基于傅立葉級數(shù)牛頓外插法的經(jīng)濟(jì)參數(shù)預(yù)測

1、 . . . 第一章 引言1.1 數(shù)學(xué)趨勢預(yù)測的目的與意義我國是一個經(jīng)濟(jì)持續(xù)高速發(fā)展的國家，其經(jīng)濟(jì)參數(shù)的預(yù)測對于計劃和決策有非常重要的意義。就一個企業(yè)而言，管理的好與壞關(guān)鍵在于經(jīng)營，經(jīng)營關(guān)鍵在于決策，決策的果斷與準(zhǔn)確在于預(yù)測。我國現(xiàn)已是世界經(jīng)濟(jì)發(fā)展的火車頭，近十幾年的經(jīng)濟(jì)增長率以9%在高速發(fā)展。國際國的市場瞬息萬變，企業(yè)要克服產(chǎn)-供-銷的盲目性，把生產(chǎn)搞好，提高效率必須開展經(jīng)濟(jì)預(yù)測。與時掌握市場發(fā)展方向，發(fā)展趨勢，正確了解供求情況，增強(qiáng)科學(xué)的預(yù)見性，這樣才能提高我國企業(yè)在國際市場的競爭力，進(jìn)而才能提高本國的經(jīng)濟(jì)效益。目前來說，我國的經(jīng)濟(jì)預(yù)測居國際領(lǐng)先地位。但對與具有季節(jié)性波動變化的經(jīng)濟(jì)參數(shù)預(yù)測

2、很難，主要是季節(jié)性的波動與逐年的持續(xù)增長在模式上難以分析和描述。本文的方法用傅立葉級數(shù)描述波動信息特征，用冪函數(shù)描述逐年持續(xù)增長趨勢，并據(jù)此作數(shù)學(xué)趨勢的外推，用以預(yù)測下一年的具有波動性特征的參數(shù),其優(yōu)點承襲原始數(shù)據(jù)變化趨勢，用數(shù)學(xué)模型來描述未來發(fā)展變化，最終達(dá)到空間的立體預(yù)測效果。本文屬于計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的時間序列分析的容的方法，現(xiàn)在的時間序列分析方法以曲線擬合和外插法為主。由于課題的方法是純粹的數(shù)值趨勢推測，具有獨創(chuàng)性，但未做任何機(jī)制機(jī)理的分析，因此僅作為決策參考，并不能做直接依據(jù)使用。課題的重點是數(shù)學(xué)模型的建立，根據(jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù)的波動性和持續(xù)增長性運用模型進(jìn)行描述，并得到合理的結(jié)果。此外，經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象

3、變幻莫測，為了解決外界對經(jīng)濟(jì)參數(shù)的影響，課題難點在于歷史數(shù)據(jù)的波動處理時，權(quán)重系數(shù)的設(shè)定，應(yīng)根據(jù)不同情況采用幾組不同權(quán)重系數(shù)，對傅立葉系數(shù)進(jìn)行處理,減弱經(jīng)濟(jì)參數(shù)受不規(guī)則因素的影響，達(dá)到合理的趨勢描述結(jié)果。第二章 時間序列波動性特征和持續(xù)增長趨勢的述2.1 波動特征與傅立葉級數(shù)1 波動特征：設(shè)時間序列波動性特征即季節(jié)變動，指自然條件、生活條件與人們生活習(xí)慣影響，社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一年某一個特定時期或就以一年為周期性變化。其特征表現(xiàn)比較穩(wěn)定且可以預(yù)見。如：水果供應(yīng)的淡季和旺季、某家用電器銷量的淡季和旺季、農(nóng)產(chǎn)品的運輸問題。此外，也有人們生活習(xí)慣造成的影響。如：春節(jié)客運量的增加。那么，波動性的社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)

4、象可以用數(shù)學(xué)模型傅立葉級數(shù)來形象的描述它。2 傅立葉級數(shù)：我們知道在自然現(xiàn)象或是生產(chǎn)實踐中，一些實際問題變化趨勢呈周期性。如：某家電企業(yè)一年12個月份產(chǎn)量呈周期性波動變化趨勢，其產(chǎn)量用函數(shù)表示，周期為分別為1月，2月，12月關(guān)于的變量。設(shè)為周期函數(shù)，且周期為，且能展開成傅立葉級數(shù)，則： （公式2-1）稱為函數(shù)的傅立葉級數(shù)，稱為傅立葉系數(shù)。根據(jù)三角函數(shù)系的正交性經(jīng)過轉(zhuǎn)換運算后，可得到傅立葉系數(shù)：（2-2）實際上周期性函數(shù)在物理上往往代表振動與波動的現(xiàn)象中的變化規(guī)律，而振動與波動現(xiàn)象在物理上可以看成簡諧振動或波的迭加，而在數(shù)學(xué)上講就是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)迭加的和，公式的每一項稱為一個諧量，如公式（2

