第二章隨機變量極其分布

1、第二章、隨機變量極其分布、選擇題:1.設X的概率密度與分布函數(shù)分別為f (x)與F (x)，則下列選項正確是(B )A.0 f(x)1B .pX x F(x)C.PX xF(x)D .pX x f(x)4x3,0 x 12.設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)廿，則使P (X >a)=P (X < a )成0,其他立，a為(A )A1.24B .12刁iD .12"3 .如果隨機變量A . I。，"IX的概率密度為f (x) sin x ,貝U X的可能的取值區(qū)間為B .吟，C. 0,4.設隨機變量的概率分布為PX=k=bk,k=1,2 ,，b>0 ,貝U 入

2、為(C )A .任意正數(shù)1 1B .入=b + 11D.b 15 .設PX=k=c kek!0,2,4, -是X的概率函數(shù)，貝U“ 一定滿足B . c >0D . c >0 且入0若y = f (x)是連續(xù)隨機變量的概率密度，則有f (x)的定義域為0, 1B . f (x)的值域為0, 1f (x)非負f ( x )在()上連續(xù)7 .設F1(x)與F2(x)分別是隨機變量 X1與 X的分布函數(shù)，為使F(x) aF1(x)-bF2(x)是某有隨機變量X的分布函數(shù)，則應有( B )A . a = 3/5 , b = 2/5B. a = 3/5 , b = -2/5C. a = 1/2

3、 , c = 1/2D . a = 1/3 , b = 1/38 .設隨機變量 X服從正態(tài)分布 XN (0, 1) Y=2X 1，則Y( B )A . N(0 , 1)B. N(-1,4 )C . N( 1, 1)D . N ( 1, 3)9 .已知隨機變量 X服從正態(tài)分布 N (2,22)且Y=aX+b服從標準正態(tài)分布，則(C )A . a = 2 , b = -2B . a =2 , b = -1C . a = 1/2 , b = -1D . a = 1/2 , b = 110 .若XN(1 , 1)密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為f(x)與F(x)，貝U( B )C . F( a) F(a)D

4、. F( a) 2F(a) 115 .設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則Y-4的分布函數(shù)為21A. G(y) F(2y) 2B . G(y) F(22)C . G(y) F(2 y) 4D . G(y) F(2y 4)AP(X 0)P(X 0)B . P(X1)P(X 1)Cf(x) f (x)D . F(x)1F(x)11 .設 X N(,2)，則隨的增大，概率P X(C )A.單調(diào)增加C .保持不變B .單調(diào)減少D.增減不定x, 0 x 112如果X (x),而(x)2x,1 x 20, 其他,則P(X1.5)=(D )A .1.5xdx1.5B . 0(2x)dxC .1.5xdx01

5、D .xdx01.15(2x)dx13設隨機變量XN( , 2)，且 PX cPXc，則 c=(B)A .C .0B .D ./14設隨機變量X的概率密度為f (x),且 f (x)f(x), F(x)是X的分布函數(shù)，貝U對任意實數(shù)a有(B )A .F( a) 1a0 (x)dxB . F( a)1/2a0 (x)dx16.設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)PX x,則 PX a為(D)A .F(a)B. 0C.F(a 0) F(a)D.F(a) F(a 0)仃.設R(x)、F2(x)分別是隨機變量X1、X2的分布函數(shù)，若aF1 (x)bF2(x)為某一隨變量聿的分布函數(shù)，貝U(A )A .a=

6、 0.5 , b = 0。5Ba = 03,b = 0.6C.a = 1 o 5,b = 0.5D .a = 0.5, b = 1.518.設 X B(n, p)，且 EX=3 ,P=1/7,則n =(C )A .7B.14C.21D.4919.如果F(x)是連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)，則下列各項不成立的是(D)A .F(x)在整個實軸上連續(xù)B.F (x)在整個實軸上有界C.F(x)是非負函數(shù)D.F(x)嚴格單調(diào)增加20.若隨機變量X的概率密度為f(x)x212 cc xe , X 0 則 c 為(B )0, x 0A .任意實數(shù)B.正數(shù)C.1D.任何非零實數(shù)21 .若兩個隨機變量 X與Y相互獨立

