倍長(zhǎng)中線模型鞏固練習(xí)

1、倍長(zhǎng)中線模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）1.如圖，ZiABC為等邊三角形，BD=DE, ZBDE=120°,連接CE, F為CE的中點(diǎn)， 連接DF并倍長(zhǎng)，連接AD、CG、AG,下列結(jié)論：CG=DE：若DEBC,則AABHsGBD；在的條件下，若CE_LBC,則2 ,其中正確的有（）都正確A.B.只有正確C,只有正確D.只有正確【解答】A【解析】丁點(diǎn)F是EC的中點(diǎn)，CF=EF,)CF = EF4CFG = NEFDGF = £)p7, CFGdEFD (SAS),，CG=DE,故本選項(xiàng)正確：；DEBC, ZBDE=120°, AZGBD=60° (兩直線平行,同旁內(nèi)角

2、互補(bǔ)),:ABC 是等邊三角形，.ZABC=ZACB=60% AB=AC,A ZABD= ZABC+ ZGBD= 120° , ZACG = 1800-ZACB =120°, AZABD=ZACGXVCG=DE. DB=DE,，BD=CG,AB = AC£ABD = ZACGDD = CG在AABD與AACG中,> /.ABD = AACG (SAS),A AD = AG. ZBAD=ZCAG. A ZDAG=60° , ,ADG 是等邊三角形,:.ZADG = 60° , :. ZBDG= ZBDH4- ZADG= NBDH+60。，又

3、丁/人118=/8口14+/68口=/8口14+60°, AZAHB = ZGDB （等量代換）,AZABH=ZGBD, AAABHAGBD,故本選項(xiàng)正確;如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DQLBC于點(diǎn)Q.VEC±BC, Z. D/CE.又DEBC,，四邊形 DECQ 是矩形，ACQ = DE.VBD=DE, DE=CG, ACQ=CG,設(shè) =巴則在RfBDQ中，由特殊角的三角函數(shù)值求得助=竽*GD=-x在RtAGQD中，由勾股定理求得§ 由知4ADG是等邊三角形，則AD=GD,后 AD GD -x = VW bp " 27r""T"AD

4、 = V19，即8。2 ,故本選項(xiàng)正確:2.小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖綜上所述，正確的結(jié)論是.1, AABC中，AB=7, AC=5,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍.小明發(fā)現(xiàn)老師講過(guò)的“倍長(zhǎng)中線法”可以解決這個(gè)問(wèn)題，所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的 中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形,從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法, 他的做法是：如圖2,延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE,構(gòu)造BEDgZCAD,經(jīng)過(guò) 推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決請(qǐng)回答：(1)小明證明BEDgACAD用到的判定定理是：(用 字母表示)，(2) AD的取值范圍是；(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長(zhǎng)中線法最重要的一點(diǎn)就是延長(zhǎng)中線一

5、倍，完成全等三角形模型的構(gòu) 造.參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3,在正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)G、F分別為AD, BC邊上的點(diǎn)，若AG=2, BF=4, ZGEF=90° ,求 GF 的長(zhǎng).【解答】(1) SAS： (2) 1<AD<6： (3) GF=6(BD = CDED = AD, /.ABEDACAD (SAS)； (2) VABED=aCAD. .BE=AC=5,VAB=7, .2<AE<12, A2<2AD<12, .1<AD<6.(3)延長(zhǎng)GE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,如圖所示：四邊形ABCD是正方形，ADCM

6、, AZAGE=ZM,fAGE = M NAEG = NMEB AE = BE,/.AAEGABEM (AAS),，GE=EM,AG = BM=2,VEFXMG, .FG = FM, VBF=4, MF=BF+BM=2+4=6, AGF=FM=6.3.如圖1，在AABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G,使DG=AD,連接CG, 可以得到ABD = ZM3CD,這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長(zhǎng)中線法”如圖2,在AABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接ED,小明由圖1中作輔 助線的方法想到：延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G,使DG=ED,連接CG(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE和CG的關(guān)系：； (2)如圖

7、3,若NA=90。，過(guò)點(diǎn)D作DF_LDE交AC于點(diǎn)F,連接EF,已知BE=3,= 2/，其它條件不變，求ef的長(zhǎng).【解答】(1) BE=CG； (2) EF='V【解析】(D ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，.BD=CD,(BD = CDJBDE = iCDGDE = DG,AAEBDAGCD (SAS), ，BE=CG；(2)連接GF,如圖所示:2G由(1)知EBDgZkGCD, .ZB=ZGCD, BE=CG=3,又丁/慶二婚，AZB + ZBCA=90%A ZGCD+ZBCA=90% 即 NGCF=901CG=3,?！?但 .FG = "CG? + CF'2 =叵,VDF1