5、-3）所示。 （2-3）這種公式的方法稱為實用諧量分析，本文將用到此數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的波動特征。下面就是的求解問題，此參數(shù)可形象反映周期性的波動趨勢。我們知道三角函數(shù)周期為，用數(shù)學(xué)來表達(dá)就是在周期 中取個數(shù)，并求出函數(shù)值。換句話來說就是測量數(shù)據(jù)時總是將周期進(jìn)行6、8、12等份分來處理。因本文將描述某一年的12個月的周期變化值，因此將周期等分為12。此外等分的份數(shù)過小或過大都會產(chǎn)生鋸齒波的干擾，從會降低反映周期波動的變動趨勢，因此一般取最大值為24,最小不能低于6。具體將在下面章節(jié)使用描述，也就是第三章的不等間距點的離散傅立葉變換與擬合系數(shù)求解。2.2時間序列的持續(xù)增長趨勢與冪函數(shù)1

6、持續(xù)增長趨勢：設(shè)時間序列呈持續(xù)增長趨勢即指由于某種原因的影響，社會的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在相當(dāng)長的時間，逐漸增加或逐漸減少的趨勢發(fā)展。從另一個方面來講時間序列在較長的時間按某中規(guī)律穩(wěn)步增長或下降，或是保持在某一固定趨勢，它的變化特征與波動變化恰恰相反。例如：石油的消耗量在某一時間段上升或下降。人口的出生率呈上升趨勢，而死亡率呈下降趨勢。但另外情形，在長期趨勢若干年以后，由于某種外在原因而發(fā)生變化。如：新產(chǎn)品的的投入，如果產(chǎn)品的質(zhì)量好、服務(wù)好，它的銷量會上升。但因時常的競爭激烈，社會消費的普與率的提高，革新時代的到來，產(chǎn)量就會由上升趨勢轉(zhuǎn)為下降趨勢。那么，這種時間序列的變化趨勢可以用數(shù)學(xué)模型-冪級數(shù)部分的和

7、來形象描述此逐年增長的趨勢特征。下面先來介紹常見而應(yīng)用廣泛的一種具有如下形式的函數(shù)項級數(shù)。2 冪函數(shù)：與常數(shù)項級數(shù)一樣，我們把（2-4）稱為冪級數(shù)的部分和。如果這部分和當(dāng)n時對區(qū)間中的每一點都收斂，那么稱級數(shù)在區(qū)間收斂。此時的極限是定義在區(qū)間中的函數(shù)，記作:. 這個函數(shù)稱為級數(shù)的和函數(shù)，簡稱和，記作：（2-5）我用其部分和的形式來描述逐年的持續(xù)增長趨勢，并根據(jù)此作數(shù)學(xué)趨勢的外推，即外插法，用以預(yù)測下一年具有波動性的參數(shù)。3 冪函數(shù)求解與表示方法：下面先談一下冪函數(shù)系數(shù)的求解問題。設(shè)冪函數(shù)的表達(dá)式為，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：（2-6）Lagerange插值的基函數(shù)1（2-7）在算法實現(xiàn)時，先做的冪函數(shù)的

8、表達(dá)式，例如：當(dāng)n=2時（2-8）上面的可寫成（2-9）在計算機(jī)中，冪函數(shù)可以由數(shù)組來存放各項系數(shù)，且下標(biāo)為對應(yīng)的指數(shù)。即在一個數(shù)組中，將按序存儲，下標(biāo)為第項、第項、第2項、第1項、第0項的系數(shù)。假設(shè)定義的數(shù)組為A，在此數(shù)組中的存儲形式如下表所示：標(biāo)注3210系數(shù)表2-1在這里需要注明：數(shù)組一般為浮點數(shù)，當(dāng)計算精度要求比較高的時候用雙精度數(shù)表示。冪函數(shù)的這種表示方法，與代數(shù)式的寫法完全一致，比較直觀，并且容易實現(xiàn)函數(shù)的運算，對于具體數(shù)值的代入求解也是方便計算的。我們知道插值的目的是求解數(shù)學(xué)表達(dá)式中的系數(shù)，本文則利用最小二乘法意義下曲線擬合的方法對最優(yōu)系數(shù)進(jìn)行求解，在下面的章節(jié)，分別介紹當(dāng)?shù)膬绾?/p>

