電動力學(xué)習(xí)題解答5

1、第五章電磁波的輻射1.若把麥克斯韋方程租的所有矢量都分解為無旋的（縱場）和無散的（橫場）兩部分，寫出E和B的這兩部分在真空中所滿足的方程式，并證明電場的無旋部分對應(yīng)于庫侖場。解：真空中的麥克斯韋方程組為EB/t，（1）E/0，（2）B0J00E/t，（3）B0（4）如果把方程組中所有矢量都分解為無旋的縱場和無散的橫場，并分別用角標(biāo)L和T表示,則：由于B0，所以B本身就是無散場，沒有縱場分量，即BL0，BBT；E EL ET， EL 0，J J L JT ， JL 0，由( 1 )得： (E L E T ) E T由(2 )得：( ELET)由(3)得：BT0(JL JT)(0JL00由電荷守恒

2、定律 J / t 得：又因?yàn)镴L 0( 0 EL /ET 0；JT 0；BT/ tEL / 00 0 (EL EL)/ tEL/ t) ( 0JT 0 0 ET/ t)JL / t ( 0 EL/ t)t) ，所以 J L 0 E L / t ，即JL 0 EL/ t 0（ 7）式簡化為B T 0 J T所以麥克斯韋方程租的新表示方法為：0 0 ET/ tETBT / tBT 0JT 0 0 ET/ tEL / 0BL 05）6）7）8） 8）9） 9）10）JL0EL/t0E L 0 引入標(biāo)勢， E LE L / 0 得，上式的解就是靜止電荷在真空中產(chǎn)生的電勢分布，2. 證明在線性各向同性均

3、勻非導(dǎo)電介質(zhì)中， 若所以 E L 對應(yīng)靜止電荷產(chǎn)生的庫侖場。0 ， J 0 ， 則 E 和 B 可完全由矢勢A決定。若取0，這時A滿足哪兩個方程解：在線性各向同性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)中，若0，J0，則麥?zhǔn)戏匠瘫硎緸椋篍B/t(1)HD/t(2)D0(3)B0(4)其中，DE,HB/,由于(4)式，引入矢勢A,使(5)BA即B可完全由矢勢A決定。將(5)代入(1),得：(E A/ t)(6)由此引入標(biāo)勢A/將(7)E式代入2A/ t所以，如果取將(5)、(3)得:/ t(A)可由A決定，進(jìn)而,0 ,由(8)式得:A 00E也可完全由矢勢 A決定。(8)(9)(7)代入(2),并注意到學(xué)00,得:(10

4、)(9)、(10)即為 0時A滿足的兩個方程。3.證明沿z軸方向傳播的平面電磁波可用矢勢A()表示，其中 tz軸方向。A垂直于證：平面電磁波在沒有電荷分布的空間中傳播,勢的方程為2 aA 0 02 0 0 沿z軸方向傳播的平面波解為A A0ei(kz t)A與滿足洛倫茲條件：c2k A/2A/t2t2i(kz t)0e。/ t 0。所以 ik A i0,即因此，只要給定 A ,就可以確定A ik A，從而E和B隨之確定。由于E cB n所以E和B只與矢勢的橫向分量有關(guān)，即平面電磁波可由A來表示,B A ik A , E cB其中 AAo ei(kz t)A。e i (t z/c)A。e i根據(jù)

5、題意A可記為A(),其方向與z軸垂直。4.設(shè)真空中矢勢 A可用復(fù)數(shù)傅里葉展開為A(x,t)ik x *ak(t)e ak(t)k*，其中ak是ak的復(fù)共軻。一、,d2，2 2(1)證明ak滿足諧振子萬程 2ak (t) k c ak dt0。(2)當(dāng)選取規(guī)范A 0,0時，證明k ak 0。一.一*(3)把E和B用ak和ak表示出來。(1)證明：因?yàn)锳(x,t)ak(t)eikxak(t)eikxk所以，根據(jù)傅立葉級數(shù)的正交性，必有：ikx.ak(t)A(x,t)edx故,2d a)dt22A(x,t)t2ik xe dx在洛倫茲規(guī)范下，2A0 0 2A/ t22A 0 02d a)dt2, 2

6、 2,、k c ak(t)2Al t2 ,所以(1)式化為eikx(c2 2 A)dx k2c2A(x,t)eikxdx(1)0J ,考慮到真空中J 0 ,(2)dak(t)22、ikxr2222于2kcak(t)ecAkcA(x,t)dx(3)dtikx*ikx因?yàn)锳(x,t)ak(t)eak(t)e，所以k22A(x,t)kA(x,t)所以(3)式右邊積分中，被積函數(shù)為0,積分為0。所以ak滿足諧振子方程,2d ak(t). 2 22k c ak(t)0。dt(2)當(dāng)選取規(guī)范A 0,0時i k x * ik x .Aak(t)eak(t)ekak(t)kik x e* .ak(t)ik x