8、DE,且 DE=DG, AEF=FG=V .4 .自主學(xué)習(xí)，學(xué)以致用先閱讀，再回答問(wèn)題：如圖1.已知AABC中，AD為中線。延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD. 在4ABD 和4ECD 中，AD = DE, NADB= NEDC, BD=CD,所以，AABDAECD(SAS), 進(jìn)一步可得到AB=CE, ABCE等結(jié)論.在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解 決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題。解決問(wèn)題：如圖2,在ABC中，AD是三角形的中線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，且BF=AC,連 結(jié)并延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)E,求證：AE=EF.【解答】見(jiàn)解析【解析】證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G,使得D

9、F=DG,連接CG,如圖所示:E：AD 是中線，BD=DC,(BD = CD4BDF =，CDGDF = DG,/.BDF=ACDG,，BF=CG, ZBFD=ZG,VZAFE=ZBFD,，NAFE=NG.VBF=CG, BF=AC,，CG=AC,，NG=NCAF,，NAFE=NCAF, ，AE=EF.5 .定義：如圖1,在aABC中，把AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a （TV。'180。）并延長(zhǎng)一倍 得到AB',把AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3并延長(zhǎng)一倍得到AC,連接BC.當(dāng)0 + J =逐。時(shí), 稱AB，C是4ABC的“倍旋三角形"，AB，C邊上的中線AD叫做4ABC的“倍旋 中線

10、”.特例感知：（1）如圖1,當(dāng)NBAC=90。，BC=4時(shí)，則“倍旋中線" AD長(zhǎng)為:如圖2,當(dāng) AB，C為等邊三角形時(shí)，“倍旋中線" AD與BC的數(shù)量關(guān)系為： 猜想論證：（2）在圖3中，當(dāng)4ABC為任意三角形時(shí)，猜想“倍旋中線" AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并 給予證明.BB【解答】（1） AD=4, AD = BC； （2） AD=BC,證明見(jiàn)解析【解析】（1） VZBAC=90°,3 = 180。CAC=9（T=NBAC,根據(jù)題意知，AB，= 2AB, AC=2AC,.二.。二 2A” 月。 ,.-.AB'CAABC,.B'C1 AB&#

11、39;=BC AB ,.,.BC=2BC,在 RtzABXT中，AD 是斜邊中線,ABV = 2AD, AAD=BC=4；如圖2, .AB，C是等邊三角形，AB'=AC= B'C, NB'AC=60",TAD是ABX7的中線，晨跳4。= 30。0。=/Z2,，NADB'=9（r,40 =避 BO =退 x 另。=4 AB'由題意得 AB2AB. AC=2AC, .AB=AC,由N 氏4 夕=% N C4 0 =仇得N /？百。=360° - （& + 產(chǎn)）- N W 乂= 120。ZB = ZC=30%如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AE1

12、.BC于點(diǎn)E,，BC=2BE,BECBE = AB - cosZ5 = -AB在 ABE 中，2,，BC-2BE = ：.AD = BC (2) AD=BC,證明：由題意知，AB，= 2AB, AC=2AC,延長(zhǎng)AD到M,使DM=AM,連接C'MA AM=2AD,AD 是ABX7的中線，.-.B/D=CD>工四邊形 AB，MC是平行四邊形，AAC = B/M=2AC, NB，AC+NAB，M= 180° ,丁 NBAB'+NCAC= 180°,，NBAC+NB，AC=18(T,AZBAC=ZAB/M,.AB' =. AM = AB1 =AB&#

13、39;=2AB, A" AC ,AB ,AAM=2BC, AAD = BC.6.已知拋物線?="+ c經(jīng)過(guò)A J1，0), B (L 0), 0(6 5),點(diǎn)p為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線二（1）求此拋物線解析式:與"軸交于點(diǎn)D.（2）如圖1,連結(jié)0P并倍長(zhǎng)至Q,試說(shuō)明在直線"=-1上有且僅有一點(diǎn)M,使NOMQ =90°（3）如圖2,連結(jié)PO并延長(zhǎng)交拋物線于另一點(diǎn)T,求證：y釉平分NPDT.y = L 【解答】（D 22： （2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析a=l【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y="«+）（£-d,將點(diǎn)c的坐標(biāo)代入解得2y = L 2 一 J.,該拋物線的函數(shù)解析式為22 .（2）作PM與定直線垂直，垂足為M點(diǎn)，如圖所示:'/ OP =，產(chǎn)+(W)2 = # 十 /.*.PM = PO = PQ,，NOMQ = 90°由“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”可得，M點(diǎn)是唯一的，即以P為圓心，P0為半徑的圓恰好與定直線二01相切于點(diǎn)M,切點(diǎn)M當(dāng)然也是唯一的，在直線獷=一1上有且只有一點(diǎn)M,使得NOMQ=90°：(3)設(shè)宜線PT的解析式為"=憂，作TE與定直線垂直，垂足為E,作PF與定直線垂直, 垂足為F,如圖所示