9、數(shù)系數(shù)的求解問題，分別用一次，而二次，三次函數(shù)對其持續(xù)趨勢進(jìn)行描述，并利用外插法做趨勢外推，對未來數(shù)據(jù)預(yù)測。第三章 數(shù)學(xué)模型的建立3.1 不等距節(jié)點的離散傅立葉變換在前面的章節(jié)介紹的傅立葉級數(shù)，可以形象的描述經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的周期性變化，那么會有幾種情況會影響方程解出傅立葉系數(shù)，其中一種會適合方程求解。即當(dāng)周期節(jié)點為不等距時，如果數(shù)據(jù)點的個數(shù)與傅立葉級數(shù)的系數(shù)的個數(shù)相等，比較適合用方程求出各項傅立葉系數(shù)和來。當(dāng) 時，方程已無法解出系數(shù)的值，可以減少傅立葉的個數(shù)使之符合，但太小時，波動性的描述將很粗略，無法達(dá)到預(yù)測效果，無實際意義。當(dāng) 左右時，一般如果不是可以構(gòu)造的數(shù)據(jù)，來源于實際的機(jī)關(guān)機(jī)、物理、化學(xué)等

10、方面的數(shù)據(jù)，其傅立葉的高次項都急劇減小，比、等前幾項要小二三個數(shù)量級，對數(shù)據(jù)值的影響不大，所以，一般取最大值為24就足可以描述所要的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)了。當(dāng)時，方程的個數(shù)超過未知數(shù)的個數(shù)，一般情況下，多余的方程為矛盾方程，應(yīng)該利用最小二乘法意義下的最有解。當(dāng)時設(shè)傅立葉級數(shù)如公式（2-1）方程組通式為： （3-1）轉(zhuǎn)換成公式（2-2）形式為：其中為式中要求出的系數(shù)，即方程組中的變量。假設(shè)已經(jīng)解出，則代回原方程組中，定義誤差為：（）（3-2）誤差為的函數(shù)。到這里要考慮一下，當(dāng)時間序列呈波動趨勢時，用數(shù)學(xué)模型：來進(jìn)行描述。但由于時間序列上的點不可能全在此條波動曲線上，從而會使預(yù)測值與實際值存在一定誤差。要用一

11、種方法來使得誤差最小，這就是下一節(jié)要介紹的最下平方法.3.2 最小二乘法意義下的曲線擬合擬合求解當(dāng)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象呈波動趨勢的時，要檢驗這種描述它趨勢的數(shù)學(xué)模型方程是否使誤差最小,就是我們下面要談到的最下二乘法的擬合問題，目的來尋求方程組系數(shù)的的最優(yōu)解,系數(shù)的數(shù)值反映了經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的波動趨勢,決定了波形的情況。設(shè)誤差的平方和為的函數(shù)。即滿足：(3-3)若使誤差的平方和最小，則反映擬合趨勢為最佳。一般來說就是要求的最小二乘解。由為微積分的知識可得這一求解可歸為極值問題，即滿足：代入到（3-3），得到：即滿足通式：若將（3-1）式寫成矩陣的形式的話，則上式為：（3-4）相當(dāng)于在原來方程的增廣矩陣上左乘了一個系

12、數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，方陣此時變?yōu)閭€未知數(shù)，個方程，這樣的結(jié)果由矩陣知識得，一般有唯一的解值，這就是最小二乘法意義下的方程組擬合求解，也可稱為正規(guī)方程求解，這樣便解決了當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)多于傅立葉個數(shù)時，無法求解系數(shù)的問題，其解法利用高斯主元素法便于求解，得到結(jié)果就是傅立葉級數(shù)各項的系數(shù)，也就是公式（2-3）中的，將系數(shù)值代入到此公式中，解以為周期關(guān)的函數(shù)，即：（3-5）其函數(shù)值就是具有波動性特征的結(jié)果,其數(shù)值特點反映了波動趨勢效果的變化特征。方陣的構(gòu)成與轉(zhuǎn)換方陣偽代碼如下：M1=X(M) & 周期值M2=M1IF M124 M2=12ENDIFm2=8 確定 COS 的級次，從 0 開始 確定 SIN

13、的級次，從 1 開始 DIME A1(M1,M2+1),A(M2,M2+1),FRI(N+1,M2)A=0FOR L=1 TO N FOR I=1 TO M1 0級次 COS項系數(shù) FOR J=1 TO MC J級次 COS項系數(shù) NEXT FOR J=1 TO MS J級次 SIN項系數(shù) NEXT 每個月份的數(shù)值，作為常數(shù)項 NEXT IF M2=M1 FOR I=1 TO M2 FOR J=1 TO M2+1 A(I,J)=A1(I,J) NEXT NEXT 生成正則矩陣（當(dāng)行大于列時） A=0 FOR I=1 TO M2 FOR J=1 TO M2+1 FOR K=1 TO M1 經(jīng)過轉(zhuǎn)

