應用數(shù)理統(tǒng)計之參數(shù)估計(共22頁).ppt

1、本資料來源第三章 參數(shù)估計一、矩法估計二、估計量的評選標準三、參數(shù)的區(qū)間估計統(tǒng)計是關于收集、整理、分析數(shù)據(jù)，從而對所考察的現(xiàn)象或問題進行描述，作出一定結(jié)論的方法和理論。統(tǒng)計工作的領域可分位三個方面。其一是統(tǒng)計的應用，即應用統(tǒng)計方法解決各種實際問題。其二是統(tǒng)計方法的研究。在統(tǒng)計的應用中會遇到一些新問題，已有的統(tǒng)計方法不適用或不完全適用，這就需要去研究和探索新的統(tǒng)計方法，或是改進已有的統(tǒng)計方法使之適應新的情況。其三是統(tǒng)計理論的研究。一項統(tǒng)計方法的合理性與科學性當然需要經(jīng)過實踐的檢驗。統(tǒng)計方法分為兩大類描述統(tǒng)計方法和推斷統(tǒng)計方法。描述統(tǒng)計方法主要是對已經(jīng)獲得的數(shù)據(jù)進行整理、概括，使之系統(tǒng)化、條理化，

2、以便更好地刻畫總體或樣本所具有的特性。如:直方圖、頻率分布表等。推斷統(tǒng)計方法則是根據(jù)所獲得的樣本數(shù)據(jù)，在一定的可信程度上對總體的特征進行估計和推測，檢驗與總體有關的假設，判定總體中不同變量之間的關系。如：本章的點估計與區(qū)間估計；第四章的有關假設檢驗。一、參數(shù)的點估計(point estimation)在許多情況下總體分布類型是已知的，未知的僅僅是其中的一個或幾個參數(shù)，此時需要根據(jù)樣本對總體中所包含的未知參數(shù)或總體的數(shù)字特征作出數(shù)值上的估計，這就是參數(shù)估計問題。其估計方法主要有：點估計和區(qū)間估計。1、點估計的概念，后者為點估計值。習慣上稱前者為點估計的估計值。為。稱記作的估計量為，則稱，用它來估

3、計造一個統(tǒng)計量為樣本觀察值。若能構(gòu)的樣本為的一個參數(shù)，是總體：設定義),(.),(),(,12121212121nnnnnxxxgXXXgXXXgxxxXXXXX的點估計。，分別作為，個估計量，則就要求出個參數(shù)含有若總體kkkkkX,2, 1212, 12、點估計的方法 (確定未知參數(shù)估計量的方法) 有矩估計法和最大似然估計法方法為矩估計法。階矩的估計量。稱這種作為總體階矩存在，用樣本階矩，且總體的個未知參數(shù)有設總體mXnmkmXEmkXnimimmk12, 11)1 ()(,的估計量就是未知參數(shù)，其解個方程：矩估計法就是列kkkkkkkXEXEXEk,)(),()(),()(),(2, 12

4、12, 122, 122, 11。、例頁例：見教材例215112)()(XDXE，解：由題意知的矩估計。和方差均數(shù)二階矩存在。試求總體的樣本，且總體是總體：設例221,2XXXXn，而XXnnii111212122)()(11XXXnXnniinii，又22)()()(XEXEXD222)(XE故)()(221XEXE由。，即niiXXnX122)(122212)()(1XXXnXnii即niiXXnX122)(1:，解得二、估計量的評選標準參數(shù)的點估計受樣本容量、樣本觀察值及所構(gòu)造的統(tǒng)計量的影響。如何才能得到盡可能接近參數(shù)真值的估計是進行點估計時必須考慮的問題。當然在抽取足夠多的樣本，科學地

