微積分必考題

1、微積分(B)上冊必考題微積分的必考可能難題是：求極限，求積分，微分方程，證 明等式和不等式，應(yīng)用題(相關(guān)變化率，微分方程，元素法 求平面圖形體積面積弧長和一些物理問題，此處難點在積分 和微分方程的求解)一、極限求極限的幾個原則：a. 能先求的先求，能化簡的化簡，能等價無窮小替換就替 換b. 洛必達法則c. 泰勒公式無敵后面兩種方法要把式子變?yōu)榉质?可采用倒代換)1. 用四則運算求極限limPx2+3x + 4x? 0X? 0 (1 - x) +COSX對于非未定式，考試有可能表達式看起來很難，但實際上直接帶入求極限，別犯傻!2. 用兩個重要極限，這里只講幕指函數(shù)極限tan2 xlim(tan

2、x)x? P4幕指函數(shù),且里面極限是 1，就可以湊一個“ 1+”，在用兩個重要極限求極限時，若底數(shù)化成e指數(shù)出現(xiàn)了帶有a alim x(cos+ksin -1)x?¥xx極限變量的乘積項，則可用倒代換化成分式。x? ¥a a x llm (cos = + ksin =) "x_ a此時，令x = ：,就a(cost+ksint-1) limet?0t,用泰勒公式展開即可3. 等價無窮小的替換，實際上是泰勒公式的特殊情況，只 不過就展開了一項4. 能求出的極限先求出來(其實也是泰勒公式的展開，只 不過就展開了一個常數(shù)項而已)“ v1+tanx /1+sinx、lim

3、()x? 02xW +sin x- x(4l+ianx - VT+Snx)(V7+tanx+V1+sinx)、 lim()tan x(1 - cosx)llm(x? 0x?0 (x 1 + sin2x - x)(、1 + tanx + 1+sinx)(xy 1 +sin' -x)W1 + ta nx + J1 +si nx)上面兩個等價無窮小替換，下面有一項能先求出來。*先求出來的向在極限過程中與等價無窮小替換一樣，必須 是一個乘積項5. 洛必達法則 *用之前，判斷未定式！ ! ！上下項數(shù)不多，導(dǎo)數(shù)好求。缺點：比如 sinx等等永遠無法 用多項式表示，若遇到上下幕次很高，求導(dǎo)將變得十分

4、復(fù)雜。1 + x21 + x22如：lim(x廠)如：x?0 (cosx - e )sin( x )00,寸，1¥三種類型對于0 ¥，直接就能看出來6. 泰勒公式 把非多項式函數(shù)近似成多項式函數(shù)，用泰勒公式之前，先想 想是否可以等價無窮小替換。缺點：展開式可能復(fù)雜，需要 記憶如：x33e - 1- x lim(6)sin 62xx? 06 - /F面顯然可以用等價無窮小替換，而上面只需要第一項的 部麥克勞林公式 即可，需要記住這些:ex,ln(1+x),(1+x)a ,sinx,cos<i1- x有關(guān)泰勒公式的幾個問題:2 21. o( X - X) o( x )2.

5、 o(x+1) o(x)(2x) o(x)4. x*O(x2) = o(x3)5. o(x2)* o(x3) = o(x5)o(x)6.小心： x 要在x? 0時才=0! 入想x?¥時的分式函數(shù)能用泰勒公式展開嗎二、求積分求某函數(shù)的原函數(shù)后，原函數(shù)必須在與這個函數(shù)的同定義區(qū)間內(nèi)可微。女口 f(x)=sgn(x) 沒有原函數(shù)(假設(shè)有，在x=0不可微)，因此有：每一個有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函 數(shù)。求積分的幾個原則：1.基本類型1.f(xn 1)xndx;f( x),2.dx;x3.如±dx;xf(l)4.dx;x5. f (sin x)cosxdx;27. f (tan

6、x)sec xdx;6. f(ax)axdx;2.照方抓藥型(相差一個線性函數(shù))3.gin2xcos5xdx 型有sin找cos ,沒有現(xiàn) 成的cos用半角公式，如:1yQin-dxx用半角公式:d(f)xx2sin cos221“x、Od(：)= x 2x2 tan cos 2 2xd(tan _) + x 2 tan 24. 第二類換元法，一般換:根號下的，角頻率中的，重復(fù)項，換元后回帶第二類換元法開方出來小心絕對值根式代換:x5dx1 + x2dx.倒代換（分母階數(shù)較高）1Q(x7+2)dxx4 x2dx.1xe6 =t則x=t最小公倍數(shù)根式代換1 dxXXXx(1 3 x)dx.1 e