14、換后形成正則矩陣3.3 傅立葉系數(shù)的加權(quán)處理我們知道傅立葉級數(shù)具有周期的波動性，很容易受到外界因素的干擾，這樣的話會使預(yù)測的結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差，如：在某一年當(dāng)中，由于自然災(zāi)害、社會的原因會影響某幾個月份的產(chǎn)值或產(chǎn)量波動的趨勢，從而影響到一年的整體趨勢結(jié)果。為了解決由外界因素干擾的難題，可利用數(shù)學(xué)模式上的一些變化來消除影響。方法就是傅立葉級數(shù)系數(shù)的加權(quán)處理。首先，我根據(jù)實用諧量分析的容，求出每一年的平均值，求法如下：（3-6）分別計算每個系數(shù)占每一年平均值的比重：即：根據(jù)比重值，來設(shè)定權(quán)重值，原則是每年較平穩(wěn)變化的權(quán)值應(yīng)設(shè)相對小一點，而相反有意外事件的時候，如：印度洋海嘯、政局混亂造成的影響，其

15、權(quán)值就應(yīng)相對設(shè)大一點，這樣的處理就解決了預(yù)測參數(shù)受外界的影響，達(dá)到預(yù)測的準(zhǔn)確性。但，權(quán)重系數(shù)的設(shè)定有一定的難度，需要綜合多方面因素進(jìn)行估算，這樣一來雖然解決了外界因素的干擾，可能會產(chǎn)生到預(yù)測值和實際值的偏差，為了解決這一難點，可用到另一種方法將每一項系數(shù)歸一化處理即：這樣就會使的波動性曲線既平穩(wěn)而有較準(zhǔn)確描述出經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的波動特性，但它仍然未能完全解決每年經(jīng)濟(jì)參數(shù)受人為與外界因素的影響。本文的難點就是權(quán)值的設(shè)定，根據(jù)每年的實際情況，給出各年的權(quán)值，使之乘以每年的傅立葉系數(shù)，即：系數(shù)，然后在用經(jīng)過處理后的系數(shù)除以權(quán)值之和，得到的系數(shù)就是理想中的數(shù)值，它結(jié)合了數(shù)學(xué)原理和實際情況，便于使大自然中的經(jīng)濟(jì)

16、現(xiàn)象客觀地展現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型當(dāng)中，從原理上解決了外界因素的影響。如圖（3.1）所示，藍(lán)色波動曲線為預(yù)測趨勢結(jié)果，不僅繼承了歷史發(fā)展的結(jié)果，而且將外界因素也客觀的考慮在，達(dá)到了合理的描述結(jié)果。圖3.1運算過程偽代碼如下：FOR L=1 TO N FOR J=2 TO M2 將生成的傅立葉系數(shù)除各年的平均值 NEXT JNEXT權(quán)值設(shè)為1DO WHILE .T. 加一控件，選擇權(quán)重系數(shù) K=0 FOR I=1 TO N K=K+P(I) NEXT FOR J=2 TO M2 FRI(N+1,J)=0 FOR I=1 TO N 各年份的傅立葉系數(shù)乘權(quán)重系數(shù) NEXT 每年的系數(shù)除以權(quán)重系數(shù)之和，生成具有

17、比例權(quán)限的傅立葉系數(shù)3.4 外插值計算與擬合求解在前面所敘述到Lagrange插值可將一組離散數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成公式（2-9）的形式，即三次多項式函數(shù)，但是有一個明顯的特點，就是它不具有承襲性，即每增加一個節(jié)點的時候，不僅要增加求和的項數(shù)，而且還得將以前的各項也必須重新計算，這樣一來造成了計算量的浪費。為了解決這一缺點，課題改用具有承襲性的Newton插值來進(jìn)行插值運算。利用這種插值方法既使預(yù)測的未來結(jié)果具有持續(xù)增長趨勢，而且也減少了計算量。3.4.1 Newton基函數(shù)首先，做出幾項多項式的N（x）（3-7）使?jié)M足由公式（3-7）得出個多項式，即：（3-8）為了便于記憶，將公式（3-4）簡化成：由個

