空間向量在立體幾何中的應(yīng)用重點知識+高考真題+模擬精選

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 （重點知識+高考真題+模擬精 選）作者:日期:空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【重要知識】一、求平面法向量的方法與步驟 ：1、選向量：求平面的法向量時 ，要選取兩個相交的向量，如aB,aC2、設(shè)坐標(biāo)：設(shè)平面法向量的坐標(biāo)為 n (x,y,z)n AB 03、解方程：聯(lián)立方程組.，并解方程組n AC 04、定結(jié)論：求出的法向量中三個坐標(biāo)不是具體的數(shù)值，而是比例關(guān)系。設(shè)定某個坐標(biāo)為常 數(shù)得到其他坐標(biāo)二、利用向量求空間角：1、求異面直線所成的角：設(shè)a,b為異面直線，點A, C為a上任意兩點，點 B,D為b上任意兩點，a,b所成的角為AC BD側(cè) cos IIACIBD【注】由于異

2、面直線所成的角的范圍是：090 ,因此cos 02、求直線與平面所成的角：設(shè)直線l的方向向量為a,平面 的法向量為n ,直線l與平面所成的角為e與門所a n成的角為 ，則sincos | ra n【注】由于直線與平面所成的角的范圍是：090，因此sin 03、求二面角：III.設(shè)4,電分別為平面，的法向量，二面角 l 為 ，則 A,% 或 +h n1 “n1,n2 ，其中 cos n1,國rr 2三、利用向量求空間距離：1、求點到平面的距離一AB n設(shè)平面 的法向量為n , A , B ,則點A到平面的距離為 一一2、求兩條異面直線的距離設(shè)11,12是兩條異面直線，n是公垂線段 AB的方向向量

3、，C,D分別為11,12上的任意兩點，.CD n|則11與12的距離為AB 11【重要題型】1、(2012廣東，理)如圖所示，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA 平面ABCD，點E在線段PC上，PC 平面BDE(1)證明：BD 平面PAC(2)若PA 1, AD 2,求二面角 B PC A的正切值tapD, E分別是2、(2 o 1 3廣東，理)如圖，在等腰三角形 ABC中，A 90 ,BC 6,AC,AB上的點，CD BE J2,O為BC的中點。將 ADE沿DE折起，得到如圖所示的四棱錐 A BCDE ,其中A O J3。(1)證明：A O平面BCDE(2)求二面角ACDB的平

4、面角的余弦值3、( 2 0 0 9廣東，理)如圖，已知正方體 ABCD A1B1c1D1的棱長為2,點E是正方形BCCiBi的中心，點F,G分別是棱 C1D1、AAi的中點，設(shè)Ei,Gi分別是點E,G在平面DCCiDi內(nèi)的正投影。(1)求以E為頂點，以四邊形FGAE在平面DCCiDi內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積(2)證明：直線FGi 平面FEE"(3)求異面直線EiGi與EA所成角的正弦值。D,E分另ij是AB, BBi的中4、(201 3課標(biāo)，理)如圖，直三棱柱ABC A1B1cl中，點,AA1 AC CB AB 2證明：BC1/平面A1CD ；(2)求二面角D AC E的正弦

5、值.5、(20 1 2遼寧，理)如圖，直三棱柱 ABC點M , N分別為A B和B C的中點(1)證明：MN 平面AACC ；ABC, BAC 90 , AB AC AA ,的值.(2)若二面角A MN C為直二面角，求AB AC6、(2 0 1 0遼寧，理)已知三棱錐P ABC中，PA 平面ABC ,1， ff，一PA AC AB, N 為 AB 上一點，AB 4AN , M , S 分別為 PB, BC 的中點。 2(1)證明：CM SN;(2)求SN與平面CMN所成角的大小7、(20 1 0廣東，理)如圖， 贏 是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為萬 的中點點B和點C為線段AD的三等分點

6、，平面AEC外一點F滿足FB FD J5a ,FE . 6a(1)證明：EB FD ;(2 )已知點Q,R分別為線段FE ,FB上的點，使得一22FQ FE , FR-FB，求平面BED與平面RQD所成二面33角的正弦值.ABC是正三角形,8、(201 3汕頭高二統(tǒng)考，理)在四麴隹P ABCD中，PA 平面ABCD ,AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA且PN 靠.(1)求證：BD PC;(2)求證：MN/平面PDC;求二面角A PC B的余弦值.AB 4, CDA 120",點 N 在線段 PB 上,p矩形ABCD是正方形建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ) xyz,則A(0,0,0), P

7、(0,0,1), C(2,2,0), B(2,0,0)AP (0,0,1) , AC (2,2,0)BP ( 2,0,1), BC (0,2,0)設(shè)平面PAC的一個法向量為n1(x1, y1 ,z1)Z102X1 2y1 01,Z10,即 n； (1, 1,0)AC n1令x10，即0【參考答案】1、(1)證明： PA 平面 ABCD, BD 平面 ABCD, PA BD又 PC 平面 BDE , BD 平面 BDE , PC BDPA PC P, BD 平面 PACBD AC(2)解：BD 平面 PAC , AC 平面 PAC ,設(shè)平面PBC的一個法向量為n2 (x2,y2,z2),則 BC

8、n2 0,即 y20BP n2 02x2 z2 0令 x2 1 ,則 y20,z2 2,即 電 (1,0,2)n1n2110cos ,&t=廣n1 n272 x51010.3.10設(shè)二面角B PC A的大小為，則cos , sin 1010tan 32、（1）證明：連接OD,OE由圖得，OC 3,AC 3 2,AD 2.2在 OCD中，由余弦定理可得222OD1 2 OC2 CD2 2OC CDcos 455,即OD 屈由翻折的不變性可知，AD AD2、2lrAO2 OD2 AD2, AOOD同理可證，AOOE又 OD OE O, AO平面BCDE(2)解:以。點為原點，建立空間直角坐

