高考數學總復習第一講函數與方程

1、.高考數學總復習第一講：函數與方程函數描述了自然界中量的依存關系，反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關系和規(guī)律函數思想的實質是剔除問題的非數學特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數學對象，抽象其數學特征，建立函數關系     在解決某些數字問題時，先設定一些未知數，然后把它們當作已知數，根據題設本身各量間的制約，列出等式，所設未知數溝通了變量之間的關系，這就是方程的思想     函數與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，一個函數若有解析表達式，那么這個表達式就可看成是一個方程一個二元方程，兩個變量存在著對

2、應關系，如果這個對應關系是函數，那么這個方程可以看成是一個函數，一個一元方程，它的兩端可以分別看成函數，方程的解即為兩個函數圖象交點的橫坐標，因此，許多有關方程的問題可以用函數的方法解決；反之，許多有關函數的問題則可以用方程的方法解決總之，在復習中要注意領悟蘊含在知識和解題過程中函數和方程的思想，用它來指導解題在解題中，同時要注意從不同的角度去觀察探索，尋求多種方法，從而得到最佳解題方案 一、例題分析例1已知F(x)=x-x在x(0,1)時函數值為正數，試比較,的大小     分析：一般情況下，F（x）可以看成兩個冪函數的差已知函數值為正數，即f1(x)

3、=x的圖象在x(0,1)上位于f2(x)=x的圖象的上方，這時為了判斷冪指數,的大小，就需要討論,的值在（1，+）上，或是在（0，1）上，或是在（0，1）內的常數，于是F（x）成為兩個同底數指數函數之差，由于指數函數y=at(0<<1)是減函數，又因為x-x>0，所以得<例2已知0<a<1，試比較 的大小     分析：為比較a與(a) 的大小，將它們看成指數相同的兩個冪，由于冪函數 在區(qū)間0,+上是增函數，因此只須比較底數a與a的大小，由于指數函數y=ax(0<a<1)為減函數，且1>a，所以aa，

4、從而a<(a)     比較a與(a) 的大小，也可以將它們看成底數相同（都是a）的兩個冪，于是可以利用指數函數 是減函數，由于1>a，得到a<(a)      由于aa，函數y=ax(0<a<1)是減函數，因此a>(a)      綜上，      解以上兩個例題的關鍵都在于適當地選取某一個函數，函數選得恰當，解決問題簡單     例3關于x的方程 有實根，且

5、根大于3，XX數a的X圍      分析：先將原方程化簡為ax=3，但要注意0<x<3且x1現將ax看成以a為底的指數函數，考慮底數a為何值時，函數值為3如圖（1），過（3，3）點的指數函數的底 ，現要求0<x<3時，ax=3，所以 ，又因為x1，在圖（1）中，過（1，3）點的指數函數的底a=3，所以     若將ax=3變形為 ，令 ，現研究指數函數a=3t，由0<x<1且x1，得 ，如圖（2），很容易得到：     通過本例，說明有些問

6、題可借助函數來解決，函數選擇得當，解決就便利 例4函數f(x)是定義在實數集上的周期函數，且是偶函數，已知當x2,3時，f(x)=x,則當x-2,0時，f(x)的解析式是（     ）     （A）f(x)=x+4       （B）f(x)=2-x        （C）f(x)=3-|x+1|    （D）f(x)=3+|x+1|   

7、0;      解法一、f(-2)=f(2)=2   f(-1)=f(3)=3，只有（A）、（C）可能正確       又f(0)=f(2)=2，（A）錯，（C）對，選（C） 解法二、依題意，在區(qū)間2，3上，函數的圖象是線段AB，     函數周期是2，     線段AB左移兩個單位得0，1上的圖象線段CD；再左移兩個單位得2，1上的圖象線段EF     函

8、數是偶函數，    把線段CD沿y軸翻折到左邊，得1，0上的圖象線段FC     于是由直線的點斜式方程，得函數在2，0上的解析式：           即    由于x-2,-1時，x+10，x(-1,0)時，x+1>0，  所以y=3-|x+1|, x-2,0解法三、當x-2,-1時，x+42,3，     函數周期是2，   

9、  f(x+4)=f(x)     而f(x+4)=x+4，     x-2,-1時，f(x)=x+4=3+(x+1)     當x-1,0時，-x0,1，     且-x+22,3     函數是偶函數，周期又是2，      ，     于是在2，0上，    &#