18、不同結(jié)點可以唯一確定一個次多項式，稱為插值以為節(jié)點的基函數(shù)，即：從上面運算過程取得基函數(shù)，便于求解關(guān)于個年份的節(jié)點的值，轉(zhuǎn)換成本課題來說就是利用一次，二次，三次函數(shù)來描述逐年持續(xù)增長趨勢，以此來做數(shù)學(xué)趨勢的外推，來預(yù)測年的值，即牛頓外插法，如圖（3-2）多所示。接下來問題是系數(shù)求解，常用的方法是利用差商。但本課題用最小二乘法意義下的多項式曲線擬合來求解系數(shù)。圖（3-2）3.4.2多項式擬合求解前面的第一節(jié)已經(jīng)介紹過用最小二乘法求解傅立葉系數(shù)，下面繼續(xù)用此方法求解多項式系數(shù)的最優(yōu)解。給定年的一組數(shù)據(jù),求。在前面的第一節(jié)已經(jīng)涉與到了最小二乘法意義下的擬合求解問題，在這里將不加敘述，其求解也將歸結(jié)為

19、求多元函數(shù)的極值問題。下面，將構(gòu)造多元函數(shù)的關(guān)于系數(shù)的正則方程組。則此時的擬合的系數(shù)方程為上式方程可轉(zhuǎn)化為下面形式寫成矩陣形式為（3-9）前面已經(jīng)介紹過正則方程，其解存在且唯一。通過解公式（3-9）關(guān)于的正則方程，得到方程的最優(yōu)解，由于多項式的次數(shù)越高，其預(yù)測的結(jié)果的偏差隨之加大，因此采用一次，二次，三次函數(shù)預(yù)測其結(jié)果,并根據(jù)趨勢預(yù)測未來值。其構(gòu)造正則矩陣的偽代碼如下：FRI(N+1,1)=1 Q=1 S=0 S(1)=N FOR I=2 TO 7 構(gòu)成正則方程的系數(shù)矩陣 NEXT NEXT T=0 FOR J=1 TO N 構(gòu)成正則方程的增廣部分3.5 線性方程組求解線性方程組求解有很多種方

20、法，在科技、工程、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)等各個領(lǐng)域中，很多問題常常歸結(jié)為線性方程。一些問題的數(shù)學(xué)模型雖不直接表現(xiàn)為線性方程組，可其數(shù)值解法卻需要將該問題“離散化”或“線性化”為線性方程組。如：電學(xué)中的網(wǎng)絡(luò)問題，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投入產(chǎn)出問題，用最小二乘法驗數(shù)據(jù)的曲線擬合問題，工程項目中的三次樣條函數(shù)的插值問題，用迭代法解非線性方程組的問題，用差分法或者有限元法解微分方程問題等都導(dǎo)致求解線性代數(shù)方程組。高斯消去法是一種古老的方法，基于高斯消去法的基本思想而改進(jìn)、變形得到的住元素消去法、三角分解法仍然是目前計算機(jī)上常用的有效方法。本課題將使用高斯住元素消取法對方程組進(jìn)行求解。3.5.1高斯主元素消去法1 使用高斯主元

21、素消去法的條件：如，方程能用高斯消去法求解的充分必要條件是的各階順序主子式均不為零。若消元過程中允許對增廣矩陣進(jìn)行行交換，則方程組可用消元法求解的充要條件是可逆。2 高斯列主元素算法實現(xiàn)：目的：解線性方程組 ，其中，,。組成：主要包括四個環(huán)節(jié)：（1） 選主元素；（2）換行；（3）消元；（4）回代。3 存儲方式與算法步驟：用二維數(shù)組按行存放系數(shù)矩陣的元素，用一維數(shù)組存放常量的各元素。計算過細(xì)后中，采用緊湊存儲方式以節(jié)省存。在第步消元時注意到計算，以不必再保存。因此將存入。同理，將，回代時將存入到。步1 按列選主元素步2 若則輸出（為奇異）：停機(jī)。步3若，則轉(zhuǎn)步4；否則換行：步4 計算乘子步5 消

22、元計算步6 回代求解以四階方程組為例列出矩陣行列式如下增廣矩陣為對增廣矩陣轉(zhuǎn)換成梯階陣，由第一列起尋找是否存在絕對值（）大于的情況，若存在（設(shè)）則交換T第一行和第三行數(shù)據(jù)得到矩陣高斯列主元素求解過程程序如下：FUNC LineEqua(C,N) & 線性方程組求解函數(shù)，高斯主元素法,N 為未知數(shù)個數(shù)，解在第 N+1 列返回PRIVATE I,J,K,M,TFOR M=1 TO N T=ABS(C(M,M) K=M FOR I=M+1 TO N & 尋找主元素 IF TABS(C(I,M) T=ABS(C(I,M) K=I ENDIF NEXT IF MK & M列發(fā)現(xiàn)絕對值更大的元素，應(yīng)交換到

