函數(shù)與方程Word版

1、三、函數(shù)與方程3.1 一元二次方程3.1.1根的判別式我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以將其變形為 因?yàn)閍0，所以，4a20于是（1）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1，2；（2）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根 x1x2；（3）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判別式，通常用符號(hào)“”來表示綜上所述，

2、對(duì)于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1，2；（2）當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 x1x2；（3）當(dāng)0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根例1 判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）324×1×330，方程沒有實(shí)數(shù)根（2）該方程的根的判別式a24×1×(1)a240，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根， （3）由于該方程的根的判別式為1 / 24a24×1×(a1

3、)a24a4(a2)2，所以，當(dāng)a2時(shí)，0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 x1x21；當(dāng)a2時(shí)，0， 所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x11，x2a1（3）由于該方程的根的判別式為224×1×a44a4(1a)，所以當(dāng)0，即4(1a) 0，即a1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ， ； 當(dāng)0，即a1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 x1x21； 當(dāng)0，即a1時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)

4、用這一方法來解決問題3.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ，則有 ； 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1·x2這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知 x1x2p，x1·x2q，即 p(x1x2)，qx1·x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1·x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方

5、程x2(x1x2)xx1·x20因此有以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1·x20例2 已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個(gè)根但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值解法一：2是方程的一個(gè)根，5×22k×260，k7所以，方程就為5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7解法二

6、：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7例3 已知關(guān)于x的方程x22(m2)xm240有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得 x1x22(m2)，x1·x2m24 x12x22x1·x221， (x1x2)23 x1·x221，即 2(m2)23(m24)21，化簡(jiǎn)

7、，得 m216m170， 解得 m1，或m17當(dāng)m1時(shí)，方程為x26x50，0，滿足題意；當(dāng)m17時(shí)，方程為x230x2930，3024×1×2930，不合題意，舍去綜上，m17說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可（1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根例4 已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為12，求這兩個(gè)數(shù)分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出

8、這兩個(gè)數(shù)也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x，y，則 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，這兩個(gè)數(shù)是2和6解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程 x24x120的兩個(gè)根 解這個(gè)方程，得 x12，x26所以，這兩個(gè)數(shù)是2和6說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來解題）要比解法一簡(jiǎn)捷例5 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）| x1x2

9、|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()×()23×()說明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則，| x1x2| 于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論

10、例6 若關(guān)于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a43.1.3一元二次方程實(shí)根的分布知識(shí)要點(diǎn)：1一元二次方程與二次函數(shù)有著密切的關(guān)系對(duì)于一元二次方程實(shí)根的分布問題，可借助于二次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)問題作等價(jià)轉(zhuǎn)換，從頂點(diǎn)，判別式，對(duì)稱軸，自變量取一些關(guān)鍵值時(shí)函數(shù)值的符號(hào)，從而列出相應(yīng)的方程或不等式，使問題得到解決2實(shí)系數(shù)一元二次方程根的各種情況：(1)有兩零根Ûb=c=0；(2)至少有一零根Ûc=0；(3)只有一零根&

11、#219;b¹0，且c=0；(4)有一正根和一負(fù)根Û<0；(5)有一正根和一零根Ûc=0且>0；(6)有一負(fù)根和一零根Ûc=0且<0；(7)有兩正根Û；(8)有兩負(fù)根Û；(9)至少有一正根(包括：兩正根，一正根一負(fù)根，一正根一零根)；(10)至少有一負(fù)根(包括：兩負(fù)根，一正根一負(fù)根，一負(fù)根一零根)3設(shè)二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩根是a，b，且a<b，令f(x)=ax2+bx+c(1) 若m<a<n<b<t，則f(m)>0，f(n)<0，f(t)>0