7、同分布，且PX = 1 = P Y = -1 =PX = 1=PY(A )= -1=1/2 ,貝U下列各 式 成 立的是A . PX = Y =:1/2B . P X=Y=1C . PX + Y = 0=1/4D . PX Y =1=1/422 .設X , Y是兩個相互獨立的隨機變量，分布函數(shù)分別為Fx(X)與Fy(y)，則Z = max(X，丫)的分布函數(shù)為(C )A.maxFx(z),FY(z)B.Fx (z)Fy(z)C.Fx(z)Wz)D.1 1Fx(z)1Fy(z)23 設X，丫是兩個相互獨立的隨機變量,分布函數(shù)分別為 Fx(x)與FY(y),則Z = min (X,Y)的分布函數(shù)為

8、B. Fx (z) Fy(z)A. maxFx(z),FY(z)C. Fx(z”Fy(z)D. 1 1Fx( z)1Fy(z)324 .設X , Y是兩個隨機變量，且 PX 0,Y0- , PX40 PY 0-，則Pmax(X,Y) 0=16A.493C.75B .740D.4925.若隨機變量(X,Y )的概率密度為f (x, y)1/2,x0,2y其它，則X與Y的隨機變量(c )A .獨立同分布C.不獨立同分布B .獨立不同分布D .不獨立也不同分布26.若隨機變量(X,Y )的概率密度為f(x,y) 1,0 x1,00,其他，則X與Y的隨機變量A .獨立同分布C.不獨立同分布B .獨立不

9、同分布D .不獨立也不同分布27.若隨機變量(X, Y)的概率密度為f(x,y)6e(2x3y),x0,其他0,y 0隨機變量A .獨立同分布B .獨立不同分布C.不獨立同分布D .不獨立也不同分布28. 若X與Y獨立且都在0 , 1上服從均勻分布，則服從均勻分別的隨機變量是A . (X , Y)B . X + YC. X270 .若X與Y獨立同分布，A.相互獨立C.相關(guān)系數(shù)為29. 設隨機變量(出11為,-2c cA. 2C. 44c0X, Y)的可能取值為(5，則c的值為4cD . X - YU = X + Y ,V = X -Y，貝U U 與 V 必有B.不相互獨立D .相關(guān)系數(shù)不為00

10、, 0)、(-1,1 )、( 1,2)與(1 , 0)相應的概率分別B . 3 D .130 .若X與Y獨立，且PX 03以下正確的是21PX 1- , PY 0 - ,PY 133(A2-,則3)5A. PX Y-9C. PX = Y =0B. PX Y 1D .均不正確、填空題：1。已知 PX k C 1 k/k! ,k 1,2,n,， 其中 0，則 C =。2。如果隨機變量X的可能取值充滿區(qū)間 ，則f(x) sinx可以成為X的概率密度.x,0 x 13。如果隨機變量 X的概率密度為f(x) 2 x, 1 x 2，0， 其他則 PX 1.5。4。如果隨機變量X的概率密度為f(x)蚪， x

11、，貝V X的分布函數(shù)2為.5。如果隨機變量X的概率分布為PX k b k ,k 1,2，b 0,則 為。6.若隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)Barctan x ,7。若隨機變量X的概率密度為f (x)2xce0,，則C =8.若 PX b0.8, PX a 0.5,其中則Pax b2e ,x 0 ,則X的分布函數(shù)為0, x 0x, x 09。若隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)Asinx, 0x則 A =1,x221 e2x ,x010。若隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)則X的概率密度為0,x011。若隨機變量X的概率密度為f(x)24。設隨機變量X與Y相互獨立且同分布，PX =1 = PY =-1

12、 = P X =:1= PY =1=1/2，則 P XY =.25。設隨機變量 X與Y相互獨立且P X0,Y0 ?PX0 PY40,則7Pmax( X,Y) 0=。2212。若隨機變量X的概率密度為f(X)2x2e ,x0, x則事件P2 x 3=13。若隨機變量X的概率密度為f(x)cx2, 00,x其他，則C =14。若隨機變量X在0，1上服從均勻分布，Y = 2X +1的概率密度為15.A / J1 x x若隨機變量X的概率密度為f(x)'o,|x1，則系數(shù)116。若隨機變量X 的概率密度為f(x)10,一2x1，則事件1P17.若隨機變量1X的概率密度為f (x)1 x20,1

