工程力學(xué)——壓桿穩(wěn)定

1、 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念壓桿的臨界應(yīng)力壓桿的臨界應(yīng)力細(xì)長壓桿的臨界力細(xì)長壓桿的臨界力壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算第一節(jié)第一節(jié) 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念 圖示一圖示一600mm長的鋼板尺兩端鉸接放入實(shí)驗(yàn)架中受軸向壓力，長的鋼板尺兩端鉸接放入實(shí)驗(yàn)架中受軸向壓力，其橫截面積為其橫截面積為32mm1mm。按上面給出的強(qiáng)度條件，求鋼板尺。按上面給出的強(qiáng)度條件，求鋼板尺能承受的荷載能承受的荷載.Fmm32mm1 AFmax132215N6880N15第一節(jié)第一節(jié) 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定壓桿保持其原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱其穩(wěn)壓桿保持其原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱其穩(wěn)定性。（

2、指受壓桿件其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性）定性。（指受壓桿件其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性） 臨界力臨界力受壓直桿的平衡形式由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴皇軌褐睏U的平衡形式由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡時(shí)所受的軸向壓力，是壓桿在原有的直線狀態(tài)穩(wěn)定平衡時(shí)所受的軸向壓力，是壓桿在原有的直線狀態(tài)下保持平衡的最大荷載，也是壓桿在彎曲狀態(tài)下保持平下保持平衡的最大荷載，也是壓桿在彎曲狀態(tài)下保持平衡的最小壓力。衡的最小壓力。 細(xì)長壓桿在壓力逐漸增大至某一數(shù)值時(shí)，突然變彎直至細(xì)長壓桿在壓力逐漸增大至某一數(shù)值時(shí)，突然變彎直至彎斷的現(xiàn)象稱為彎斷的現(xiàn)象稱為穩(wěn)定失效（失穩(wěn)或屈曲）穩(wěn)定失效（失穩(wěn)或屈曲）。第二節(jié)第二節(jié) 細(xì)長壓桿的臨界力細(xì)長壓桿的臨界力 一、兩

3、端鉸支壓桿的臨界荷載一、兩端鉸支壓桿的臨界荷載FcrFcrFxy xM yFxMcr EIxMdxyd22EIyFdxydcr220222ykdxydkxBkxAycossin0 x0y0B2Lx y2sinLkA2sinkLALx 0ykxkLysin2sinkLkLsin2sin002cos2 kLEIFkcr202cos2 kL002cos kL22nkL.5, 3, 1n1n22nkL222)(LnkEIFkcr2EIFLncr22)(22)(LEInFcr2sinkLAAxlysin適用條件：理想壓桿（軸線為直線，壓力與軸線重合，材料均勻）線彈性，小變形兩端為鉸支座壓桿總是繞 抗彎剛

4、度最小的軸抗彎剛度最小的軸 發(fā)生失穩(wěn)破壞。22lEIPcr22)(LEInFcrxlysin2min2?lEIPcr二、其他支承情況下細(xì)長壓桿的臨界力二、其他支承情況下細(xì)長壓桿的臨界力2min2）（lEIPcr 0.5 2.0 0.7 1.0 2.0 1.0 0.7 2.0 1.0 0.5 0.7 2.0 1.0 例例1 1：截面為：截面為200120mm2的軸向受壓的軸向受壓木柱木柱，l=8m，柱的支承情況是柱的支承情況是: : 在最在最大剛度平面內(nèi)壓彎時(shí)為兩端鉸支（圖大剛度平面內(nèi)壓彎時(shí)為兩端鉸支（圖a）；在最小剛度平面內(nèi)壓彎時(shí)為兩端）；在最小剛度平面內(nèi)壓彎時(shí)為兩端固定（圖固定（圖b）。木材