12、；(2) 若a<m<b，則f(m)<0；(3) 若a>m，b>m，則³0，f (m)>0，b/2a>m ；(4) 若n<a，b<m，則³0，f(n)>0，f(m)>0，n<b/2a<m；等等例題分析：1已知a，b是x2+(2m-1)x+4-2m=0的兩個(gè)實(shí)根，且a<2<b，求m的取值范圍 f(2)<0，m< -32關(guān)于x的方程x2-mx+4=0在1£x£1上有解，求m的取值范圍f(-1)£0，f(1)>0或f(1)£0，f(-1

13、)>0，m£ -5或³53已知方程3x2-5x+a=0的兩根a，b滿足2<a<0，1<b<3，求a的取值范圍f(-2)>0，f(0)<0，f(1)<0，f(3)>0，-12<a<04要使方程2x2+3x+5m=0的任一根都小于1，求m的取值范圍 1<m£*5實(shí)數(shù)a在什么范圍內(nèi)時(shí)，關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一個(gè)根大于2且小于0，另一個(gè)根大于1且小于3 ? -12<a<032 二次函數(shù)3.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖像和性質(zhì)問題1 函數(shù)yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的

14、關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y2x2，yx2，y2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)yax2與yx2的圖象之間所存在的關(guān)系先畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象先列表：x3210123x294101492x2188202818yx2y2x2圖2.2-1xOy從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)yx2，y2x2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y2x2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫酵瑢W(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)yx2，y

15、2x2的圖象，并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系圖2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)yax2(a0)的圖象可以由yx2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到在二次函數(shù)yax2(a0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開口的大小問題2 函數(shù)ya(xh)2k與yax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系同學(xué)們可以作出函數(shù)y2(x1)21與y2x2的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2x2的圖象向左平移一個(gè)單位，再向

16、上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn)類似地，還可以通過畫函數(shù)y3x2，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)yax2的圖象

17、作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yax2bxc圖象開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取最小值y（2）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yax2bxc圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減小；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取最大值y xyOxA圖2.2-3xyOxA圖2.2-4上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖223和圖224直觀地表示出來因此，在今后解決二次函數(shù)問題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題例1 求二次函

18、數(shù)y3x26x1圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減?。坎嫵鲈摵瘮?shù)的圖象xOyx1A(1,4)D(0,1)BC圖2.25解：y3x26x13(x1)24，函數(shù)圖象的開口向下；對(duì)稱軸是直線x1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y取最大值y4；當(dāng)x1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x1時(shí)，y隨著x的增大而減?。徊捎妹椟c(diǎn)法畫圖，選頂點(diǎn)A(1，4)，與x軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過這五點(diǎn)畫出圖象（如圖25所示）說明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫圖更簡(jiǎn)

19、便、圖象更精確例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷售利潤(rùn)是多少？分析：由于每天的利潤(rùn)日銷售量y×(銷售價(jià)x120)，日銷售量y又是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)ykx（B）將x130，y70；x150，y50代

20、入方程，有 解得 k1，b200 yx200設(shè)每天的利潤(rùn)為z（元），則z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，當(dāng)x160時(shí)，z取最大值1600答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為1600元例3 把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)yx2的圖像，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到的圖像，也就是函數(shù)yx2的圖像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)yx2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)yx2的

21、圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)yx2bxc的圖像由于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y(x4)22的圖像，即為yx28x14的圖像，函數(shù)yx28x14與函數(shù)yx2bxc表示同一個(gè)函數(shù)，b8，c14說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來解決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問題來解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)?/p>

22、方法來解決問題例4 已知函數(shù)yx2，2xa，其中a2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論解：（1）當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)yx2的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時(shí)x2；（2）當(dāng)2a0時(shí)，由圖226可知，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)取最小值ya2；（3）當(dāng)0a2時(shí)，由圖226可知，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取最小值y0；（4）當(dāng)a2時(shí)，由圖226可知，當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)取最大值ya2；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取最小值y0xyO2axyO2aa2

23、4圖2.26xyOa224a22xyOaa24說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來研究，在解決這一類問題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題3.2.2 二次函數(shù)的三種表示方式通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2頂點(diǎn)式：ya(xh)2k (a0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)拋物線yax2bxc