5、收集其觀察值的基礎上，選擇一個好的統(tǒng)計量是獲得好的估計值的關鍵。好的標準是什么呢？通常有三個，即：無偏性、有效性和一致性。1、無偏估計量。稱為系統(tǒng)誤差的無偏估計量。是則稱的點估計量，若是未知參數(shù)設)()(EE不全為零。，且其中的無偏估計。為叫加權均數(shù)證明：。的一個樣本，其均數(shù)為是來自總體：設例nniiniiinccccXcXXXX,1)(,3211121的無偏估計量。為故：樣本均數(shù)niiXn11。的有偏估計量是）：（則。，方差為，其均數(shù)為來自總體：設例221221)(11,4niinXXnXXXX的無偏估計量。是樣本方差2212)(11)2(niiXXnS為已知）。其中的無偏估計量是()(1)

6、3(221niiXn2、估計量的有效性 同一參數(shù)的無偏估計量未必是唯一的(如例3、4)，他們中哪一個更好？有效。比，則稱若，的兩個無偏估計量是參數(shù)，設21212121)()()()(DDEE中最有效的估計量。是加權均數(shù)，樣本均數(shù)：對于總體均數(shù)例niiiniiXcXnX1115)()1(11niiiniiXcDXnD即：3、一致估計量 當樣本容量無限增大時，一個好的估計量的估計值應穩(wěn)定地趨于參數(shù)值。的一致估計量。是則稱，都有若對于任意的為樣本容量。的估計量，是總體未知參數(shù)設nnnnPn, 1)|(|lim0的一致估計量。階原點矩是總體階原點矩可證明：樣本)(11knikiXEkXnk這就是矩法估

7、計的理論依據(jù)。三、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)真值所處的范圍。體參數(shù)的真值，以表明總相當大的概率包含未知以概率意義的區(qū)間，使它多大。即確定具有特定的誤差有與率意義下，也就是要說明在一定概的精度，去估計用是一隨機變量，需說明由于答。參數(shù)的點估計并沒有回至于如何反映精確度，確，它也只是一定程度的精個怎樣優(yōu)良的估計量，是一的估計。然而不管的值作為未知參數(shù)量計點估計問題，它是用估前面討論了未知參數(shù)的1、區(qū)間估計的概念置信上限置信下限，的置信區(qū)間。為的一個置信水平為總體未知參數(shù)，則稱區(qū)間使得和個統(tǒng)計量的隨機樣本。若存在兩為的一個未知參數(shù)，為總體：設定義2121211211211)() 10(1),(),(

8、,1PXXXXXXXXXnnn。率是的真值包含在其內(nèi)的概能夠?qū)?shù)，表示區(qū)間1)(12121P2、正態(tài)總體均數(shù) 的區(qū)間估計的區(qū)間估計已知時，正態(tài)總體均值總體方差2) 1 () 1()(11,),(,222222212221221的值見附表，的置信區(qū)間為的已知時正態(tài)總體均值則當，取的一組觀察值。則有：的隨機樣本是來自正態(tài)總體設unuxnuxnuxnuxnuxnuxPXXXNxxxnn1)11|1) 1 , 0(),(),(2222222nuxnuxPnuXnuXPuUPNnXUnNXNX于是即知由附表從而則，因為：若22u222u例6：見教材82頁例1。的區(qū)間估計未知時，正態(tài)總體均值總體方差2)2(11|3) 1(),(2222nStXnStXPtTPntnSXTNX故知由附表服從，則服從因為若)3()(12222的值見附表，的置信區(qū)間為的未知時正態(tài)總體均值即當tnstxnstx例7：見教材83頁例2。的區(qū)間估計、正態(tài)總體方差23)4() 1() 1() 1() 1(11) 1() 1() 1() 1(1) 1(4) 1() 1(),(221222212222222122222222222122222見附表與，的置信區(qū)間為：的故正態(tài)總體方差即知由附表服從，則服從因為若nSnnSnnSnnSnPSnPnSnNX例8：見教材85頁例4。)(12222nstxnstx，置信區(qū)間為的的未