數(shù)值分析報告重點公式

1、第一章非線性方程和方程組的數(shù)值解法1)二分法的基本原理，誤差:b -a2) 迭代法收斂階：lim 國 =c0，若p=1則要求Occ<13) 單點迭代收斂定理：定理一：若當x乏a,b時，(x)e a,b且®'(x)蘭I c 1, Pa,b,則迭代格式收斂于唯一的根；定理二：設(shè) (x)滿足：x：a,b 1時,:(x) ：= a,b I 0人律2乏 la,b ,有 護(xj -申(x2)蘭I n _x2 ,0 cl cl則對任意初值x a,b 1迭代收斂，且：« xXi卅一x1 -IIi僅 一 x 蘭Xi Xo1 -I定理三：設(shè)(x)在的鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階導數(shù)，且

2、'(: ) ：1，則迭代格式具有局部收斂性；定理四：假設(shè) (x)在根的鄰域內(nèi)充分可導，則迭代格式x ;：(xi)是P階收斂的) =0,j =1,|l(, P-1,心(：)=0(Taylor 展開證明)f (x*)4) Newton迭代法：X*彳=X*； !，平方收斂f (Xi)5) Newton迭代法收斂定理：設(shè)f (x)在有根區(qū)間La, b 1上有二階導數(shù)，且滿足：f (a)f(b) ：0 ；：f (x) = 0,x b,b 1 ；：f不變號,x a,b 1：初值 x0 a,b 】使得 f (x) f (x) ： 0 ； 則Newton迭代法收斂于根 。6）多點迭代法：f (Xi)f

3、 (Xi)f (Xij)Xi 1 XiXi 1Xif(Xi) - fd)f(Xi) f(x) 一 f(x)f(x)Xi X收斂階：PJ '527） Newton迭代法求重根（收斂仍為線性收斂），對Newton法進行修改：已知根的重數(shù)r，wfg）（平方收斂）：未知根的重數(shù)：Xi 1 二 X - '( ) ,u(x)'( )，:為 f (x)的重根，則為 u(x)的單u (Xi)f (X)根。8）迭代加速收斂方法:2XiXd2 x“Xi 2 -2Xi 1 XiXi 2二(X)=(Xi 1)當不動點迭代函數(shù)（x）在:的某個鄰域內(nèi)具有二階導數(shù)，- ) = L -1,0平方收斂9

4、）確定根的重數(shù)：當 Newton迭代法收斂較慢時，表明方程有重根Xi 1Xi _XHH2X 2 2Xi 1 Xi X 2 Xi 1XX 2 Xi 110)擬 Newton 法x"十=x" - AF(Xi)A+(Xi4 -XiF(Xi+HF(Xi)若A非奇異，則 HiAr1A卅=A十、Ai 十i u 匸 / ix =x - H "F (x )Hi 1(F(x" 1) - F(x") =(x" 1 -x")已+=已"Hi_f口 i其中A =f，（x"）=滾二 HIf I-X2f IIIX2cf2TT°

5、;xn：fnfi-X2IIIf：三角不等式:1范數(shù)：nxh =為 xi311)秩 1 擬 Newton 法：J 1 眾-A,JF(xi)i i (ri)T ,其中 ri =xi*-xi,yF(xi + F(xi) A十A +(y -Ar )卄+、(r ) rBroyden秩1方法i+=xi -HiF(xi)<(r i)T hHipHi+LHiy)(仁打i(r ) Hiy第二章線性代數(shù)方程組數(shù)值解法1) 向量范數(shù)：非負性：|x0,且x =0的充要條件是x=0 ；：齊次性:|ax|=|a|x|n12 范數(shù)：|x|2 =（遲 |対）2i 二乜范數(shù)：|x|,= maxxin丄p 范數(shù)：|x|p=

6、（遲 x p）p12）矩陣范數(shù)： ：非負性：|A|a0，且I A|=0的充要條件是 A = 0 ； ：齊次性：|ccA| =|叫| A|：三角不等式:：乘法不等式：AB| J A B"n n2 -IIA F -EEaij2<i j#JF范數(shù):1n1范數(shù)：iia|l =maxaq，列和最大00范數(shù)：| Ah = fax瓦aij ,行和最大 空j _12 范數(shù)：| A2 = Jp（Ah A），其中 Jp（AhA） =max 州，人為 AHA 的特征值，P（A）| Al133） Gauss消元法（上三角陣）：Mn3 ；3一 1 3Gauss-Jordan 消兀法（對角陣）：Mn3 ；