13、,則X的分布函數(shù)為118.設隨機變量X B (4, 0.1) , Y = X2 ,貝y P Y>1 19.設隨機變量X B (2,P) , Y B (3 ,P )，且 PX15，則 PY 1=920。若隨機變量在(1,6)上服從均勻分布,則方程x210有實根的概率是21. 設隨機變量X與Y相互獨立且同分布,1= 1/2，貝 U P X = Y =。22. 設隨機變量X與Y相互獨立且同分布,=1/2，貝U PX +Y = 0 =.23. 設隨機變量X與Y相互獨立且同分布,=1/2，貝 U P X > Y =.P X = 1 = PY = -1 = P X = 1= P丫 =P X =

14、 -1 = P Y = 1= PX = 1= P Y = 1P X = -1 = P Y = -1 = P X = 1 = PY = 1 26.若隨機變量(X , Y)的聯(lián)合概率密度為f(X, y)1，則隨機變量X的邊-,x0, 其他緣分布密度為fX (x) = ,27。若隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x, y)-,x20,y21，則隨機變量Y的邊其他緣分布密度為fY(y) =28。若隨機變量X與Y獨立，其概率密度分別為fX (x)2x,0八丿0,其他jfv(y)0y,y其他0, y0，則(X、0Y)的聯(lián)合概率密度為29。若隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)cxy,0 x

15、 y 10,其他，則C =(2x 3y)ce , x 0, y30。若隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f (x, y)0, 其他0，則C31.若隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)6e(2x3y),x甘踣0,其他，則X的邊緣概率密度為fX (x)=32.若隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)6e(2x3y)0,x 0,y其他，則Y的邊緣概率密度為fY(y)=33.若隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f (x, y)6e(2x 3y) x,x0,0,y其他0，則P2 X 3Y 6=34。若隨機變量(X， Y )的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(X,y)A(Bxarcta n )(C2y

16、arctan),3則系數(shù)A、B、C分別為35。若隨機變量(X,Y )的聯(lián)合分布函數(shù)為F (x, y)12x(arctan_)(-2 2 2arctan)，3則隨機變量X的邊緣分布函數(shù)為 FX(x) =36。若隨機變量(X,Y )的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x, y) 4x( arctan )( -2 2 2yarctan丄),則3隨機變量Y的邊緣分布函數(shù)為 FY(y)=1 xy2 ( arctan-)( arctan ),22 2337。若隨機變量(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x, y)則隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為=38.若隨機變量(X，Y )在以(0,1)，( 1，0)，( 1，1)為頂

17、點的三角形區(qū)域D上服從均勻分布，則隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為=。三、判斷題:1。 若f( X)是隨機變量X的概率密度，則有 f( x) 0.2。若f (x)是隨機變量X的概率密度，則f (x dx 1.3。 若f (x)是隨機變量X的概率密度，則0 f (x) 1。4。若f ( X)是隨機變量X的概率密度，則f( ) 1, f( ) 0。5。 若f ( x)是連續(xù)變量X的概率密度，則f ( ”連續(xù)。6。若F(x)是連續(xù)變量X的分布函數(shù)，貝U F(x) 0。7。 若F(x)是連續(xù)變量X的分布函數(shù)，貝UF(x)dx 1。8。若F(x)是連續(xù)變量X的分布函數(shù)，貝U 0 F(x) 1。9。若F

18、(x)是連續(xù)變量X的分布函數(shù)，貝U F( )1, F( )0。0。若F(x)是連續(xù)變量X的分布函數(shù)，則F(x)是單調(diào)不減函數(shù)。11。 若X是連續(xù)型隨機變量，則對任意實數(shù)x0有PX « 0。12。 若對存在實數(shù)x0，使PX xj 0，則X是連續(xù)型隨機變量。13. 若隨機變量X的概率函數(shù)為PX Xk Pk, k 1、2、，則Pk 0。14。 若隨機變量X的概率函數(shù)為PX Xk Pk, k 1、2、，則Pk 1。k15. 若X是離散隨機變量，則 X的分布函數(shù)處處不連續(xù)。16. 若X是連續(xù)隨機變量，則 X的分布函數(shù)是連續(xù)的。17。 若f( X)是可連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)，則f( X)定有界。

