抽象函數(shù)的周期類型

1、抽象函數(shù)的周期類（中一觀察法通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y=3+(23x) 的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出(23x) 的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知(23x)0，故3+(23x)3。函數(shù)的知域?yàn)?.點(diǎn)評(píng)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。本題通過(guò)直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法，簡(jiǎn)捷明了，不失為一種巧法。練習(xí)：求函數(shù)y=x(0x5)的值域。（答案：值域?yàn)椋?，1，2，3，4，5）二反函數(shù)法當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。例2求函數(shù)y=(x

2、+1)/(x+2)的值域。點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(12y)/（y1）,其定義域?yàn)閥1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閥y1,yR。點(diǎn)評(píng)：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。（答案：函數(shù)的值域?yàn)閥y<1或y>1）三配方法當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域例3：求函數(shù)y=(x2+x+2)的值域。點(diǎn)撥：將被開(kāi)方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的

3、最值求。解：由x2+x+20,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤1，2。此時(shí)x2+x+2=（x1/2）29/40，9/40x2+x+23/2,函數(shù)的值域是0,3/2點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。練習(xí)：求函數(shù)y=2x5154x的值域.(答案:值域?yàn)閥y3)四判別式法若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無(wú)理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。例4求函數(shù)y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。解：將上式化為（y2）x2(y2)x+(y-3

4、)=0 （）當(dāng)y2時(shí),由=(y2)24（y2）x+(y3)0，解得：2x10/3當(dāng)y=2時(shí),方程()無(wú)解。函數(shù)的值域?yàn)?y10/3。點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±(cx2+dx+e)的函數(shù)。練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x23x+1)的值域。（答案：值域?yàn)閥8或y>0）。五最值法對(duì)于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。例5已知(

5、2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。解：3x2+x+10，上述分式不等式與不等式2x2-x-30同解，解之得1x3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1x3/2),z=-(x-2)2+4且x-1,3/2,函數(shù)z在區(qū)間-1,3/2上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=-1時(shí)，z=5；當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。函數(shù)z的值域?yàn)閦5z15/4。點(diǎn)評(píng)：本題是將函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)開(kāi)區(qū)間，若存在最值，也可通過(guò)求出最值而獲

6、得函數(shù)的值域。練習(xí)：若x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)?（ ）A（，） B7， C0，） D5，）（答案：D）。六圖象法通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。例6求函數(shù)y=x+1+(x-2)2 的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉符號(hào)后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。解：原函數(shù)化為 2x+1 (x1)y= 3 (-1<x2)2x-1(x>2)它的圖象如圖所示。顯然函數(shù)值y3,所以，函數(shù)值域3，。點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問(wèn)題的重要方法。求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過(guò)不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方

7、法求函數(shù)的值域。七單調(diào)法利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。例1求函數(shù)y=4x1-3x(x1/3)的值域。點(diǎn)撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)= 1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域?yàn)閤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。解：設(shè)f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x在定義域?yàn)閤1/3上也為增函數(shù)，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)閥|y4/3。點(diǎn)評(píng)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性

8、，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=3+4-x 的值域。(答案：y|y3)八換元法以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。例2求函數(shù)y=x-3+2x+1 的值域。點(diǎn)撥：通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。解：設(shè)t=2x+1 （t0）,則x=1/2(t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2.所以，原函數(shù)的值域?yàn)閥|y7/2。點(diǎn)評(píng)：將無(wú)理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題

9、的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=x-1 x的值域。（答案：y|y3/4九構(gòu)造法根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例3求函數(shù)y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識(shí)，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22作一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個(gè)單位正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22 ,KC=(x+2)2+1 。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KCAC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。原函數(shù)的知域?yàn)閥|y5。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形

10、如函數(shù)y=x2+a ±(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡(jiǎn)捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。練習(xí)：求函數(shù)y=x2+9 +(5-x)2+4的值域。（答案：y|y52）十比例法對(duì)于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)代換（配湊）法求解析式已知形如的表達(dá)式，求的表達(dá)式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，則函數(shù)=_（答：）；（3）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，那么當(dāng)時(shí)，=_（答：）. 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即的定義域應(yīng)是的值域。2待定系數(shù)法求解析式已知所求函數(shù)的

11、類型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：；頂點(diǎn)式：；零點(diǎn)式：，要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式）。如已知為二次函數(shù)，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,求的解析式 。（答：）3運(yùn)用方程的思想求解析式已知條件是含有及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+= ,則= _（答：）。(本文字?jǐn)?shù)：401)函數(shù)的奇偶性知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)撥及練習(xí)。1函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性