5、的彈性模量）。木材的彈性模量E=10GPa，試求木柱的臨界壓力。，試求木柱的臨界壓力。解：（解：（1 1）計(jì)算最大剛度平面內(nèi)的臨界壓力）計(jì)算最大剛度平面內(nèi)的臨界壓力 （即繞（即繞y軸失穩(wěn)）軸失穩(wěn)） 中性軸為中性軸為y軸：軸：kNlEIPylj123800011080101014. 3263222 yz200120120zy200（圖（圖a）（圖（圖b）木柱兩端鉸支，木柱兩端鉸支， ，則得：，則得：463108012200120mmIyyz200120（2 2）計(jì)算最小剛度平面內(nèi)的臨界壓力）計(jì)算最小剛度平面內(nèi)的臨界壓力 （即繞（即繞 z z 軸失穩(wěn)）軸失穩(wěn)）4646310828108281212

6、0200m.mm.Iz木柱兩端固定，木柱兩端固定，則得：，則得： KNlEIPzlj17880005 .0108 .28101014.3263222 中性軸為中性軸為z z軸：軸： 120zy200由上可知：木柱的臨界壓力為由上可知：木柱的臨界壓力為Pcr=123kN。解： 截面慣性矩臨界力269kNN102693 兩端鉸支細(xì)長壓桿，橫截面直徑d=50mm,材料為Q235鋼,彈性模量E=200GPa， 試確定其臨界力。MPas235一、臨界應(yīng)力與柔度一、臨界應(yīng)力與柔度 臨界應(yīng)力：處于臨界狀態(tài)時(shí)橫截面上平均應(yīng)力臨界應(yīng)力：處于臨界狀態(tài)時(shí)橫截面上平均應(yīng)力 面的幾何性質(zhì)；截面的慣性半徑；為截其中：AI

7、i 程度。比）；反映壓桿的柔軟稱為壓桿的柔度（長細(xì)il 影響壓桿承載能力的綜合指標(biāo)影響壓桿承載能力的綜合指標(biāo)222222222()()()crcrPEIEIEEiAlAlAl歐拉公歐拉公式式第三節(jié)第三節(jié) 壓桿的臨界應(yīng)力壓桿的臨界應(yīng)力 P 與比例極限對應(yīng)的柔度與比例極限對應(yīng)的柔度PPE2Pil歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍: : p比例極限比例極限歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 p22crE 根據(jù)柔度的大小可將壓桿分為三類根據(jù)柔度的大小可將壓桿分為三類Ocr22EcrPPbacrSS?sp?P?s;6 .5975.6157 .96BAljljNkNAP 例例1 圖示支架中圓形截面壓桿

8、圖示支架中圓形截面壓桿AB的直徑為的直徑為28mm,材料為材料為A3鋼，鋼，P P =123=123，E=200GPaE=200GPa。試求荷載試求荷載P P的最大值。的最大值。 解解：AB壓桿壓桿l=1000mm,;dI;mm.dA64756154422; 1;74 mmdAIi大柔度桿；;.ilp1239142710001MPaElj7 .969 .1422000002222 由結(jié)點(diǎn)由結(jié)點(diǎn)B的平衡的平衡：; 0sin, 0maxPNYBA ;7 .47546 .59sinmaxkNNPBA PBaBANCBNP0.6mCBaA0.8m 圖中所示之壓桿，其直徑均為圖中所示之壓桿，其直徑均為d

9、 d，材料都是，材料都是Q235Q235鋼，鋼，但二者長度和約束條件不相同。試：但二者長度和約束條件不相同。試：1.1.分析那一根桿的臨界荷載較大？分析那一根桿的臨界荷載較大？2.2.計(jì)算計(jì)算d d160mm160mm，E E206GPa206GPa時(shí)，二桿的臨界荷載。時(shí)，二桿的臨界荷載。m5Fd)(am9Fd)(b46424dd4dAIi iLa451d125495 . 0db5 .11215 . 0ba101Pab4222dEAFcrcr4160125102062232acrFkN102.6341605 .112102062232bcrFkN1021. 33FFhABhbz)(a Q235