9、標(biāo)系O xyz如圖所示則 A (0,0, ,3),C(0, 3,0), D(1, 2,0)所以 CA (0,3,. 3), DA ( 1,2, J3)CA n 0設(shè)平面A CD的一個法向量為n (x,y,z),則 .DA n 03y .3z即x 2y令x 1,則y1,z V3,即 n (1, 1,J3)由(1)知，OA(0,0, J3)為平面CDB的一個法向量cos n,OAn OA 3.15OA3 -55即求二面角ACD B的平面角的余弦值為,1553、(1)解:依題意得,EEi平面DCCiDi ,且四邊形FGAE在平面DCCiDi內(nèi)的正投影為四邊形FG1DE1點E是正方形BCC1B1的中心

10、，EEi 1SFG1 DE1SDCC1D1SFD1G1E1C1FS DCE1222故所求的四棱錐的體積為VEFC1DE13 SFEiDGiEE1(2)證明:由知,E1C1F 與GiDiF都是等腰直角三角形G1FE190 ,即 FG1FEi又EEi平面DCCiDi,FGi 平面 DCCiDi, EEiFGiEEiFEi Ei , FGi平面FEEi(3)解：以D為原點，DD1，DC,DA分別為z軸，y軸，x軸的正向,婀為i個單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則 E(1,2,1), F(0,1,2),Gi(Q0,1), Ei(0,2,1) ,A(2,0,0)EA(1, 2, 1),EiGi (0, 2

11、,0)cosEA, E1G1EA E1GlEA E1G14_66 23sinEA, EiGi4、(1)證明：連接ACi交AC于點F ,則F為ACi中點又D是AB中點，連接DF ,則 BC1/ DFDF 平面 AiCD , BCiBCi/平面CD(2)由 AC CB 三 AB 得，AC2BC以C為坐標(biāo)原點，CA的方向為示的空間直角坐標(biāo)系D(1,1,0),E(021)Ai(2,0,2),CD (1,1,0) , CE(0,2,1),CAi(2,0,2)設(shè)n1 (x1, y1, z1)是平面A1CD的法向量，則n1 CD 0xi，即ni CA 02xiy10，可取必(1, 1, 1)2Z10x軸正方

12、向，建立如圖所同理，設(shè)n2(X2, y2 22)是平面A1CE的法向量，則n2CEn2CA2y22x2Z22Z20,可取n2 (2,1, 2)從而cosn2nin23，故 sinn1,n23即二面角DA1CE的正弦值為Y635、(1)證明：連接AB , AC三棱柱ABC ABC為直三棱柱，M為A B的中點M為AB的中點又 N為BC的中點MN /ACMN 平面A ACCMN 平面 A ACC(2)以A為坐標(biāo)原點，分別以直線坐標(biāo)系A(chǔ) xyz,如圖所示：設(shè) AA 1 ,則 AB AC是 A(0,0,0), B( ,0,0), C(0,0)A(0,0,1),B( ,0,1),C(0, ,1)因此,1、

13、M(2,0,2),N(2,i,1)AB,AC,AA為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角(x1, y1, zj是平面A MN的法向量，AMMN0得,02x11y12Z1司(1, 1,)同理，設(shè)n2(x2,y2,Z2)是平面MNC的法向量，工& NC由n2 MN0得,2x22 y2z21 Z2022( 3, 1,)A MNC為直二面角n1 n20,即 3 120,解得后6、(1)證明：設(shè)PA 1,以A為原點，AB, AC, AP分別為x, y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：- _11-則 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,2),N(5,0,0)C

14、 1S(1,-,0)2111CM (1, 1,2),SN ( 2, 2,0)一 一11 一一 _由 CM SN- - 0 0可知，CM2 21 , NC (,1,0)2設(shè)n (x, y, z)為平面CMN的一個法向量工n NC由.n CM1八x y 0 02得，可取n0 x y -z 02設(shè)SN與平面CMN所成角為，則sincosn,SNSN(2,1, 2)2457、(1)證明：EBE為R的中點，AB BC, AC為直徑AD直角坐標(biāo)系B xyz,連接FC由此得，B(Q0,0),C(Q a,0),D(0,2a,0),E(a,Q0)FDFB, BC CDFCFCFQBD2a22-FE,FR -FB

15、33i 2R(0，a，a) 3 3一2 2RQ2 be(2 a,0.0)3352、RD (0, a, a)33設(shè)平面RQD的法向量為ni（Xi，yi，zi）*- *ni RDni RQ0得,05 ayi32 axi32一aZi3可取ni(025)同理，設(shè)平面cossin平面BED的法向量為ni,n2ni,n2n2(X2, y2,Z2)，可取 出 (0,0,i)ni n2nin25295 29292一2929BED與平面RQD所成二面角的正弦值為2 一 29298、證明：（1） 因為 ABC是正三角形， M是AC所以BMAC ,即 BD AC又因為PA平面 ABCD, BD 平面 ABCD , PABD又PA。AC A,所以BD 平面PAC4分又PC 平面PAC ,所以BD PC在 ACD中，因為 M為AC中點，DM AC ,所以AD CDCDA 120，所以 DM 述，所以 BM : MD 3:1 6分3在等腰直角三角形PAB中，PA AB 4, PB 4 J2，所以 BN : NP 3:1, BN : NP BM : MD ,所以 MN /PD8分又MN 平面PDC , PD 平面PDC ,所以MN /平面PDC 9分因為 BAD BAC CAD 90；,所以AB AD,分別以AB,AD, AP為x軸，y軸，z軸建立如