極限的運(yùn)算法則(22)課件

1、2.3 2.3 極限的運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則 四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則 小結(jié)、作業(yè)小結(jié)、作業(yè)一、四則運(yùn)算法則一、四則運(yùn)算法則定理定理1都都存存在在，和和設(shè)設(shè) )(lim )(lim tgtf則則)()(limtgtf )()(limtgtf; )(lim)(limtgtf )()(limtgtf ; )(lim)(limtgtf 存存在在，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )()(lim 0)(lim 3)(tgtftg 且且. )(lim)(limtgtf （1）（2）證證由定義由定義,，使得，對(duì)任意給定的正數(shù)21, ;2)(|010 axfxx時(shí)，恒有當(dāng) ,min21 取

2、時(shí)，有則當(dāng) |00 xx證畢證畢.,)(lim,)(lim00bxgaxfxxxx 因?yàn)閨 )()()( |baxgxf .)()(lim 0baxgxfxx 從而有.)(0時(shí)函數(shù)和的極限的情形下面僅證明xx .2)(|020 bxgxx時(shí)，恒有當(dāng),22|)(|)(| bxgaxf推論推論1 1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面. .)( Zn推論推論2 2)(limtcfntf)(lim推論推論3 3則則，設(shè)設(shè)1.1.1 10 0nnnaxaxaxP 1)()(lim0 xPxx.xP)(0 則則0 0, ,滿滿足足設(shè)設(shè)有有理理函函數(shù)數(shù)2 2. . )()()(0 xQ

3、xQxP)()(lim0 xQxPxx.)()(00 xQxP ).(limtfc .)(limntf 例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 例例2 2)2)(1(lim)sin(lim00 xx ex xxx除除法法)2)(1(sinlim0 xx ex xx)2(lim)1(limlimsinlim0000 x xe x xxxxx乘乘法法 加加法法

4、.21 注注只要極限運(yùn)算與四則運(yùn)算交換順序后的算式有意義(包括出現(xiàn))，就可交換順序。2)1(10 注注 不能直接用四則運(yùn)算法則時(shí)，可考慮將函數(shù)不能直接用四則運(yùn)算法則時(shí)，可考慮將函數(shù)適當(dāng)變形，再考慮能否用該法則。適當(dāng)變形，再考慮能否用該法則。例例3 3321lim221 xxxx)1 1后后再再求求極極限限( (先先約約去去 x) 1)(3() 1)(1(lim1 xxxxx31lim1 xxx.21 )00(（消零因子法消零因子法）常用的變形方法有：常用的變形方法有：通分，約去非零因子，通分，約去非零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化

5、，等等理化，等等。) 1)(1() 1)(2(lim21 xxxxxx12lim321 xxxx例例4 414213lim22 nnnnn)( 22/1/42/1/13limnnnnn .23 （無(wú)窮小因子分出法無(wú)窮小因子分出法)例例5 5)1311(lim31xxx ) )( ( ) )通分通分( (321131limxxxx ) )0 00 0( (（消零因子法消零因子法）. 1 例例6 6xxx11lim0 )00(（分子有理化分子有理化）)11()11)(11(lim0 xxxxx)11(1)1(lim0 xxxx111lim0 xx.21 例例7 73662lim3 xxx) )0

6、00 0( (（分母有理化分母有理化）)36)(36()36)(62(lim3 xxxxx9)6()36)(62(lim3 xxxx)36(2lim3 xx.12 ?例例8 8)21(lim222nnnnn )11(21limnn .21 . 0lim2lim1lim222 nnnnnnn221limnnn （通分通分）（無(wú)窮多項(xiàng)無(wú)窮多項(xiàng)之和）之和）2)1(21limnnnn 例例9 9nnnmmmxbxbxbaxaxa 110110lim , 0, 000時(shí)時(shí)、當(dāng)當(dāng)Nnmba )(lim110110nnmmnmxxbxbbxaxaaxx nmxxba lim00 ;mn ,/00ba;mn

7、.mn , 0, 總結(jié)總結(jié)(2)(2) )()(limxQxPnmx)()(lim0 xQxPnmxx ;nm ;nm .nm 最最高高項(xiàng)項(xiàng)系系數(shù)數(shù)比比， ，0 (1)(1),)()(00 xQxPnm, 時(shí)時(shí)； 0)(0 xQ時(shí)時(shí)；且且 0)( 0)(00 xPxQ. 0)( )(00時(shí)時(shí) xPxQ,0再再定定約約去去xx 定理（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）定理（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）,)(0axxxu時(shí)時(shí)的的極極限限存存在在且且等等于于當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) ,)(lim0axxx 即即的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)但但是是在在點(diǎn)點(diǎn)0 x,)(ax ,)(limAufau 又又)(xf 則則復(fù)復(fù)合合

8、函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)的的極極限限也也存存在在，當(dāng)當(dāng)0 xx 且且Axfxx )(lim0 二、復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則二、復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則-極限過(guò)程代換法則極限過(guò)程代換法則有變化過(guò)程，的某個(gè)設(shè)對(duì) 連續(xù)x)(lim xfx 的變化過(guò)程 )( xu令.)(limAufu “趨近于” )(xu; ) , , 0 , (00 uu為Aufu)(時(shí)則則),( 或或?yàn)闉镽A例例1010211ln lim )1(xx2/1 xy yyln lim1. 0 xxe 0lim )2(xy yye 0lim. 1 三、小結(jié)三、小結(jié)極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則（注意除法注意除

9、法）,有理函數(shù)的極限；有理函數(shù)的極限；2. 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則（過(guò)程代換過(guò)程代換）。）。._33lim132 xxx、一、填空題一、填空題:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、練練 習(xí)習(xí) 題題._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各極限二、求下列各極限:);21.41211(lim1nn 、._1sinlim520 xxx、._coslim6 xxxeex、;231lim438xxx 、);(lim5xxxxx 、;1412lim6 xxx、.2lim71 nmnmxxxxx、;)(lim2220hxhxh 、);1311(lim331xxx 、一、一、1 1、- -5 5； 2 2、3 3； 3 3、2 2； 4