23、主元素行 FOR J=M TO N+1 T=C(M,J) C(M,J)=C(K,J) C(K,J)=T NEXT ENDIF IF ABS(C(M,M)1E-7 & 方程無解，返回，N=0 為標(biāo)志 N=0 C(1,1)=-1E20 RETURN ENDIF FOR I=M+1 TO N & 消元 T=-C(I,M)/C(M,M) FOR J=M+1 TO N+1 C(I,J)=C(I,J)+T*C(M,J) NEXT NEXTNEXTC(N,N+1)=C(N,N+1)/C(N,N) & 得到第 N 個 未知數(shù)的值FOR I=N-1 TO 1 STEP -1 & 回代 FOR J=I+1 TO

24、N C(I,N+1)=C(I,N+1)-C(I,J)*C(J,N+1) NEXT C(I,N+1)=C(I,N+1)/C(I,I)NEXT第四章 模型應(yīng)用如下表（4-1）所示，數(shù)據(jù)的特點既有每年周期性波動又有逐年增長趨勢的特征，分別對其各自特點采用兩中數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行描述，即：傅立葉級數(shù)和冪函數(shù)。下面通過已知數(shù)據(jù)來進(jìn)行模型應(yīng)用。表4-1月年 123456789101112200210010212011710512213413912111410910520031101111321301161331471541331251201152004120120144143119145160171146134

25、1301282005132130160157130160175189161146142140.1 波動趨勢描述：經(jīng)過前面的算法，便可求得傅立葉級數(shù)的各項系數(shù)，代入到公式（3-5）中可得到波形曲線公式，結(jié)果如下：（4-1）課題采用最小二乘法意義下的曲線擬合方式，其與原始數(shù)據(jù)波動趨勢逼近，但公式與客觀實際情況的近似程度如何，還要靠實踐檢驗。在這里為了削減傅立葉系數(shù)對整個波動趨勢的影響，可將每個傅立葉系數(shù)用數(shù)學(xué)意義上的處理，在前面已經(jīng)介紹的處理方法，即將各項傅立葉系數(shù)近似視為1（歸一化處理），經(jīng)過處理完成最佳的波動趨勢效果。但,外界的變化是不可預(yù)測的,因此還要進(jìn)一步對系數(shù)進(jìn)行處理,也就是前面所說的權(quán)

26、重值的手工設(shè)定,對其不規(guī)則周期波動問題進(jìn)行解決。根據(jù)不同的情況對每一年的傅立葉系數(shù)進(jìn)行權(quán)重系數(shù)的設(shè)定， 這種處理效果屬于動態(tài)的原理性的設(shè)定,因此應(yīng)結(jié)合不同的發(fā)展趨勢擬定權(quán)重系數(shù),進(jìn)行定量形式化與結(jié)構(gòu)描述。上面的公式（4-1）是按理想狀態(tài)下描述的結(jié)果，未將人為與自然因素考慮在，前面已經(jīng)介紹過將系數(shù)通過數(shù)學(xué)意義上的轉(zhuǎn)換成，這樣便達(dá)到了整體定量形式化的描述，完成系統(tǒng)性的最佳描述效果。2 預(yù)測結(jié)果：通過前面的算法，將分別求出一次，二次，三次函數(shù)的系，代入到公式（2-4）中得到下面公式：代入周期求值，據(jù)此持續(xù)增長趨勢外推，預(yù)測年的經(jīng)濟(jì)參數(shù)，然后將預(yù)測值做傅立葉逆變換生成各項傅立葉系數(shù)如公式（2-2），在

27、代入到公式（4-1）中，生成各月產(chǎn)值，其預(yù)測結(jié)果既反映了逐年的持續(xù)增長趨勢又描述了一年的周期波動特征，又完成了對此經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的綜合描述并預(yù)測出了下一年具有波動性的經(jīng)濟(jì)參數(shù)。如下表所示針對原始數(shù)據(jù)趨勢外推預(yù)測，分別用一次，二次，三次函數(shù)預(yù)測出2006年不同的趨勢結(jié)果。表（4-2）月年 123456789101112200614114117016714617118819917115915314920061431441721691461741912021741611551512006147148177174150178196208179166160155從上表的趨勢預(yù)測結(jié)果可以看出，數(shù)學(xué)表達(dá)式的次數(shù)越