12、，則其單調(diào)性恰恰相反.如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).若為偶函數(shù)，則.如若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且=2，則不等式的解集為_(kāi).（答：）若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)_（答：1）.定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和（或差）”。如設(shè)是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)， ，。判斷與的奇偶性； 若將函數(shù)，表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，則_（答：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；）復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集）.（答：0）

13、；2確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性）：定義法：如判斷函數(shù)的奇偶性_（答：奇函數(shù)）。利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：或（）。如判斷的奇偶性_.（答：偶函數(shù)）圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。3具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如若函數(shù)，為奇函數(shù)，其中，則的值是 1.反函數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是A，值域是C我們從式子y=f(x)中解出x得到式子x=(y)如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x=(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，

14、那么式子x=(y)叫函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f-1(y)，習(xí)慣表示為y=f-1(x)注意：函數(shù)y=f(x)的定義域和值域，分別是反函數(shù)y=f-1(x)的值域和定義域，例如：f(x)=的定義域是-1，+，值域是0，+），它的反函數(shù)f-1(x)=x2-1, x0，定義域?yàn)?，+），值域是-1，+)。2反函數(shù)存在的條件按照函數(shù)定義，y=f(x)定義域中的每一個(gè)元素x，都唯一地對(duì)應(yīng)著值域中的元素y，如果值域中的每一個(gè)元素y也有定義域中的唯一的一個(gè)元素x和它相對(duì)應(yīng)，即定義域中的元素x和值域中的元素y，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則y=f(x)存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，否則不存在反函數(shù)例

15、如：函數(shù)y=x2,xR，定義域中的元素±1，都對(duì)應(yīng)著值域中的同一個(gè)元素1，所以，沒(méi)有反函數(shù)而y=x2, x1表示定義域到值域的一一對(duì)應(yīng)，因而存在反函數(shù)3函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱若點(diǎn)(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(diǎn)(b,a)在它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上4反函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單命題 （1）一個(gè)奇函數(shù)y=f(x)如果存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)y=f-1(x)一定是奇函數(shù)（2）一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間是（減）函數(shù)，并且存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間也是增（減）函數(shù) (本文字?jǐn)?shù)：599)0典型題目一：若函數(shù)f(x)的圖象

16、過(guò)（0，1）點(diǎn)，則f-1(x+4)的圖象必過(guò)點(diǎn)_分析：f(x)的圖象過(guò)（0，1）點(diǎn)， f-1(x)的圖象過(guò)（1，0）點(diǎn)，而f-1(x+4)的圖象是把y=f-1(x)的圖象向左平移4個(gè)單位而得到的，故f-1(x+4)的圖象過(guò)(-3,0)點(diǎn)典型題目二:函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=f-1(x+1)的圖象（ ） .A、關(guān)于直線y=x對(duì)稱 B、關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱C、關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱 D、關(guān)于直線y=-x對(duì)稱解答：y=f(x+1)與y=f-1(x+1)圖象是分別將y=f(x), y=f-1(x)的圖象向左平移一個(gè)單位所得， y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，y=x向左平移

17、一個(gè)單位而得y=x+1. 故選B.典型題目三:定義在R上的函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則函數(shù)y=f(x+a)+b的圖象與y=f-1(x+a)+b的圖象間的關(guān)系是（）.A、關(guān)于直線y=x+a+b對(duì)稱B、關(guān)于直線x=y+a+b對(duì)稱C、關(guān)于直線y=x+a-b對(duì)稱D、關(guān)于直線x=y+a-b對(duì)稱解答:將y=x向左平移a個(gè)單位，向上平移b個(gè)單位得y=x+a+b，故選A.典型題目四：求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)y=x2+2x-2, x-3,-2;(2)y=.解：（1） y=(x+1)2-3, x-3,-2, -2y1且(x+1)2=y+3. x+1=-, y=-1-, 所求反函數(shù)y=-1-2x1.(2)若x0，

18、則y=x20, x=-.若x>0, 則 y=-x-1<-1, x=-y-1. 所求反函數(shù)y=.評(píng)注：求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟是（1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).（3）將x、y交換位置得y=f-1(x)（4）求分段函數(shù)的反函數(shù)，應(yīng)分別求出各段的反函數(shù)，它們聯(lián)合在一起構(gòu)成原函數(shù)的反函數(shù)典型題目五：設(shè)y=f(x)是單調(diào)函數(shù)，求證：f(x)的反函數(shù)y=f-1(x)是單調(diào)函數(shù)，且其增減性與f(x)增減性一致證明：以y=f(x)為增函數(shù)時(shí)情況加以證明，用反證法設(shè)x1<x2, y1=f-1(x1), y2=f-1(x2), 證明y1<y2.反之若y1y2, 由于f(x)是增函數(shù)，f(y1)f(y2), 而f(y1)=x1, f(y2)=x2,