經(jīng)管類線性代數(shù)413線性方程組

1、 三個(gè)問題：三個(gè)問題：（1）如何判別線性方程組是否有解？）如何判別線性方程組是否有解？（2）解有那些性質(zhì)？）解有那些性質(zhì)？（3）如何求解？）如何求解？一個(gè)重要概念：基礎(chǔ)解系一個(gè)重要概念：基礎(chǔ)解系一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1、知識(shí)目標(biāo)：基礎(chǔ)解系、齊次（非）線性、知識(shí)目標(biāo)：基礎(chǔ)解系、齊次（非）線性方程組的通解方程組的通解 2、能力目標(biāo)：如何求解齊次（非）線性方、能力目標(biāo)：如何求解齊次（非）線性方程組，特別對(duì)于含有參數(shù)的方程組如何解決。程組，特別對(duì)于含有參數(shù)的方程組如何解決。二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) 1、重點(diǎn)：、重點(diǎn)：4.3，4.4 2、難點(diǎn)：、難點(diǎn)： 4.4第四章第四章 線性方程組

2、線性方程組 P67-P68 P69-P71 （1 1）若）若 為為 的解，則的解，則 也是也是 的解的解. .證明證明（2 2）若）若 為為 的解，的解， 為實(shí)數(shù)，則為實(shí)數(shù)，則 也是也是 的解的解證明證明由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組性方程組 的的解空間解空間證畢證畢.基礎(chǔ)解系的定義：如果基礎(chǔ)解系的定義：如果(也稱為解空間的也稱為解空間的一組基一組基)定理定理2 2、設(shè)齊次線

3、性方程組、設(shè)齊次線性方程組 ，R(A)=r,nR(A)=r,n為為方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)。方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)。（1 1）若若r=n,r=n,則方程組只有零解；（此時(shí)沒有則方程組只有零解；（此時(shí)沒有 基礎(chǔ)解系）?；A(chǔ)解系）。（2 2）若若rnrn，則方程組有非零解，且存在一個(gè)，則方程組有非零解，且存在一個(gè)由由n-rn-r個(gè)線性無關(guān)的解向量個(gè)線性無關(guān)的解向量 構(gòu)成構(gòu)成的基礎(chǔ)解系。的基礎(chǔ)解系。 r(A) =3 = n, 只有零解只有零解 X = 0 例例4 設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A, B滿足滿足AB = 0, 證明：證明： R(A)+R(B) n.證證設(shè)設(shè) B = (b1, , bn), 則則AB =

4、A(b1, , bn) = (A b1 , , Abn) = 0,A bi = 0, i = 1, , n.bi ( i = 1, , n)為為AX = 0的解，所以可由基礎(chǔ)解系的解，所以可由基礎(chǔ)解系 1, 2, , n-r(r = R(A)線性表出線性表出.所以所以, 秩秩( B) =秩秩 (b1, , bn) 秩秩( 1 , , n-r)= n-r(A).即即 R(A)+R(B) n.P74與方程組與方程組 有解等價(jià)的命題有解等價(jià)的命題(P7(P76 6定理定理3)3)(1)(1)線性方程組線性方程組 有解有解( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nB

5、RAR = =（2）、非齊次方程組）、非齊次方程組證明證明非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì)證明證明證畢證畢(3)其中其中 為對(duì)應(yīng)齊次線性方程為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解解.非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解(P(P7777定理定理4)4)非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=b的通解為的通解為線性方程組的解法線性方程組的解法（1 1）應(yīng)用克萊姆法則）應(yīng)用克萊姆法則（2 2）利用初等變換）利用初等變換特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計(jì)算量大，容易出錯(cuò)

6、，但有重要的理論價(jià)值，可計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，但有重要的理論價(jià)值，可用來證明很多命題用來證明很多命題特點(diǎn)：適用于方程組有唯一解、無解以及有特點(diǎn)：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運(yùn)算在一個(gè)矩陣（數(shù)無窮多解的各種情形，全部運(yùn)算在一個(gè)矩陣（數(shù)表）中進(jìn)行，計(jì)算簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)，是有效表）中進(jìn)行，計(jì)算簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)，是有效的計(jì)算方法的計(jì)算方法例例5 5 求解方程組求解方程組解解非齊次方程組的特解為非齊次方程組的特解為則方程組的通解即求。則方程組的通解即求。例例6 解解有無窮多解有無窮多解得同解方程組得同解方程組(1)求非齊次的特解求非齊次的特解:取取x3=0, 得得 0 =(

7、3,2,0)T(2)求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系:取取x3=1, 得得 =(1, -2, 1)T例例7 解解無解無解( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = =-線性方程組解的情況線性方程組解的情況（2）、非齊次方程組）、非齊次方程組（1）、齊次方程組）、齊次方程組例例8 解解(1) = 1時(shí)，時(shí)，有無窮多解有無窮多解得同解方程組得同解方程組 x1 = 1- x2 x3 導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系：導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系： 1 =(-1, 1, 0)T, 2 =(-1, 0, 1)T非齊次特解：非齊次特解： 0 =(1, 0, 0)T原方程組通解：原方程組通解：X = 0 + k1 1 + k2 2 , k1