28、高，其數(shù)值的變化幅度就越大，準(zhǔn)確性就會下降，因此不能采用高次數(shù)的表達(dá)式對持續(xù)增長趨勢進(jìn)行描述并預(yù)測。第五章 總結(jié)顯然,相對于復(fù)雜的波動性經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，僅有定性描述是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需有定量形式化與結(jié)構(gòu)描述。此經(jīng)濟(jì)參數(shù)預(yù)測數(shù)學(xué)模型，作為人工系數(shù)設(shè)定的數(shù)學(xué)原理，無疑是理想的。它不僅能從變化發(fā)展上反映現(xiàn)象的整體活動特征，而且能從有機(jī)整體聯(lián)系上,描述事物周期性的關(guān)系和結(jié)果，且符合經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變化的整體特征。雖也是系統(tǒng)思想的一種整體定量形式化描述，同樣形式化地說明了經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象整體發(fā)展變易的基本規(guī)律，為經(jīng)濟(jì)預(yù)測領(lǐng)域提供一種認(rèn)識外界因素影響的整體模式，表達(dá)了數(shù)學(xué)趨勢描述客觀事物的一些本質(zhì)特性，雖然此數(shù)學(xué)模型與其它數(shù)學(xué)模

29、型相比,則解決了季節(jié)性的波動與逐年的持續(xù)增長在模式上的難以描述和分析的難點，并據(jù)此數(shù)學(xué)趨勢預(yù)測了未來數(shù)據(jù)，利于決策者在未來的幾年做出經(jīng)濟(jì)戰(zhàn)略調(diào)整，使企業(yè)能處于優(yōu)勢地位，但自然與人為因素的影響是無法預(yù)測的，因此，本課題還存在著機(jī)制機(jī)理方面的不足，僅做參考，不能作為直接的決策依據(jù)。此數(shù)學(xué)模型立足整體統(tǒng)籌全局，使整體和部分辯證地統(tǒng)一起來；使質(zhì)變與量變、有限與無限、與結(jié)構(gòu)與功能的考察在地統(tǒng)一起來；同時使復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在與真實結(jié)構(gòu)相似同構(gòu)的基礎(chǔ)上，形式化地展現(xiàn)于三維空間；體現(xiàn)了宇宙演化必然性與偶然性的統(tǒng)一；為復(fù)雜外界變化的運動狀態(tài)和組織的把握, 提供了靜態(tài)描述依據(jù)；為復(fù)雜系統(tǒng)的人工模擬提供了有效的數(shù)學(xué)原

30、理。致整個畢業(yè)設(shè)計過程，由于自己的在有些知識上掌握不牢固和理解深度的不足，所以真的要感我的指導(dǎo)老師對自己的指導(dǎo)和幫助，在做畢業(yè)設(shè)計的期間，督促指導(dǎo)自己完成畢業(yè)設(shè)計，特別是在平時朱老師一有時間就詢問我們的論文情況，耐心的給我們講解每個同學(xué)在設(shè)計當(dāng)中遇到的問題,更提出了對論文建設(shè)性的意見,為我順利、高效完成畢業(yè)設(shè)計提供了條件。此外還要特別感自己身邊的同學(xué)，在自己的程序編碼和最后調(diào)試階段，給了自己許多靈感與幫助，從中我體會到了團(tuán)隊精神的偉大之處。最后還要感一直關(guān)心和愛護(hù)我的家人，是他們給了自己機(jī)會能夠完成自己的學(xué)業(yè)，能夠在自己的黃金年齡學(xué)到專業(yè)的科學(xué)文化知識。是家人給了我學(xué)習(xí)的機(jī)會，是家人給了我精神

31、的支柱，讓我在困難面前沒有被打倒，養(yǎng)成了個人勇于挑戰(zhàn)困難的自信與決心。參考文獻(xiàn)1 計算方法 華中科技大學(xué)2 正龍 經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法 大學(xué)3大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系與數(shù)學(xué)分析與函數(shù)論教研室 數(shù)學(xué)分析（上冊） 人民教育4史濟(jì)民 湯觀全 Visual FoxPro 與其應(yīng)用系統(tǒng)開發(fā) 清華大學(xué)5工學(xué)院數(shù)學(xué)教研組 積分變換 （第三版）高等教育6黃益平 宋立剛 應(yīng)用數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 人民教育7黃鐸 蘭平 王鳳 數(shù)值分析 科學(xué)附論文主程序& 經(jīng)濟(jì)參數(shù)預(yù)測主程序SET TALK OFFSET SCOR OFFSET STAT OFFSET SAFE OFFCLEAR ALLCLOSE ALLCLEARSET DECI TO