7、2列選主元消元法：在消元之前進行行變換，將該列最大元素換置對角線主元位置；（可用于求逆矩陣）全選主元消元法：全矩陣搜索矩陣最大元素進行行變換和列變換至其處于對角線主元位置；4）三角分解法： ：Doolittle分解法：A=LU L單位下三角陣，U上三角陣 ：Crout分解法：A=LU, L下三角陣，U單位上三角陣 ：Cholesky分解法：A對稱正定， A = LLT , L為單位下三角陣 ：改進的Cholesky分解法：A對稱正定， A二LDLT , L為單位下三角陣， D為對角陣 ：追趕法：Crout分解法解三對角方程5）矩陣的條件數(shù)cond（A） - A A_1，譜條件數(shù)：cond2（A

8、）= A? A？lldxMCon d(A)卜A|A1 -Cond (A)A|A6）如果 B ：1，則I B為非奇異陣，且 （I B）7）迭代法基本原理：迭代法：xi 1二Bxi K ：（B） ：1（ lim Bi =0，迭代格式收斂）iac ：至少存在一種矩陣的從屬范數(shù)，使| B 18） Jacobi 迭代：A = L D Ux，1 =（1 -D4A）xiD 無 9) Gauss-Seidel 迭代：x，1 = (L D) Ux， (L D)*b10）超松弛迭代法 x，x， T，12 111） 二次函數(shù)的一維搜索：x =x iR12）最速下降法：選擇方向 Zo 二-gradf （x°

9、） = r° =b-Ax°進行一維搜索：X X ： 0r，其中 >0 -(A 0 0)(Ar ,r )13）共軛梯度法:第一步：最速下降法，P0=r°，fnb-Ax1，（r0,r1H0第二步：過x1選擇P0的共軛方向p1=r1"0，其中'，過x1以p1為方1 1(r1,P1) _(AP1,P1)向的共軛直線為x1 tp1，進行二次函數(shù)的一維搜索14）一般的共軛梯度法： 第三章插值法與數(shù)值逼近n1)Lagrange 插值：Ln(x)- ' 丨 j(x) f (Xj)，j=0(x-xj H|(X-Xj)(X-Xj 1)l|l(x-xn)

10、 _Fn 1 (x)(Xj -xj (Xj -Xj(Xj -Xj 1)(Xj -Xn)(X-Xj)R.1(Xj)余項:E(x)f (n 1(') -(n 1)!巳 1（X）2） Newton插值：差商表X0f (X0)X1f (X1)fX0 X1X2f (X2)fX0 X2fX0 X1 X2X3f (X3)fX0 X3fX0 X1 X3f X0 X1 X2 X3f(x) =f(X0)fx)x(x-X0)川 fX0X川Xn(x-X0川I(x-Xnj fX0Mllx1XI(x-x)Ml(x-xn) f 5切(©)余項 E(x)二 fX0 X1 |l|XnX(X -X°)

11、川(X -Xn)Pn 1(X)(n + 1)!3）反插值n4) Hermite 插值(待定系數(shù)法) H 2n 1(x j(x) f(xj j( x) f'(xj)j=0其中:j(x)= (ax+b)l2(x),a = 2lj(Xj),b=1+2Xjlj(Xj),lj(Xj)n=zyjXjj (x) =(x-Xj)l：(x)余項:E(x)二f (2n 2)(-(2n 2)!Pn2i(x)5)分段線性插值:Lj(x) =x-Xj 1Xj _ Xj 1X -Xi f (Xj)-Xj*Xjf (Xj 1)插值基函數(shù):X一，Xo 豈 X 豈 Xi lo(x) =Xo -Xi0,為：x <

12、xnO,Xg ： X ： Xn，ln(X)二 X -人,Xn空Xn Xn -人X_Xj,Xj4 蘭 X EXj Xj _XjI x Xj 卅lj(x) =，Xj 蘭X 蘭 Xj 卅Xj _Xj 卅0,余項：分段余項 < M h2, M 2 = max f(2) (x)86) 有理逼近：反差商表有理逼近函數(shù)式:f(X)二 Vo(Xo)X -XoVi (Xi)7) 正交多項式的計算：定理：在a,b上帶權(quán)函數(shù) P(x)的正交多項式序列 gn(x)：，若最高項系數(shù)唯唯一的，且由以下的遞推公式確定丄一 /vOt、申BdOf _ (X® n , ® n) R _ (®n