10、160;由于x-2,-1時，x+10，x(-1,0)時，x+1>0，     根據絕對值定義有x-2,0時，f(x)=3-|x+1|     本題應抓住“偶函數”“周期性”這兩個概念的實質去解決問題     例5已知y=loga(2-ax)在0，1上是x的減函數，則a的取值X圍是（    ）     （A）（0，1）  （B）（1，2）  （C）（0，2）  （D）2，+

11、     分析：設t=2-ax，則y=logat，     因此，已知函數是上面這兩個函數的復合函數，其增減性要考查這兩個函數的單調性，另外，還要考慮零和負數無對數以及參數a對底數和真數的制約作用     解法一、由于a1，所以（C）是錯誤的     又a=2時，真數為22x，于是x1，這和已知矛盾，所以（D）是錯的當0<a<1時，t=2-ax是減函數，而y=logat也是減函數，    

12、60;故y=loga(2-ax)是x的增函數，所以（A）是錯的     于是應選（B）     解法二、設t=2-ax，y=logat        由于a>0，所以t=2-ax是x的減函數，     因此，只有當a>1，y=logat是增函數時，y=loga(2-ax)在0，1上才是減函數；     又x=1時，y=loga(2-a)，   &

13、#160; 依題意，此時，函數有定義，故2a>0        綜上可知：1<a<2，     故應選（B）     例6已知 ，函數y=g(x)的圖象與函數y=f-1(x+1)的圖象關于y=x對稱，則g(5)=_-       解法一、由 去分母，得 ，解出x，得 ，     故 ，于是 ，     

14、;設 ，去分母得， ，解出x，得 ，      的反函數          解法二、由 ，則 ，      ， 即 的反函數為 ，     根據已知： 解法三、如圖，f(x)和f-1(x)互為反函數，當f-1(x)的圖象沿x軸負方向平移一個單位時，做為“鏡面”的另一側的“象”f(x)的圖象一定向下平移1個單位，因此f-1(x+1)的圖象與f(x)-1的圖象關于y=x對稱   &

15、#160; 故f-1(x+1)的反函數是g(x)=f(x)-1，     本解法從圖象的運動變化中，探求出f-1(x+1)的反函數，體現了數形結合的優(yōu)勢出二、鞏固練習（1） 已知函數 在區(qū)間 上的最大值為1，XX數a的值 （1）解：f(x)在區(qū)間 上最大值可能在端點外取得，也可能在頂點外取得， ， ，而頂點橫坐標 ，最大值在頂點外取得，故此解舍去      當最大值為f(2)時，f(2)=1， ，頂點在應在區(qū)間右端點取得最大值，此解合理      當最大值在頂點處取得時，由

16、，解得 ，當 ，此時，頂點不在區(qū)間內，應舍去      綜上，     （2）函數 的定義域是a，b，值域也是a，b，求a.b的值2）解：y=f(x)的圖象如圖，分三種情況討論     當a<b0時，f(x)為遞增函數，有 ，     解得， ，由于b>0，應舍去     當0a<b時，f(x)為遞減函數，     有 ，解得：a=1，b=

17、2     當a<0<b時，f(x)最大值在頂點處取得，故 ， ，所以最小值應在a處取得    （2）解：y=f(x)的圖象如圖，分三種情況討論     當a<b0時，f(x)為遞增函數，有 ，     解得， ，由于b>0，應舍去     當0a<b時，f(x)為遞減函數，     有 ，解得：a=1，b=2  &#

18、160;  當a<0<b時，f(x)最大值在頂點處取得，故 ， ，所以最小值應在a處取得      ，解得： ，     綜上，   或      （3）求函數 的最小值    解（3）分析：由于對數的底已明確是2，所以只須求 的最小值    （3）解法一： ，x>2     設 ，則 ，   

19、60; 由于該方程有實根，且實根大于2，      解之，8     當=8時，x=4，故等號能成立     于是log20且x=4時，等號成立，因此 的最小值是3     解法二： ，x>2        設 ，則 =8且 ，即x=4時，等號成立，     log23且x=4時，等號成立    

20、60;故 的最小值是3     （4）已知a>0,a1，試求方程 有解時k的取值X圍 4）解法一：原方程    由可得：，     當k=0時，無解，原方程無解；     當k0時，解為 ，代入式， 解法二：原方程 ，     原方程有解，應方程組    ，     即兩曲線有交點，那么ak<-a或0<ak<a(a>0)