32、 12& SET PROC TO PR1& SET PROC TO *PI=3.9PI2=PI*2SELE 1USE 原始數(shù)據(jù)001M=FCOUNT()-1 &搜索記錄N=RECC()-1IF M6 12,10 SAY 數(shù)據(jù)的列數(shù)小于6，無法做傅立葉分析，按任意鍵退出 WAIT ENDIFIF N24 M2=24ENDIFm2=8MC=INT(M2/2) & 確定 COS 的級次，從 0 開始 MS=M2-MC-1 & 確定 SIN 的級次，從 1 開始 DIME A1(M1,M2+1),A(M2,M2+1),FRI(N+1,M2)A=0FOR L=1 TO N & 建立線性方程組，求解傅立葉

33、系數(shù) FOR I=1 TO M1 A1(I,1)=1 & 0級次 COS項系數(shù) FOR J=1 TO MC A1(I,J+1)=COS(J*X(I)/M1*PI2) & J級次 COS項系數(shù) NEXT FOR J=1 TO MS A1(I,J+MC+1)=SIN(J*X(I)/M1*PI2) & J級次 SIN項系數(shù) NEXT A1(I,M2+1)=C(L,I) & 常數(shù)項 NEXT IF M2=M1 FOR I=1 TO M2 FOR J=1 TO M2+1 A(I,J)=A1(I,J) NEXT NEXT ELSE & 生成正則矩陣，當(dāng)行大于列時 SUSP A=0 FOR I=1 TO M

34、2 FOR J=1 TO M2+1 FOR K=1 TO M1 A(I,J)=A(I,J)+A1(K,I)*A1(K,J) NEXT NEXT & FOR K=1 TO M1 & A(I,M2+1)=A(I,M2+1)+A1(K,I)*C(L,K) & 常數(shù)項 & NEXT NEXT ENDIF LineEqua(A,M2)& 調(diào)線性方程組求解系數(shù) FOR J=1 TO M2 FRI(L,J)=A(J,M2+1) & 線性方程組的解級即傅立葉系數(shù)寫入數(shù)組 NEXTNEXTFOR L=1 TO N & 歸一化處理 FOR J=2 TO M2 FRI(L,J)=FRI(L,J)/FRI(L,1)

35、NEXT JNEXTYEAR1(N+1)=YEAR1(N)+1 & 生成年份標(biāo)識YEAR1(N+2)=YEAR1(N+1)+.2 & 整數(shù)部分表示年份YEAR1(N+3)=YEAR1(N+1)+.3 & 小數(shù)部分表示擬合級次YEAR1(N+1)=YEAR1(N+1)+.1suspP=1DO WHILE .T. & 選擇權(quán)重系數(shù) & 加一控件，生成權(quán)重系數(shù) & K=0 FOR I=1 TO N K=K+P(I) NEXT FOR J=2 TO M2 FRI(N+1,J)=0 FOR I=1 TO N FRI(N+1,J)=FRI(N+1,J)+FRI(I,J)*P(I) & 各年份傅立葉系數(shù)乘權(quán)

36、重系數(shù) NEXT FRI(N+1,J)=FRI(N+1,J)/K NEXT FRI(N+1,1)=1 &平均值a0置為1 Q=1 S=0 S(1)=N FOR I=2 TO 7 & 正則方程系數(shù) FOR J=1 TO N Q(J)=Q(J)*J S(I)=S(I)+Q(J) NEXT NEXT T=0 FOR J=1 TO N & 正則方程常數(shù)項 T(1)=T(1)+FRI(J,1) T(2)=T(2)+FRI(J,1)*J T(3)=T(3)+FRI(J,1)*J*J T(4)=T(4)+FRI(J,1)*J*J*J NEXT FOR L=2 TO 4 & 外插值計算，T(5)=線性插值結(jié)果

37、, T(6)=拋物線插值結(jié)果, T(7)=三次插值結(jié)果 FOR I=1 to L & 生成正則方程，將Si,Ti寫入數(shù)組A矩陣 FOR J=1 TO L A(I,J)=S(I+J-1) NEXT A(I,L+1)=T(I) NEXT LineEqua(A,L) & 用最小二乘法求曲線擬合結(jié)果 T(L+3)=0 & 計算外插值,分別用1,2,3次函數(shù)預(yù)測第 N+1 年的平均值 K=1 FOR J=1 TO L T(5)=T(5)+K*A(J,L+1) K=K*(N+1) NEXT NEXT FOR J=1 TO M2 FRI(N+1,J)=FRI(N+1,J)*T(5)& 傅立葉系數(shù)乘預(yù)測的平均值 NEXT FOR J=1 TO M1 & 做傅立葉逆變換，生成各月值 C(N+1,J)=FRI(N+1,1) FOR I=1 TO MC & 計算COS 項 C(N+1,J)=C(N+1,J)+FRI(N+1,I+1)*COS(I