數列知識點復習

1、數列知識點復習cab21、如果、如果a,b,c成等差數列，則稱成等差數列，則稱b為為a、c的的等差中項等差中項a,b,c成等差數列成等差數列2cab即：一、等差數列等比數列的通項公式：一、等差數列等比數列的通項公式：2、等差數列通項公式：、等差數列通項公式：),()() 1(*1Nmndmnaadnaamnn 則：滿足：若項數、等差數列qplmqplman,32qplqplmlm 時，特別地：qplaaa2qplmaaaa二、證明一些數列是等差數列二、證明一些數列是等差數列 是，求出公差和首項是否是等差數列，如果數列判斷的通項公式是例、已知數列nnnanaa, 34 注：注： qpnaann的

2、通項公式可表示為：等差數列其中其中p,q均是常數均是常數當當d0時，數列時，數列an是遞增數列是遞增數列當當d0時，數列時，數列an是遞減數列是遞減數列當當d=0時，數列時，數列an是常數列是常數列P為公差為公差首項為首項為p+q二、等比數列的通項公式：二、等比數列的通項公式：1、如果、如果a,b,c成等比數列：成等比數列：bcab那么：那么：a,b,c成等比數列成等比數列acb 22 2、等比數列的通項公式：、等比數列的通項公式：稱稱b為為a、c的的等比中項等比中項acb即：)(*11Nnqaann 則：滿足：若項數、等比數列qplmqplman,32pqmlmlpql 特特別別地地：時時，

3、2lpqaaaqplmaaaa),(*)(Nmnqaamnmn即：等比數列單調性：等比數列單調性：步驟：步驟： 1n1nqaa 寫寫出出通通項項公公式式1 找找到到對對應應的的函函數數2指數函數指數函數(3)結合指數函數的單調性進行研究結合指數函數的單調性進行研究結論：結論： 遞增遞增1011 q,a 遞遞減減1021 q,a遞增遞增101 q0 ,a10 01a,q 遞遞減減說明： 等差數列的項可以為等差數列的項可以為0，公差也可以是，公差也可以是0 等比數列的項等比數列的項不可以不可以為為0，公比也，公比也不可以不可以是是0常數數列常數數列c,c,c,是等差數列還是等比數列是等差數列還是等

4、比數列一、直接或間接運用公式法一、直接或間接運用公式法等差數列的求和公式：等差數列的求和公式：dnaSnnaannn2) 1(12)(1等比數列的求和公式：等比數列的求和公式：還有一些常用公式：還有一些常用公式：6) 12)(1(2222321 nnnn11111)1 (11111qqqaaqnaqqqaqnaSnnn三、等差數列和等比數列的求和公式：Sn= _qn ?,3.為等比數列數列什么條件時滿足當常數項和為的前數列例nnnnaaaSna注注: :時1qqqaSnn1)1 (1nnqqaqaS1111AA例、在等比數列例、在等比數列 an 中，它的前項和是中，它的前項和是sn ，當當s3

5、 = 3a3時，求公比時，求公比 q 的值的值解解：（：（1）當）當q = 1 時時 an 為常數列，為常數列， s3 =3a3=3a1恒成立恒成立（2） 當當q 1時時 a1（1 q3）1 - qS3 = 3a3 a1 . (1 + q + q2 ) = 3 a1 q2 a1 0 2 q2 - q -1= 0解得解得 q = - 或或 q = 1（舍去）（舍去）12綜上所述：綜上所述： q = 1 或或 q = -12注意特別考慮注意特別考慮q=1的情況的情況 等差數列判定方法：等差數列判定方法：（1）定義法：）定義法：（2）遞推公式法：）遞推公式法：（3）看通項法：）看通項法：（4）看前）

6、看前n項和法：項和法：1nnaa常數,naknbk b（其中為常數）112nnnaaa2()nSAnBn AB、 為常數 等比數列判定方法：等比數列判定方法：（1）定義法：）定義法：（2）遞推公式法：）遞推公式法：（3）看通項法：）看通項法：（4）看前）看前n項和法：項和法：)0, 0( qkkqann001nnSAAq ( A,q,q) 1nnaa 常常數數0 0112 nnnaaa四、數列求通項公式的幾種方法： )(330,. 1*11Nnaaaaannnn中數列 )(21210,. 2*11Nnaaaaaannnnn中數列 2333nan 12nan 構造等差數列 nnnnaaaaa求：