13、,®n) 書 _ 0 Cpn 1 -(X - - n) n - n n4'n)， ()， 0，0(n, n 丿(n：, n-1 丿其中(巴嚴j) = f P(x)W#jdxa，它便是定理3.88）連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近：在G - Span1,x,x2,|H，xn上，法方程為 Hnd ,其中Hn二11/2121.3IIIIII1 (n 1)1/( n+2)1，dk =(f , i) = 0 f (x) dx均方誤差:最大誤差:J/(n+1)1.(n 2)III1/(2 n+1)宀（ff)-(P*,f) = f 2-、a；dii=1闔 maxf -P9）離散函數(shù)的最佳平方逼近（曲

14、線的最小二乘擬合）n法方程 a ( j ；k)aj = (f, )j=0m（匚匚）八廿（人）匚以）其中7m（f, k）八'if Wk （Xi）i=0第四章數(shù)值積分1） 代數(shù)精度的概念及應(yīng)用：對r次多項式的精確成立，以及代入法求解系數(shù)。2）Lagrange插值代入Lagrange插值基函數(shù)l廠 ）（x 一為G（x -為2）j （Xj -X。）川（Xj Xj4）（Xj -Xjjil（Xj xn）f (x)dx 化送 H j f (xj)，其中 H j =丨 j(x)dx aj=0a誤差:E(f)二b f(n 1)()a (n 1)!Pn 1(X)dX定理：數(shù)值積分公式具至少有n次代數(shù)精度其

15、是差值型的3）等距節(jié)點的 Newton-Cotes公式 b a將拉格朗日差值積分公式中的差值節(jié)點x a ih即可，其中h =n（1）n_jh n n比Hj（t -i）dt，令 Cj L （Cotes 系數(shù)）則：j!（n - j）! 0 申羽b anQ(f) =(b-a)' Cjf(Xj)j =0nN-C公式的數(shù)值穩(wěn)定性：當 Cj同號時是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定， Fl蘭（b-a）吃 Cj （其中j=oN-C公式至少具有 余項：n次代數(shù)精度，若n為偶數(shù)，則其代數(shù)精度可提高到n+1 次;當n為偶數(shù)時，f（n42）化）bE（f）=（2”丿 aXPn1（x）dx當n為奇數(shù)時，f(F 心 bE(f)二

16、(丿.apn1(x)dx(n +1)! a4）復化的N-C公式復化的梯形公式：將積分區(qū)間n等分，然后在每個區(qū)間上應(yīng)用梯形公式bn' aaf（X）dX=L ：1心皿=二幼；區(qū)1）h En(f)二Tn En(f)1 h 2 巴一葛（；）2（b-a）f （）12 2f(Xj)丄4f(Xj 也)I 66f(Xj 1)復化的Simpson公式：將積分區(qū)間 n等分，然后在每個區(qū)間上應(yīng)用Simpson公式nhnJ 2m(Xj) f(Xj1) "ph1 hEn(f) ()4(b-a)f(4)()180 24T2n -TnsT"5) Romberg積分法0(h)=T(h)Tm(h)-

17、d)2mTm(h)4mTm(h)Tm(h)T 丄=22=2I m1-m .1_(丄)2m4 TL.2Tm(h)逼近I(f)的階為h2(m1)hhhTo(h)To(-)To(-)To(-)248£(h)T1(h)Tj(-)6) 求積節(jié)點為n+1的機械求積公式的代數(shù)精度 <=2 n+1;7) Gauss求積公式nf(x)八:j(x)f(Xj)打(x)f (Xj)E(x)j衛(wèi)-E(x)二f (2 n 2)(-(2n2)!Pn2i(x)b "_-,b1(f)=a f(x)dx = a =卜j(x)f(Xj)：j(x)f (Xj) dx a E(x)dxjJbn b'b

