tanxxx arcsin arctanxx ln(1) 1xxe(1)11lnaxxaaa211 cos2xx北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例5 5解解sin112cosxx1 tan1 sin0 xx x求無窮小量的階 1tan1 sin1tan1 sin1ta

12、n1 sinxxxxxxtansin2xx sin x x1無窮小量為 階無窮小量。北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容:定義定義;定理定理;推論推論.2、幾點注意、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮小大是變量無窮小大是變量,不能與很小大的數(shù)混淆，不能與很小大的數(shù)混淆， 零是唯一的無窮小的數(shù)；零是唯一的無窮小的數(shù)；（2 2無窮多個無窮小的代數(shù)和乘積未必是無窮??；無窮多個無窮小的代數(shù)和乘積未必是無窮?。唬?） 無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系3、無窮小的比較、無窮小的比較反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢兩無窮小趨于零的速度快