7、2 e空 e6角頻率代換:1 +sindx nx=nt5. 分數(shù)乘積化為部分分式代數(shù)和二次質(zhì)因式配方首先，假分式可以化為真分式6. 使用分部積分三個典型的分部積分 若被積函數(shù)是幕函數(shù)和正（余）弦函數(shù)或幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)幕函數(shù)為Uo 若被積函數(shù)是幕函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u用sin xdx與sin（ln x）dx.出現(xiàn)循環(huán)序（每次要把相同的 東西往微分符號中湊）除典型分部積分以外，還有這些要分部： 甘 dx如果換元變成2 3tdt（ t = x）,變?yōu)榱说湫偷?分部積分arctan xxe ,了 2dx有一大部分都可以往微分符號中放，

8、如此題中(1 +x2)3的 earctan xgrctan xdx , gin(ln x)dx別無選擇，只能分部7. 觀察 咅(x)g(f(x)dx直接湊微分8. 積化和差公式定積分：幾個常用定積分公式*觀察積分區(qū)間和函數(shù)奇偶21 2x +xcosx ,女口 Q ?2 dx.，可以分出一個偶函數(shù)，剩一個奇1+ 1- X2函數(shù)*直接利用圖形面積：1- x2 ,半個單位圓pp pxf (sin x)dx =f (sin x)dxpp右 f(sin x)dx = §f(cosx)dxp2ginn xdx = coS xdx =0n- 1 n- 3*n n- 2n- 1 * n- 3壬*n

9、n- 23 1 p*_*_*(n=2k)4 2 24 2*_* (n二2k + 1)5 3*把極限式化為積分式:nS= lim ? f (x.)* n?Y iii=1nS= lim ? f (x.)* <i(xi =x.)n? ¥-'"i i 7i=1如果插入分點平均：nS= lim ? f(a +n? ¥i=1b- a =nbbf(x)dx最常用：當a=0:h KS=lim ? f(-i)*- =n?¥ i=1n nb0f(x)dx再特殊的，b=1，就有它表示曲邊梯形面積的代數(shù)和，如果求曲邊梯形的面積，那么要討論f(x)與0的關(guān)系！以后看

10、到類似的題，可以 先把上面的通式寫下來，對號入座找f1(1例：n,乘法變代數(shù)和架在e肩膀上!b- a弄出= 廣義積分: 極限符號一定要標出左右才不會出錯!看清瑕點(鄰域內(nèi)無界的點)，是否為廣義積分一些代數(shù)恒等變形：積化和差：角頻率不同的函數(shù)的積倍角化為平方，一般湊(sec x)A2 ，及d(tanx)如：xsin 2xs in 3xdx三、微分方程這里主要看微分方程的類型判斷:a. 一階微分方程看看是不是先可化為dy = f(x,y),通過上下同除，或湊微分， dx齊次方程dy y 齊次方程dX=f(；)把dy放到左邊去，再找y的一次項?？词欠袷且浑A線性齊次或非其次方程，或伯努利方程。如果不行

11、，把自變量與函 數(shù)，重復(fù)以上方法試試。 如果需要換元，前面積分的換元方法是一種思想。記住, 換元是一種工具，不是求解特定題(積分)的套路。3例：xdy- y + xy(1 + |nx)dx = O步驟)dy _ y+ xy3(1 +ln x)dxxdy y3-= (1+lnx)y (步驟第一句話)dx x變成伯努利方程，判型成功dy1 ydx xsi n2(xy) x利用角頻率代換，令 xy=u.那么對于In等利用湊微分解微分方程dy=(X+y)2，把x+y放到左邊分子的微分符號中，因為：d(x+y) , dyd(x+y)2=1+，所以有了： ( . y)-1 =(x + y),然后把(x+y

12、) dxdxdx當做整體b. 可降階的高階微分方程，觀察即可判型：不顯含x，就別添x，令y' = p(y) = p不顯含y，就別添y，令y' = p(x)= pc. 高階常系數(shù)微分方程(齊次，非齊次)齊次，求特征方程的根，一項一項寫：有一個單實根r: cex有一個 k 重實根 r: (q+C2x + .+ CkXk-1)erx有一對k重共軛復(fù)根：e3x(C1 +C2x + .+ Ckxk-1)cosbx+(D1 + D2x + .+ Dkxk-1)sin bx)非齊次，一般，我們只會求二階的特解：類型一： elxPm(x)，則 y* = xkelxPm(x)k取決于I是特征方程