18、a ： j(x)dxf (Xj) 、 j(x)dxf (Xj)E(x)dxa. aannHj f(Xj) 、Hj f'(Xj)j zSj z9b2b p (x)Fn 1(x)在a , b上與所有次數(shù)=n的多項式帶權(quán) 三1正交 上式為Gauss求積公式、8) Gauss-Legendre 求積公式給 出Pn1(X)公 式 ：P)(X)=1、R(X)=X2(3x -1) -21 dnnPn(X)=2nn!dx(x2-1門給出區(qū)間1,-1上的求積公式，取P1(x)的零點為求積節(jié)點取P(x)零點為0bf f(x)dx=H°f(Xo)+E(f)H°=2aV3取P2零點為一三b

19、.f(x)dx =Hof(Xo) H1f(X1) E(f) H。二H°=1aa + h ha對于區(qū)間a,b 上的 Gauss求積公式，令xt,L a,b，2 2a +b b a f(x)二 f (工 廠t)二 g(t)，則:b1b ab a 1f (x)dx = Jg(t)-dt - Jg(t)dt余項：E(f)二 2 g22)、P21(t)dt,Pn1(t) =(t-to)川(t-tn)2(2n +2)! J第五章乘冪法1)基本定理：定理一：若，1, 2川Jn為A的特征值，P(X)為某一多項式，則矩陣P(A)的特征值是kk kkP( 1), P(-2)JH，P( -n)。特別地，A

20、'的特征值是l,'2,|ln。定理二：如果A為實對稱矩陣，則A的所有特征值均為實數(shù)，且存在n個線性無關(guān)的特征向量；不同特征值所對應(yīng)的特征向量正交。定理三：設(shè)A與B為相似矩陣，即存在非奇異陣P,使PAP二B，則A與B有相同的特征 值。定理四：如果 A有n個不同的特征值，則存在一個相似變換矩陣P,使得PAP = D，其中D是一個對角矩陣，它的對角線元素就是A的特征值。定理五：對于任意方陣 A,存在一個酉變矩陣 Q使得QH AQ =T，其中T是一個上三角矩H陣，Q 是Q是共軛轉(zhuǎn)置矩陣。推論：如果A是實對稱矩陣，則存在一個正交矩陣Q使QTAQ二D，其中D是對角矩陣，它的對角線元素是 A

21、的特征值，而 Q的各列即為A的特征向量，并且 QTQ二QQT = I。定理六：設(shè)A NaJn n,Ci(i =1l(,n)是以內(nèi)為中心的一些圓，其半徑為nnA =瓦aik ,i =1|,n，設(shè)0= |Jci，則A的所有特征值都位于區(qū)域 Q內(nèi)。1,k-ii A推論:A的譜半徑滿足-minn(定理七：設(shè) A為對稱正定陣，則有aii'(A)n二 aik)。k 土心=maxx=0xH AxHx x1'(A)xhAx二min 其中1 x'01 Hx-0 x x是任意復向量，xH表示x的共軛轉(zhuǎn)置。定理八：對任意非奇異矩陣A,有入|2 蘭 P(ATA)，其中i為A的任一特征值。2)求

22、按模最大的特征值和對應(yīng)的特征向量Vm =AUm 斗Amv。max(Am 4v0)max(Vm)13)1）離散化方法：Taylor展開、差商代替求導、數(shù)值積分2) Euler 公式：Iy(Xn 1) -y(Xn 1)=hf(Xn, y(Xn)y。二第六章 常微分方程的數(shù)值解法（差分法）Euler 隱式皿1）-1）©.1*1）（!階） “0!h改進的 Euler 公式 y(Xn1)y(Xn1) Y(f(Xn,y(Xn)廠 f(xn 1,y(xn 1)( ?階精確解)=n3）截斷誤差和P階精確解：截斷誤差 Tn.1 =O（hP4) S 級 Runge-Kuta 法syn 1 = ynh' bikii 1K = f(Xn yh,ynih'：jkjj 1G = 0,1j = 0, ki = f(Xn,yn)2 級 Runge-Kuta 法yn 1 = yn hdk hb2k2 k1=f(Xn,yn)其中k f (Xn C2h, yn h： 2點12c212C2- 21 = g（2階精度）C2的取值1/2 （中點公式）、2/3（ Heun公式）、1 （改進的Euler方法）5）單步法 yn1 二 yn hf（Xn,yn,h）（* ）相容性：（