二次函數(shù)與一元二次方程知識點及經(jīng)典例題

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考學(xué)習(xí)資料二次函數(shù)yrax2+bx+c與ax2+bx+c =0( a0)的關(guān)系1、 一元二次方程 ax2+ bx+ c =0 (0)的根是二次函數(shù) y=ax2+ bx+ c ( a* 0)與 x 軸交 點的橫坐標(biāo)，反之 y=ax2+ bx+ c (a* 0)與 x 軸交點的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+ bx+ c =0 ( a* 0)的根；2、 一元二次方程 ax2+ bx+ c =0 (a* 0)根情況的判別即二次函數(shù)y=ax2+ bx+ c (a* 0)與 x 軸交點個數(shù)情況：判別式厶直接看方程平移例 1 拋物線 y=ax2+ bx+ c 圖像如下，貝 U1ax2

2、+ bx+ c =0 的根有()個2ax2+ bx+ c+3 = 0 的根有( )個3ax2+ bx+ c- 4= 0 的根有( )個rxa - 3例 2:若關(guān)于 x 的不等式組 丿無解，則二次函數(shù) y= ( a-2) x2-x + 與 X氣4* 蘭15 - 5a軸交點有( )個；2例 3: 一元二次方程y =17(X83)-227與 X 軸的交點個數(shù)為()個；例 4 :二次函數(shù) y=ax2+ bx+ c ( a* 0)的圖像如圖所示，根據(jù)圖像解答下列問題：(1)寫出方程 ax2+ bx + c =0 的兩個根；(2)寫出不等式 ax2+ bx + c 0 的解集；(3)寫出 y 隨 x 的增

3、大而減小的自變量 x 的取值范值；(4)若方程 ax2+ bx+ c =k 有兩個不相等的實數(shù)根，求k 的取什范圍。bc3、韋達(dá)定理在二次函數(shù) y=ax2 + bx+ c (a* 0)中的應(yīng)用( X，X?,y-i 已知其中一個交點，求另一個交點：2例 5：若拋物線 y=x_2x m與 X 軸的一個交點是(一 2,0)則另一個交點是( 求兩交點 A,B 線段的長度AB = (xi X2)24xiX22例 6 :若拋物線y =X ax -3與 X 軸的交點為 A, B,且 AB 的長度為 10,求 a27T-2 3)；學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考學(xué)習(xí)資料利用韋達(dá)定理求面積：2例 7:拋物線y =

4、_x 2x m與 X 軸的一個交點是 A(3 , 0),另一個交點是 B,且學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考學(xué)習(xí)資料(1)求此二次函數(shù)的解析式；()5(2)是否存在過點 D(0，)的直線與拋物線交于點 M、N,與 x 軸交于 E 點,2使得 M、N 關(guān)于點 E 對稱？若存在，求直線 MN 的解析式；若不存在，請說明理由。4、拋物線 ax2+ bx+ c =0 與 x 軸交點及對稱軸之間的關(guān)系;設(shè)拋物線與 x 軸的交點為 A(x1, 0)和 B (x2，0)則對稱軸為直線5.若二次函數(shù) y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的圖象與坐標(biāo)軸共有兩個交點，則a 可與 y 軸交于點 C,(1 )求 m 的

5、值；(2)求點 B 的坐標(biāo);(3)該二次函數(shù)圖象上有一點y)(其中 x0, y0)，使s出BD=S-ABC，求點 D 的坐標(biāo)。例 5:已知如圖，二次函數(shù)2y = _X 2(m2)x m 2與 x 軸于 A,B 兩點，若0A:0B=3:1，求 m2例 6：已知二次函數(shù)y =x-(m 1)x - m的圖像交交 y 軸正半軸于點2 2C，且xiX2=10。X二X1X2，拋物2線任縱坐標(biāo)相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱，即若有M (X1, k), N (X2，k),則則對稱軸為直線x = XX222例 10：已知二次函數(shù)y - - x 2x m的部分圖像如圖所示，則關(guān)于X 的一元二次方2程-X2x 0的解是(

6、)xx 軸于A(為，學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考學(xué)習(xí)資料取()6.已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c ( a 0)經(jīng)過點 M ( -1 , 2)和點 N ( 1 , -2 ),交 x 軸 于 A, B 兩點，交 y 軸于 C.則：b=-2 ； 該二次函數(shù)圖象與 y 軸交于負(fù)半軸； 存在這樣一個 a ,使得 M、A、C 三點在同一條直線上； 若 a=1 ,則 OA?OB=OC2.以上說法正確的有()A . B . C . D .解析：解：T二次函數(shù) y=ax2+bx+c (a 0)經(jīng)過點 M( -1 , 2)和點 N(1 , -2 ),a- b+c-2 = a+b+c解得 b=-2 .故該選項正

7、確.2方法一 ：二次函數(shù) y=ax2+bx+c , a 0該二次函數(shù)圖象開口向上點 M (-1 , 2)和點 N (1, -2 ),直線 MN 的解析式為 y=-2x ,根據(jù) 拋物線的圖象的特點必然是當(dāng)-1vxV1 時，二次函數(shù)圖象在 y=-2x 的下方，該二次函數(shù)圖象與 y 軸交于負(fù)半軸；方法二：由可得 b=-2 , a+c=0 ,即 c=-av0, 所以二次函數(shù)圖象與 y 軸交于負(fù)半軸.故該選項正確.3根據(jù)拋物線圖象的特點,M A、C 三點不可能在同一條直線上. 故該選項錯誤.4當(dāng) a=1 時，c=-1 , 該拋物線的解析式為 y=x2-2x-1當(dāng) y=0 時，0=x2-2x+c，利用根與

8、系數(shù)的關(guān)系可得 x1?X2=c, 即 OA?OB=|c| ,當(dāng) x=0 時，y=c ,即 OC=|c|=1=OC2,若 a=1 ,貝UOA?OB=OC,故該選項正確.總上所述正確. 故選 C.7.如圖，在 平面 直角坐 標(biāo)系 xOy 中，一次函數(shù) y1=kx+b ( k豐0)與反 比 例函數(shù) y2= m/x( mv0)交于 A (-2 , n)及另一點 B,與兩坐標(biāo)軸分別交學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考學(xué)習(xí)資料于點 C、D.過 A 作 AH 丄 x 軸于 H,若 0C=20H 且厶 ACH的面積為 9.(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式及另一交點 B 的坐標(biāo)；(2)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng) y

9、i y2時自變量 x 的取值范圍.解析：(1 A (-2 , n), 0H=2, OC=2OH=4CH=2+4=6, SAACH= 1/2CH?|yA|= 1/2X6?= 9n=3 ,( 2 分).A (-2 , 3) , C ( 4 , 0),一次函數(shù)圖象過點 A (-2 , 3) , C ( 4, 0),y1= - 1/2x+2 .（ 4 分） 3 = m/-2 ,.B （6, -1 ） ;（ 8 分）（2） xv-2 或 0vxv6 （10 分）8.已知二次函數(shù) y=x2+ax+a-2(1)說明 y=axA2+ax+a-2 與 x 軸有兩個不同交點(2)求出交點距離(用 a 的表達(dá)式)解析：因為= a * 2-4(a-2)=(a-2) * 2+4 0,(即 y=0 時，方程 xA2+ax+a-2 = 0 有兩 個不同的實數(shù)根)，故 y=xA2+ax+a-2 與 x 軸有兩個不同交點。(2)令交點坐標(biāo)為(x1,0)、(x2,0),且：x2 x1，故：交