7、 eikx*ikxikak(t)eikak(t)e0k因?yàn)閍k(t),ak(t)是線性無關(guān)正交組，所以要使上式成立，必有k ak(t)一 * .k ak(t)(3)已知 A(x,t)B AEak(t)eikxak(t)eikx,所以kikx*ikxikak(t)eikak(t)ek*.Adak(t)ikxdak(t)ikxeetkdtdt5.設(shè)A和是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢和標(biāo)勢。1 Z(1)引入一矢量函數(shù)Z(x,t)(赫茲矢量)，若令Z,證明A。ct2 12Z2(2)若令P,證明Z(x,t)滿足方程2Z告c2oP,寫出在真c2t2空中的推遲解。(3)證明E和B可通過Z用下列公式表出:(1)(1)

8、(3)(2)證明:即:證明:21(Z)c0P,B-ct是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢和標(biāo)勢,A4一0c2t因?yàn)闃?biāo)勢與方程得方程5)(3)將6.兩個質(zhì)量、發(fā)生。所以有代入(1)得：A71(-)，所以,tJ_Zc2t在洛倫茲規(guī)范下有方程:代入，得:,則上式化為2Z1_2Ac2t2t22Z)12cZ)(2)(4)Z)12Z2.2ctIp00P(5)oJ的推遲解A(x,t)在真空中的推遲解為Z(x,t)Z)12cc204-Z代入EtP,P(x',tr/c)dV'J(x',tr/c)-dV'類比,A/t及B(6)A,得:J_c2t電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞，證明電偶極輻射和

9、磁偶極輻射都不會證：電偶極矩的變化產(chǎn)生的輻射場為:ikR_eB3(pn),E4°CR磁偶極矩的變化產(chǎn)生的輻射場為：ikRE°(mn),B4cRikRe2(pn)n0cRikR0e3(mn)n4c3R在兩個質(zhì)量、電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞的過程中，取兩粒子的連線為x軸，則系統(tǒng)的電偶極矩Pqxiqx2q(XiX2)Pq(xiX2)由于兩粒子質(zhì)量相同，根據(jù)牛頓第二定律，有x1x2,所以P0,因此系統(tǒng)的電偶極矩產(chǎn)生的輻射場為0；又由于系統(tǒng)的磁偶極矩m0,所以系統(tǒng)的磁偶極矩產(chǎn)生的輻射場為0,即兩個質(zhì)量、電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞，電偶極輻射和磁偶極輻射都不會發(fā)生。7.設(shè)有

10、一球?qū)ΨQ的電荷分布，以頻率沿徑向作簡諧振動，求輻射場，并對結(jié)果給以物理解釋。解：因?yàn)殡姾蔀榍驅(qū)ΨQ分布，不失一般性，設(shè)球面上均勻分布了總電量為Q的電荷，于是,球面電荷密度為Q4R2取如圖所示相對的兩塊小面元dS,dS,由于兩塊小面元對應(yīng)相同的立體角，故有相同的面積dS1dS2,dqid&dS2dq2因?yàn)閮呻姾稍猟q1,dq2球?qū)ΨQ分布，又以相同的頻率沿徑向作簡諧振動，所以有p0,m0故此兩電荷元的振動不能產(chǎn)生輻射場。根據(jù)場的疊加原理整個球?qū)ΨQ分布的電荷體系沿徑向的簡諧振蕩是不能產(chǎn)生輻射場的振動，輻射場為8.一飛輪半徑為R,并有電荷均勻分布在其邊緣上，總電量為0。Q。設(shè)此飛輪以恒定角速度旋

11、轉(zhuǎn)，求輻射場。解：設(shè)飛輪邊緣的厚度為d,于是邊緣上的電荷面密度Q/2Rd,體系的電偶極矩為Qp:d2RdQ2cos20dlQx2R2sin0dldey0體系的磁偶極矩mQIS20,故輻射場為R2ezQR22ez0。9 .利用電荷守恒定律，驗(yàn)證A和的推遲勢滿足洛倫茲條件。證明：推遲勢A與可寫作：對于因?yàn)樗訟(x,t)其中t' t的函數(shù)，有A(x,t)J(x',t')'J(x',t')J(x',t')由于V'另外所以,JKdV', 4 V' rJ (x',t')、%V'V'V&