10、 Q235鋼制成的矩形截面桿鋼制成的矩形截面桿, ,兩端約束以及所承受兩端約束以及所承受的載荷如圖示（的載荷如圖示（a a）為正視圖（）為正視圖（b b）為俯視圖），在）為俯視圖），在ABAB兩兩處為銷釘連接。若已知處為銷釘連接。若已知L L2300mm2300mm，b b40mm40mm，h h60mm60mm。材料的彈性模量材料的彈性模量E E205GPa205GPa。試求此桿的臨界載荷。試求此桿的臨界載荷。FFbl)(b123bhIzbhA 0 . 1AIizz32hzzil32hl0632230018 .132101PkNAF275crcr Q235鋼制成的矩形截面桿鋼制成的矩形截面桿

11、,兩端約束以及所承受的載荷兩端約束以及所承受的載荷如圖示（如圖示（a）為正視圖（）為正視圖（b）為俯視圖），在）為俯視圖），在AB兩處為兩處為銷釘連接。若已知銷釘連接。若已知L2300mm，b40mm，h60mm。材料的彈性模量材料的彈性模量E205GPa。試求此桿的臨界載荷。試求此桿的臨界載荷。FFhABhbz)(aFFbl)(b123hbIzbhA 5 . 0AIiyy32byyil32bl6 .99101PkNAAbaAFy9 .461)6 .99*12. 1304()(crcr第四節(jié)第四節(jié) 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算 ?stcrstnAP )()()(stcrstcrstnn一、一、

12、 穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件?stcrnPPn穩(wěn)定系數(shù)；一般穩(wěn)定系數(shù)；一般st，故，故1。 為已知可查表得穩(wěn)定系數(shù)為已知可查表得穩(wěn)定系數(shù)安全系數(shù)法安全系數(shù)法（適用于機(jī)械、（適用于機(jī)械、動(dòng)力、冶金等荷載情況復(fù)雜）動(dòng)力、冶金等荷載情況復(fù)雜）穩(wěn)定系數(shù)法穩(wěn)定系數(shù)法（適用于土建工（適用于土建工程）程）(3) (3) 進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算或利用穩(wěn)定條件進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算或利用穩(wěn)定條件, ,進(jìn)行穩(wěn)定進(jìn)行穩(wěn)定校核校核. .穩(wěn)定校核步驟穩(wěn)定校核步驟(1) (1) 根據(jù)壓桿的實(shí)際尺寸及支承情況根據(jù)壓桿的實(shí)際尺寸及支承情況, , 分別計(jì)分別計(jì)算各自平面彎曲的柔度算各自平面彎曲的柔度, ,得出最大柔度得出最大柔度 maxmax. .(2)

13、(2) 根據(jù)根據(jù) max max , ,選擇相應(yīng)的臨界應(yīng)力公式選擇相應(yīng)的臨界應(yīng)力公式, , 計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界力計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界力. .(1) (1) 根據(jù)壓桿的實(shí)際尺寸及支承情況根據(jù)壓桿的實(shí)際尺寸及支承情況, , 分別計(jì)分別計(jì)算各自平面彎曲的柔度算各自平面彎曲的柔度, ,得出最大柔度得出最大柔度 maxmax. .(2) (2) 根據(jù)根據(jù) max max , ,選擇相應(yīng)的臨界應(yīng)力公式選擇相應(yīng)的臨界應(yīng)力公式, , 計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界力計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界力. .(3) (3) 進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算或利用穩(wěn)定條件進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算或利用穩(wěn)定條件, ,進(jìn)行穩(wěn)定進(jìn)行穩(wěn)定校核。校核。(1) (1) 根據(jù)壓桿的實(shí)際尺

14、寸及支承情況根據(jù)壓桿的實(shí)際尺寸及支承情況, , 分別計(jì)分別計(jì)算算各自平面各自平面彎曲的柔度彎曲的柔度, ,得出最大柔度得出最大柔度 maxmax。(2) (2) 根據(jù)根據(jù) max max , ,選擇相應(yīng)的臨界應(yīng)力公式選擇相應(yīng)的臨界應(yīng)力公式, , 計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界力。計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界力。例例1 1 校核木柱穩(wěn)定性。已知校核木柱穩(wěn)定性。已知l6m,6m,圓截面圓截面d2020cm, ,兩端鉸接，兩端鉸接，軸向壓力軸向壓力P50kN，木材許用應(yīng)力木材許用應(yīng)力 =10MPa。 解：解：;12056001; 1;54204ilcmdAIi ;08. 210208. 0,208. 0 查表，木柱穩(wěn)定。