7、，中，、已知數列, 13131113 nnakak 解解：設設（）（ ） 21321 1）（得nnaa構造等比數列構造等比數列迭加法迭加法 nnnnanaaaa求：，中，、已知數列,21411112 aa解：解：223 aa334 aa 11 naann+迭乘法迭乘法 nnnnannaaaa求：，中，、已知數列,11511121342312.1342312nnnnaaaaaaaann解：)( *Nnnan)(2222:*11NnaSaSnnnn解 的通項公式數列求且項和的前為數列S、已知nnnnnaaSna:22,6得到由)2(1nSSannn1122nnnnaaSS)(3223*11Nnaa

8、aannnn 322232,1111aaSaqan首項公比是等比數列數列)(32*Nnann 111722*nnnnaaanN,aa. 、已已知知數數列列中中，（）求求數數列列的的通通項項公公式式，解；解；4534231224321 aaaa）（猜測：* 1Nnnnan然后用數學歸納法證明然后用數學歸納法證明歸納法歸納法(1)分清等差數列與等比數列分清等差數列與等比數列(2) 分清首項分清首項,項數項數(及年份及年份)nnSa 與與分分清清)3(解有關等差、等比數列的實際問題應注意解有關等差、等比數列的實際問題應注意:五、常用數列極限五、常用數列極限)( lim)2(是是常常數數CCn nn1

9、lim) 1 (0C, )3(時時當當1 q0lim nnq0 1 21 21 ) (0)1(limxxxxxxxnn的取值范圍是，則若A.B.C.D.的極限討論數列 nq11- 0limqqnn解：B1 1q11 qq或不存在六、數列極限的四則運算：六、數列極限的四則運算：如果如果 那么那么 ,limaannbbnnlimbabannn)(limbabannn)(lim)0(limbbabannnaCaCnn)(lim注：上述法則可推廣到注：上述法則可推廣到有限個有限個數列的加和乘數列的加和乘有極限例、已知例、已知 , ,求求 , 5lim nna3lim nnb).43(limnnnba

10、等于多少？則若)6(lim5)27(lim, 7)45(limnnnnnnnnnbababa改題：nnnnnnnnbaBbaAba2745lim)6(lim124675BABA分析：分析：21BAnnnnnnnnnnnnnnbababababa27lim45lim2127214521lim)6(lim222222222123123000000nnnnn.nlim()nnnnnlimlimlimlimnnnn.判判斷斷：項數是無限的，所以是不可以直接用性質的項數是無限的，所以是不可以直接用性質的1、 已知已知 ，求常數，求常數 的值的值.1)2122(lim2 bnnannnba、有理型極限：有

11、理型極限：222221234lim.nnnnnnn2123lim()nnn 2(1)lim2nn nn 22lim2nnnn 12 指數型極限指數型極限1 (0 1nnnalima)a 例例、求求 10101,100 1) 1 ( :原式時當解aaa 01111,1)2( 原原式式時時當當a原式時當,10 1) 3(aaa11010 1111limnnnaa無理型極限：無理型極限：21nlim(nn)2101nlim()nn 1267nnnnaqaaalim.aaa 例例、已已知知數數列列為為等等比比數數列列，公公比比是是 ，求求的的值值時當101 qnnnnnnqqqqqaqaq555111

12、lim11lim12時，原式、當15lim1111annaqn時，原式、當解：51q原式時當12q1111lim1lim55nnnnnnqqqqqq原式1極限不存在時當,13q綜上：。綜上：。七、無窮遞縮等比數列各項和七、無窮遞縮等比數列各項和對一般的無窮等比數列對一般的無窮等比數列 ,112111 nqaqaqaa 01q 111nnnna (q )Slim Slimq 注意：注意：S與與 的不同的不同 nS定義：我們把定義：我們把 nnS lim叫做這個無窮等比數列叫做這個無窮等比數列)10( q各項的和，記作各項的和，記作SnnSS lim11aq nnnnnSaaaaaaaaSlim.

13、lim.321321 210 B nnnnanSbbaACD1.1.數數列列前前 項項之之和和（），則則數數列列是是（）數數列列（ ）等等差差 數數列列（ ）等等比比數數列列（ ）常常數數數數列列（ ）等等差差或或等等比比數數列列 390nnnanSaad,n_,S.2.2.等等差差數數列列中中，前前 項項和和為為，公公差差則則 為為時時最最大大3021003nnn_3.3.一一等等差差數數列列前前 項項和和為為，前前項項和和為為，則則它它的的前前項項和和為為若數列若數列 是等差數列是等差數列, 則則 也是等差數列也是等差數列 . na,34232kkkkkkkSSSSSSS 若數列若數列 是等比數列，則是等比數列，則 也是等比數列也是等比數列 . na,34232kkkkkkkSSSSSSS 知