24、(a0)與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程的解的個(gè)數(shù)又與方程的根的判別式b24ac有關(guān)，由此可知，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式b24ac存在下列關(guān)系：（1）當(dāng)0時(shí)，拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則0也成立（2）當(dāng)0時(shí)，拋物線yax2bxc(a0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（拋物線的頂點(diǎn)）；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x

25、軸有一個(gè)交點(diǎn)，則0也成立（3）當(dāng)0時(shí)，拋物線yax2bxc(a0)與x軸沒有交點(diǎn)；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸沒有交點(diǎn)，則0也成立于是，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2bxc0的兩根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2) 由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論：若拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為ya(xx1) (xx2) (a0)這樣，也就得到了表示

26、二次函數(shù)的第三種方法：3交點(diǎn)式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來解題 例1 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線yx1上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，1），求二次函數(shù)的解析式分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過定點(diǎn)來求解出系數(shù)a解：二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2又頂點(diǎn)在直線yx1上，所以，2x1，x1頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）設(shè)

27、該二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（3，1），解得a2二次函數(shù)的解析式為，即y2x28x7說明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問題因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問題例2 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式解法一：二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3，0)，(1，0)，可設(shè)二次函數(shù)為ya(x3) (x1) (

28、a0)，展開，得 yax22ax3a， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，|4a|2，即a所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y，或y分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3，0)，(1，0)，所以，對(duì)稱軸為直線x1，又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來解，然后再利用圖象過點(diǎn)(3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式解法二：二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3，0)，(1，0)，對(duì)稱軸為直線x1又頂點(diǎn)到x軸的距離為2，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或2于是可設(shè)二次函數(shù)為ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函數(shù)圖象過點(diǎn)(1，0)，0a(11)22

29、，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函數(shù)為y(x1)22，或y(x1)22說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例3 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式解：設(shè)該二次函數(shù)為yax2bxc(a0)由函數(shù)圖象過點(diǎn)(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得 a2，b12，c8所以，所求的二次函數(shù)為y2x212x8通過上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式來求二次函數(shù)的表達(dá)式？ 3.2

30、.3 二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換1平移變換問題1 在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時(shí)，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可例1 求把二次函數(shù)yx24x3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：（1）向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；（2）向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項(xiàng)系數(shù)），所以只改變二次

31、函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置（即只改變一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)），所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點(diǎn)式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置求出平移后函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的解析式解：二次函數(shù)y2x24x3的解析式可變?yōu)?y2(x1)21，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)（1）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3，2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為 y2(x3)22（2）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1， 2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為 y2(x1)222對(duì)稱

32、變換問題2 在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換問題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置和開口方向來解決問題xyOx1A(1,1)A1(3,1)圖2.27例2 求把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于下列直線對(duì)稱后所得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：（1）直線x1；（2）直線y1解：（1）如圖227，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1作對(duì)稱變換后，只改變圖象的

33、頂點(diǎn)位置，不改變其形狀由于y2x24x12(x1)21，可知，函數(shù)y2x24x1圖象的頂點(diǎn)為A(1,1)，所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為A1(3，1)，所以，二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y2(x3)21，即y2x212x17xyOy1A(1,1)B(1，3)圖2.28（2）如圖228，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1作對(duì)稱變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置和開口方向，不改變其形狀由于y2x24x12(x1)21，可知，函數(shù)y2x24x1圖象的頂點(diǎn)為A(1,1)，所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為B(1，3)，且開口向下，所以，二次函數(shù)y2x24x1的圖

34、象關(guān)于直線y1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y2(x1)23，即y2x24x1二、分段函數(shù)一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù) 例3 在國內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0x100)的信應(yīng)付多少郵資（單位：分）？寫出函數(shù)表達(dá)式，作出函數(shù)圖象分析：由于當(dāng)自變量x在各個(gè)不同的范圍內(nèi)時(shí)，應(yīng)付郵資的數(shù)量是不同的所以，可以用分段函數(shù)給出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式在解題時(shí)，需要注意的是，當(dāng)x在各個(gè)小范圍內(nèi)（如20x40）變化時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（郵資）并不