12、#39;J(x',t')c t''J(x',t')t,constJ ( x , t ) t' const1 J(x',t')-dV'rJ(x',t')1 '-dV'rJ(x',t')'、，dV''J(x',t')dV'014 V' r11c2 4Jc2 t由電荷守恒定律,(x,t)- JJdV', 0 V' r1 dV'rV' rJ(x',t')dV't&#

13、39;1C t' 'J(x',t')_0_4 V01V' r1V' r1'J(x',t')t, const ,r'J(x',t')dV'4'J(x',t')t, constdV'0 J(x',t')dS' 0,所以S' r'J(x',t')t, constdV'0 V' r-dV' t 4V' r-dV', t'1-'J(x',t')

14、t' const dV'V'rt''J(x',t')t, constt''J(x',t')dV'1V' r'J(x',t')t, constdV'0即得A和的推遲勢滿足“1cA20c2t10 .半徑為R0的均勻永磁體，磁化強(qiáng)度為M。，球以恒定角速度繞通過球心而垂直于M0的軸旋轉(zhuǎn)，設(shè)R0c,求輻射場和能流。（提示：M0以角速度轉(zhuǎn)動，可分解為相位差為/2的互相垂直的線振動；直角坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系為exsincoscoscoseysinsincossine

15、zcossinsineRcose0e解：本題相當(dāng)于一個位于原點(diǎn)的磁偶極子的旋轉(zhuǎn),43mR3Mo3此磁偶極子的磁偶極矩為:其旋轉(zhuǎn)振蕩可分解為mxmlyx,4343y方向上相位差為3一.，RoM0cos(3.R0M0sin(用復(fù)數(shù)形式表達(dá)為:t)ext)eymxR03M根據(jù)磁偶極矩輻射場公式同理可得Bx4c2RB2的簡諧振蕩的合成。3.R0M0cos(t)ey2yByit0eex04c2RikR4e-3230RoM03c2Ri02r；m13c2Rmly-43it_i-RoMoeey3yikR/e(mRoMoi(kRt)e0i(kR一e再根據(jù)直角坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系sincoscosBxBy

16、eyez230R0M03c2R230R0M03c2Rsinsincos(ecos(ecosBxBy同理，根據(jù)輻射場公式coscossin230R0M03c2R(en)t(exer)er(exer)er,eycossinsinesincoscosieer)ersineRcos)ei(kRi(kR)ie)ei(kRt)t)0ikR/、Ee(mn),4cR及坐標(biāo)基矢變換關(guān)系，可得：2_3匚0RoMo.E(iee3cR322c3R2-2sinncosi(kRt)e04喏M018c3R2(12、cos)er11.帶電粒子e作半徑為a的非相對論性圓周運(yùn)動，回旋頻率為。求遠(yuǎn)處的輻射電磁場和輻射能流。解：帶電

17、粒子作勻速圓周運(yùn)動，其磁偶極矩m是常矢量，因此不產(chǎn)生電磁輻射，但此系統(tǒng)的電偶極矩是一旋轉(zhuǎn)的變化量的兩個簡諧振蕩：peaer,仿上題解法，把旋轉(zhuǎn)量p分解為x,y方向上由此可得:根據(jù)公式得:再根據(jù)公式PxPyPxPyeacostexeacos(teaiteaeiteey0kikR(nsineyez2oea4cRsineaeitex/2)eyPxPyi(t/2).iteaeeyeaieey2iteaeex2一it一ieaeeyp）及直角坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系cossincos(ecoscoscoscossinsini(kRie)e4R球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系，得20eai(kRt)E(ecosie)

18、e4R32sineRcoslp2320cR322cR2.2sinn及直角坐標(biāo)基矢與2(1cos)er12.設(shè)有一電矩振幅為于導(dǎo)體平面。設(shè)a解：如圖所示，設(shè)平面Po,頻率為的電偶極子位于距理想導(dǎo)體平面為,求在R處電磁場及輻射能流。a/2處，Po平行xoy是導(dǎo)體平面，利用鏡像法,得:構(gòu)造圖中電偶極子Po的鏡象Po0由圖可P°e2P°eP°eiP°eP°eiitextex電偶極子P產(chǎn)生的輻射磁場為ik(Racos)2Po4oC3Rikacos2i(kRt)eexer電偶極子的鏡象p產(chǎn)生的輻射磁場為RiPoR2O13.解:B21i3e4oc3R所以B(R,t)Bi2poika一aik(Rcos2oc3R2poB2ei(kR4oc3R.3io