19、18. 若F(x)是可連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)，則F(x) 定有界。19.若f (x)與F (x)分別是隨機變量X的概率密度與分布函數(shù)，則F (x) f (x)。20.若f(x)與F(x)分別是隨機變量 X的概率密度與分布函數(shù)，則f (x)二F(x)。21。若F(x,y)是(X,Y )的聯(lián)合分布函數(shù),Fx (x)與Fy(Y)分別是X與Y的邊緣分布函數(shù)，則 F(x,y) Fx(x) Fy(v).22. 若F(x, y)是(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù),Fx (x)與Fy(y)分別是X與Y的邊緣分布函數(shù)，且 F (x, y) FX(x) FY(y)，則 X 與 Y 獨立.P(冷 y ) FX() R(yj

20、)，23. 若(X，Y)的聯(lián)合概率函數(shù)與邊緣概率函數(shù)之間存在關(guān)系式i、j 1,2,，則X與Y獨立.24.若隨機變量X與Y獨立,則P(Xi, yj)FX (xi) R (yj )，i、1,2，。25.若F (x, y)是二維連續(xù)隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)，則F(x, y)是連續(xù)的.26.若f (x, y)是二維連續(xù)隨機變量(X , Y)的密度函數(shù)，則f (x, y) 一定連續(xù)。27.若F (x, y)是二維連續(xù)隨機變量X, Y)的分布函數(shù)，則F (x, y)是非負有界函數(shù)28。 若f (x,y)是二維連續(xù)隨機變量(X,Y )的密度函數(shù)，貝U f (x, y)是非負有界函數(shù)。29。若(X,Y )

21、是二維均勻分布，則邊緣分布X也是均勻分布。30。 若(X , Y )是二維正態(tài)分布，則X的邊緣分布也是正態(tài)分布.31。若X與Y獨立，且X與Y均服從均勻分布，則 X+Y也服從均勻分布。32。若X與Y獨立，且X與Y均服從正態(tài)分布，則 X+Y也服從正態(tài)分布。33。 若X與Y獨立，且X與Y均服從二項分布，則 X+Y也服從二項分布。34。 若X與Y獨立，且X與Y均服從泊淞分布，則X+Y也服從泊淞分布.35。 若R(X)和F2(x)分別是X與Y的分布函數(shù)，貝U R(X)F2(x)可以作為某個隨機變量 的分布函數(shù).36。 若£(X)和f2(X)分別是X與Y的密度函數(shù)，貝U £(X)f2(

22、X)可以作為某個隨機變量 的密度函數(shù).1237。 若F1(x)和F2(x)分別是X與Y的分布函數(shù)，則F1(x)F2(x)可以作為某個隨機33變量的分布函數(shù).1238。若f1(x)和f2(x)分別是X與Y的密度函數(shù)，貝U - fdx)f2(x)可以作為某個隨機變33量的密度函數(shù)。39。 若F1(x)和F2(x)分別是X與Y的分布函數(shù)，且X與Y獨立，則F1(x) F2(x)是X+Y的分布函數(shù)。40.若f1(x)和f2(X)分別是X與Y的密度函數(shù)，且X與Y獨立，則f1(X)f2(X)是XY的密度函數(shù)四、計算題:1.2.A設連續(xù)隨機變量 X的概率密度為f(X)2，1 X(2) X落在區(qū)間0,1 內(nèi)的概

23、率；(3)隨機變量X的分布函數(shù)。 若隨機變量X在區(qū)間0,2上服從均勻分布，求：(1)X，求：(1)常數(shù)A的值;的概率密度；(2) X的分布函數(shù).3.設隨機變量X的概率密度為f (x)A/J1 x2, x0,4.5.6.7.求：(1)系數(shù)A ; ( 2) X落在區(qū)間】，丄內(nèi)的概率;2 2X的分布函數(shù)設隨機變量區(qū)間(0,1)設隨機變量X的概率密度為f (x),求:(1)系數(shù)A； (2) X落在內(nèi)的概率;X 在0,求：(1)隨機變函數(shù)(3) X的分布函數(shù)。上服從均勻分布，即概率密度為Y sin X的概率密度;(2) Xf(x)丄,0的分布函數(shù).0,x 1其他設隨機變量X的概率密度為f(x) 2x,