15、;59. 12004500002 MPaAP查表：查表： 木桿穩(wěn)定。木桿穩(wěn)定。; 12056001; 1; 54204 ilcmdAIi ;12056001; 1;54204ilcmdAIi 試確定直徑為試確定直徑為d60mm長度長度L2m的圓截面木桿的的圓截面木桿的承載力。已知木材的抗壓強(qiáng)度承載力。已知木材的抗壓強(qiáng)度 10MPa，立柱兩端，立柱兩端均按鉸接考慮。均按鉸接考慮。AFAIi 46424dd4dmm15iL1510213303.13328002kNF47.446010158.021001602 梁梁AF由直桿連接支撐在墻上，并受均布荷載由直桿連接支撐在墻上

16、，并受均布荷載q=4kN/m作用，若各桿直徑均為作用，若各桿直徑均為40mm(不計(jì)桿重不計(jì)桿重)，材，材料為料為A3鋼鋼,其彈性模量其彈性模量E=206MPa, 穩(wěn)穩(wěn)定安全系數(shù)定安全系數(shù)nst=5，試求，試求：（：（1）支座處反力；（）支座處反力；（2）校）校核各桿穩(wěn)定性。核各桿穩(wěn)定性。ABCDEFm5.0m1m11mAXAYBXkNXXBA5 .12kNYA10kNSBD5 .12kNSED67.17kNSCD5 .12桿EDmmdi10411141iLEDEDkNLEIFEDEDcr12422stEDcrnSFFn7124桿BD250iLBDBD 5 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措

17、施歐拉公式歐拉公式22)( lEIFcr越大越穩(wěn)定越大越穩(wěn)定crF減小壓桿長度減小壓桿長度 L L減小長度系數(shù)減小長度系數(shù)（增強(qiáng)約束）（增強(qiáng)約束）增大截面慣性矩增大截面慣性矩 I I（合理選擇截面形狀）（合理選擇截面形狀）增大彈性模量增大彈性模量 E E（合理選擇材料）（合理選擇材料）減小壓桿長度 l減小長度系數(shù)（增強(qiáng)約束）增大截面慣性矩 I（合理選擇截面形狀） 壓桿穩(wěn)定問題中的長細(xì)比反應(yīng)了桿的尺寸，（ ）和（ ）對臨界壓力的綜合影響。 兩根細(xì)長壓桿a與b的長度、橫截面面積、約束狀態(tài)及材料均相同，若其橫截面形狀分別為正方形和圓形，則二壓桿的臨界壓力Facr和Fbcr的關(guān)系為（ ）。A.Facr

18、=Fbcr；B.FacrFbcr；C.FacrFbcr；D.不確定 材料和柔度都相同的兩根壓桿（ ）。A. 臨界應(yīng)力一定相等，臨界壓力不一定相等；B. 臨界應(yīng)力不一定相等，臨界壓力一定相等；C. 臨界應(yīng)力和壓力都一定相等；D. 臨界應(yīng)力和壓力都不一定相等。 圖示兩端鉸支壓桿的截面為矩形。當(dāng)其失穩(wěn)時(shí)，（ ）。A.臨界壓力Fcr2EIy/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)；B.臨界壓力Fcr2EIy/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)；C.臨界壓力Fcr2EIz/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)；D.臨界壓力Fcr2EIz/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)。LFyzxhbzy 圖示三根壓桿，橫截面面積及材料各不相同，但它們的（ ）相同。A.長度因數(shù)；B.相當(dāng)長度；C.柔度；D.臨界壓力。l 5 . 0Fl43. 1Fl 2F 在下列有關(guān)壓桿臨界