13、的幾重根類型二：elx(P(x)coswx + Fm(x)sinwx)，貝yy* = xkel x(R1 n(x)coswx+ R2 n(x)si nwx)n = max(l,m)k取決于I ±wi是否為特征方程的根四、相關(guān)變化率應(yīng)用題如何列方程找所求，找已知，用微分形式表達，再找微分變 量之間的關(guān)系。例題:河水以8米3 /秒的休流量流入水庫中,水庫 形狀是長為4000米,頂角為1200的水槽，問水深 20米時,水面每小時上升幾米？分析，求有了：dhdV< dt，已知 dt，而 V= 40007 3h,這樣，發(fā)現(xiàn)h與dV/dt都dV = d(4000>/3h2) 4000

14、73*2 hdh dt = dt = dt已知了五、等式與不等式的證明幾大方法：中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的凸凹性羅爾定理三條件，閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導(dǎo)羅爾定理：兩端函數(shù)值相等，則必有一點導(dǎo)數(shù)值為0拉格朗日中值定理：兩點割線斜率等于某一點切線斜率 柯西中值定理：函數(shù)值的增量比等于某位置導(dǎo)數(shù)的比（兩個 函數(shù)）函數(shù)的單調(diào)性證明不等式：高中方法，較為簡單函數(shù)的凸凹性證明不等式：注重凸凹性的定義f(x1 +x22f(Xj+f(X2)2的關(guān)系在不等式中，可以采用如下放縮，估計積分大致范圍:b(b- a)m £ f(x)dx以b- a)M ,m是區(qū)間上的最小值，M最大值*如果證明函數(shù)是具體的，

15、如：2試用拉格朗日中值定理證明：當X 0時,x ln(1 X).2左右直接相減，用拉格朗日定理后放縮再與0比即可積分中值定理證明設(shè)f(x)可導(dǎo)，且lim f(x) 1求。X解法：令x?x,x+2.直接用積分中值定理六、圖形應(yīng)用題弧微分 ds= (dx)2 + (dy)2 = 1 + y'2dx =1+(:)22曲率y''2曲率半徑(1 + y'2)31. 求平面圖形面積：直角坐標，參數(shù)方程：以小矩形近似代替，積分變量x,y都可以極坐標方程：以圓扇形近似代替常見的直角坐標方程：2 2 2x3 + y3 = a3星型線幾個常見的極坐標方程：2 2r = a cos2

16、q 雙紐線，啞鈴型r =a(1 +cosq)心臟線常見的參數(shù)方程:x = a(t - sint) y = a(1 - cost)星型線7x = acos3ti 3?y =asin t2.求體積*星型線與其他已經(jīng)有對稱性的線求旋轉(zhuǎn)體時只用求半個 部分。如：星型線繞 x軸，體積元素為p y2dx 柱殼法：擺線繞y軸，原方法積分限比較易錯，此時用柱殼 法即可，柱殼法小心絕對值。柱殼法避免了相減的問題，最 后與原方法表達式等價。(相當于底面積為 ydx或xdy，高為 2pR的薄的柱殼)3.弧長直角坐標：ds =2+(dy)2參數(shù)方程：ds = f 6(t)+y ©t)dt極坐標方程：ds=

17、r2(q) + r Qq)dq七、元素法對物理的應(yīng)用怎么建系好一般地，下述規(guī)律適用：對于運動，順著運動方向建系，選擇開始有力的地方作為原 點。如：抽水做功，水從上往下走。對于壓力，順著壓力增大的地方建系，選擇開始有力的地方 做為原點。其他幾章的常用方法:、導(dǎo)數(shù)與微分1點導(dǎo)數(shù)的定義，包括單側(cè)導(dǎo)數(shù)，二階甚至k階導(dǎo)數(shù)2. 萊布尼茨公式，求 u*v的n階導(dǎo)把二項式展開的幾 次方改為幾階導(dǎo)nk (n -k)(k)? Cnuvnk=0，因為uv在乘法中可互換，所以此處u，v也可互換。3. 一些高階導(dǎo)數(shù)的公式ax,sinkx,coskx,xa ,lnx有些高階導(dǎo)數(shù)求之前要變形為這幾個基本導(dǎo)數(shù)1X2- 1化為

18、代數(shù)和6 . 6y = sin x + cos x不停地拆平方和變?yōu)閕，最終用倍角表示4. 對數(shù)求導(dǎo)法(適用于多個函數(shù)相乘和幕指函數(shù))(x + 1)3x- 12 x(x + 4) e二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(繪制函數(shù)圖像)設(shè)函數(shù)y f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可 導(dǎo).(1)如果在(a,b)內(nèi)f (x) 0,那末函數(shù)y f (x) 在a,b上單調(diào)增加；(2)如果在(a,b)內(nèi)f (x)0,那末函數(shù)y f (x)在a,b上單調(diào)減少.導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點.繪制函數(shù)圖像的幾個步驟：1. 定義域，奇偶性，周期性，與坐標軸交點2. 單調(diào)性，凸凹性，求極值點，極值，拐點(列表)極值點：第一、第二