35、變化（都是160分）解：設(shè)每封信的郵資為y（單位：分），則y是x的函數(shù)這個(gè)函數(shù)的解析式為x(克)y(分)O圖2.29 20 40 60 80 10040032024016080 由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖229所示ACBDP圖2.210例4如圖92所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)沿折線ABCD移動(dòng)一周后，回到A點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的路程為x，PAC的面積為y（1）求函數(shù)y的解析式；（2）畫出函數(shù)y的圖像； （3）求函數(shù)y的取值范圍分析：要對(duì)點(diǎn)P所在的位置進(jìn)行分類討論解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)（如圖2210），即0x2時(shí)，yx；當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上移動(dòng)（如圖

36、2210），即2x4時(shí)，y4x；當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上移動(dòng)（如圖2210），即4x6時(shí)，yx4；當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上移動(dòng)（如圖2210），即6x8時(shí)，ABCDP ACBDP ACBDP ADBCP 圖2.210y8x綜上所述，函數(shù)f（x）的解析式為（2）函數(shù)y的圖像如圖2211所示xyO22468圖2.211（3）由函數(shù)圖像可知，函數(shù)y的取值范圍是0y23.3 方程與不等式3.3.1 二元二次方程組解法方程 是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程其中,叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng),叫做一次項(xiàng),6叫做常數(shù)項(xiàng)我們看下面的兩個(gè)方程組： 第一個(gè)方程組是由一個(gè)二元

37、二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的，第二個(gè)方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組下面我們主要來研究由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解例1 解方程組 分析：二元二次方程組對(duì)我們來說較為生疏，在解此方程組時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式注意到方程是一個(gè)一元一次方程，于是，可以利用該方程消去一個(gè)元，再代入到方程，得到一個(gè)一元二次方程，從而將所求的較為生疏的問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問題解：由,得 x2y2， 把代入,整理,得 8y28y0，即 y(y1)0 解得 y10，y21 把y10代

38、入, 得 x12； 把y21代入, 得x20 所以原方程組的解是 說明：在解類似于本例的二元二次方程組時(shí)，通常采用本例所介紹的代入消元法來求解例2 解方程組 解法一：由，得 把代入，整理，得解這個(gè)方程，得把代入，得；把代入，得所以原方程的解是 解法二：對(duì)這個(gè)方程組，也可以根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把看作一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，通過解這個(gè)一元二次方程來求這個(gè)方程組的是一元二次方程的兩個(gè)根，解這個(gè)方程，得，或所以原方程組的解是3.3.2 一元二次不等式解法二次函數(shù)yx2x6的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：x32101234y60466406xO23yx2x6yy0y0y0圖2.31由對(duì)應(yīng)值表及函數(shù)

39、圖象(如圖2.31)可知當(dāng)x2，或x3時(shí)，y0，即x2x60；當(dāng)x2，或x3時(shí)，y0，即x2x60；當(dāng)2x3時(shí)，y0，即x2x60這就是說，如果拋物線y= x2x6與x軸的交點(diǎn)是(2，0)與(3，0)，那么一元二次方程x2x60的解就是x12，x23；同樣，結(jié)合拋物線與x軸的相關(guān)位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是 x2，或x3；一元二次不等式 x2x60的解是 2x3上例表明：由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集 那么，怎樣解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？ 我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象來解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 為了方便起見，我們先來研究二次項(xiàng)系數(shù)a0時(shí)的一元二次不等式的解xyOx1x2xyOx1= x2yxO圖2.32我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)，設(shè)b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分別為下列三種情況有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解和沒有實(shí)數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線yax2bxc（a0）與x軸分別有兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)和沒有公共點(diǎn)(如圖2.32所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式ax2bxc0（a0）與ax2bxc0（a0）的解（1）（1）當(dāng)0時(shí)，拋物線yax2bxc（a0）與x軸有兩個(gè)公