24、00,x 1其他，求：(1) X的分布函數(shù).(2)Y X2的概率密度.設連續(xù)隨機變量 X的分布函數(shù)F(x) A Barctan x,求：(1)系數(shù)A及B; (2) X落在區(qū)間(一1,1)內(nèi)的概率;A Be2x(3) X的概率密度。設隨機變量X的分布函數(shù)為F (x)0,求：(1)系數(shù)A及B; (2) X落在區(qū)間(0,內(nèi)的概率;(3) X的概率密度。0,9.2 設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x) Ax ,1,求：(1)系數(shù)A的值。(2) X的概率密度函數(shù)。10. 設X在區(qū)間2,6上服從均勻分布，現(xiàn)對 X進行3次獨立觀測，用Y表示觀測值大于3的次數(shù)，求：(1) Y的概率密度分布；(2) PY 2。11

25、. 袋中有2個白球與3個黑球，每次從其中任取1個球后不放回，直到取得白球為止， 求:1 )取球次數(shù)X的概率分布；(2)X的分布函數(shù)。12. 一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，求命中后尚 余子彈數(shù)X的概率分布及分布函數(shù)。13. 從五個數(shù)1, 2, 3,4, 5 中任取 3 個數(shù)x1,x2,x3,求：(1) Xmaxx!,x2,x3的概率分布；(2) PX 4。14. 直線上一質(zhì)點從原點開始作隨機游動，每單位時間可以向左或向右移動一步，向左的概率為p,向右的概率為q=1 p,每步保持定長L,求：(1)三步后質(zhì)點位置 X的概率分布；(2) Px 0。15對某一目標

26、進行射擊，直到擊中為止，如果每次射擊命中率為p,求：(1)射擊次數(shù)X的概率分布；(2) X的分布函數(shù)。16設隨機變量 X B(n, p),即 X的概率函數(shù)為PX k C：Pkqn k, k 0,1,2，,n;q 1 p求：(1) k為何值時，PX k最大;(2)最大值是多少。17設隨機變量 X P()，即X的概率函數(shù)為kPx k e , k 0,1,2,；0k!求：(1) k為何值時，PX k最大；(2)最大值是多少。18.設隨機變量X的概率分布為X2-10123P(N)0.10.20。250.20.150.12求：(1) X的分布函數(shù)；(2) Y X2的概率分布。119設隨機變量 X的概率函

27、數(shù)為PX k 班，k 1,2,，n,求：Y sin( X)的概率分布。220. 若隨機變量 X B(3 , 0。4)，即 X 的概率分布為 PX k cfo.4ko.63 k, k 0,1,2,31求：(1) X的分布函數(shù)；(2)Y 丄X(3 X)的概率分布。221. 已知10件產(chǎn)品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，從這批產(chǎn)品中任取 4件產(chǎn)品, 用X及Y分別表示取出的4件產(chǎn)品中一等品及二等品的件數(shù)，求：(1) (X , Y )的聯(lián)合概率分布；(2) X與Y的邊緣分布。22. 一批產(chǎn)品中共有 100件產(chǎn)品,其中5件是次品，現(xiàn)進行不放回抽樣，抽取2件產(chǎn)品用X與Y分別表示第一次與第二次取得的次

28、品數(shù)，求：(1)(X , Y )的聯(lián)合概率分布。(2)X與Y的邊緣分布。23. 把3個球隨機地投入三個盒子中去，每個球投入各個盒子的可能性是相同的，用X與Y分別表示投入第一個及第二個盒子中的球的個數(shù)，求：(1) (X , Y )的聯(lián)合概率分布；(2) X與Y的邊緣分布。24. 整數(shù)X隨機地在1、2、3中取一值，另一整數(shù)隨機地在1到X中取一值，求：(1) (X , Y)的聯(lián)合概率分布；(2) X與Y的邊緣分布。25. 一枚均勻硬幣連擲兩次，用X與Y分別表示第一次及第二次出現(xiàn)正面的次數(shù)，求：(1)(X , Y)的聯(lián)合概率分布；(2)Z = X+Y的概率分布。26設二維隨機變量(X,Y )在矩形域D (x,y) a x b,c x d上服從均勻分布，求：(1) (X,Y)的聯(lián)合概率分布；(2) X與Y的邊緣分布。27.設二維隨機變量(X , Y )的聯(lián)合概率密度為f(x,y) 2e( y)0,0,y 0其他 ，求：(1) X與Y的邊緣概率密度；(2) X與Y是否獨立. 28.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為xyF (x, y) A( B+arctan -)(C+arctan -)23求：(1)系數(shù)A、B及