四種命題四種命題間相互關(guān)系

1、四種命題四種命題間的相互關(guān)系1 .了解四種命題的概念，會寫出某命題的逆命題、否命題和逆否命題.(重點)2 .認識四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的關(guān)系.(難點)3 .利用命題真假的等價性解決簡單問題.(難點、易錯點)教材整理1四種命題閱讀教材P4P6,完成下列問題.1 .四種命題的概念一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié) 論和條件,那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果是另一個命題條件的 否定和結(jié)論的否定,那么把這樣的兩個命題叫做互否命題.如果是另一個命題也 論的否定和條件的否定，那么把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題.把第一個叫做原命題時，另三個可分別稱為原命

2、題的逆命題、否命題、逆否命題 .2 .四種命題的形式原命題：若p,則q.逆命題：若q,則p.否命題：若p,則q.逆否命題：若q,則p.判斷(正確的打，錯誤的打"X”)有的命題沒有逆命題.()四種命題中，原命題是固定的.()3 3) “對頂角相等”的否命題為“對頂角不相等”.()解：(1)只要原命題確定了，它的逆命題就確定了，故 (1)錯.(2)四種命題中原命題具有相對性，故(2)錯.(3) “對頂角相等”的否命題為“若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等 ”，故(3)錯.答案:(1)x (2)x (3)x教材整理2四種命題間的相互關(guān)系閱讀教材P6P8,完成下列問題.1 .四種命題之間的

3、相互關(guān)系2 .四種命題的真假關(guān)系(1)四種命題的真假性，有且僅有下面四種情況原命題逆命題否命題逆否命題真真縣直真假偃直假真假假假偃四種命題的真假性之間的關(guān)系兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性 .兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.判斷(正確的打“，”，錯誤的打"X”)(1)對于一個命題的四種命題，可以一個真命題都沒有.()(2)兩個互逆命題的真假性相同.()命題“若a>-3,則a>6”以及它的逆命題，否命題，逆否命題中，真命題的個數(shù)有3個.()解：(1)若原命題為假命題，則其逆否命題為假命題，逆命題和否命題可都為假命 題，故(1)對.(2)兩個互逆命

4、題的真假性無關(guān)，故(2)錯.(3)原命題和逆否命題正確，否命題和逆命題錯誤，故 (3)錯.答案:(1)，(2) X (3) X小組合作探究四種命題的概念例1、寫出以下命題的逆命題、否命題和逆否命題：(1)如果直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于平面；(2)如果x> 10,那么x>0;(3)當 x=2 時，x2+x6=0.根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所求命題.自主解答：(1)逆命題：如果直線垂直于平面，那么直線垂直于平面內(nèi)的兩條相 交直線；否命題：如果直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么直線不垂直于平面； 逆否命題：如果直線不垂直于平面，那么直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線

5、 逆命題：如果x>0,那么x> 10;否命題：如果x<10,那么x< 0;逆否命題：如果x< 0,那么x< 10.(3)逆命題：如果x2+x 6 = 0,那么x = 2;2否命題：如果xw2,那么x +x 6w0;逆否命題：如果x2 + x6金0,那么xw2.1 .寫出一個命題的其他三種命題的步驟(1)分析命題的條件和結(jié)論；(2)將命題寫成“若p,則q”的形式；(3)根據(jù)逆命題、否命題、逆否命題各自的結(jié)構(gòu)形式寫出這三種命題.注意：如果原命題含有大前提，在寫出原命題的逆命題、否命題、逆否命題時, 必須注意各命題中的大前提不變.2 .常見詞語的否定詞語是都是&g

6、t;至少有n個至多有n個否定不是不都是至多有n 1個至少有n+ 1個再練一題1 .命題“若m>n,則m1>n 2”的逆否命題為 .(2)分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題：正數(shù)的平方根不等于0;若 x2+y2 = 0(x, y R),則 x, y 全為 0.解：(1)若 m Kn 2,則 m<n.(2)逆命題：若一個數(shù)的平方根不等于 0,則這個數(shù)是正數(shù)；否命題：若一個數(shù)不是正數(shù)，則這個數(shù)的平方根等于0;逆否命題：若一個數(shù)的平方根等于 0,則這個數(shù)不是正數(shù).逆命題：若x, y全為0,則x2 + y2=0(x, y R)；否命題：若x2+y2w0(x, y R),則x,

7、y不全為0;逆否命題：若x, y不全為0,則x2+y2w0(x, y R).四種命題真假的判斷例2、把下列命題改寫成“若 p,則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題、 逆否命題，然后判斷它們的真假：(1)正偶數(shù)不是素數(shù)；(2)平行于同一條直線的兩條直線平行.自主解答：(1)原命題：若一個數(shù)是正偶數(shù)，則這個數(shù)不是素數(shù)，是假命題;逆命題：若一個數(shù)不是素數(shù)，則這個數(shù)是正偶數(shù)，是假命題；否命題：若一個數(shù)不是正偶數(shù)，則這個數(shù)是素數(shù)，是假命題；逆否命題：若一個數(shù)是素數(shù)，則這個數(shù)不是正偶數(shù)，是假命題.(2)原命題：若兩條直線平行于同一條直線，則這兩條直線平行，是真命題.逆命題：若兩條直線平行，則這兩條直線平

8、行于同一條直線，是真命題.否命題：若兩條直線不平行于同一條直線，則這兩條直線不平行，是真命題 逆否命題：若兩條直線不平行，則這兩條直線不平行于同一條直線，是真命題.在判斷一個命題的真假時，可以有兩種方法：一是分清原命題的條件和結(jié)論， 直接對原命題的真假進行判斷；二是不直接寫出命題，而是根據(jù)命題之間的關(guān)系 進行判斷，即原命題和逆否命題同真同假，逆命題和否命題同真同假 .再練一題2 .下列命題：“若xy= 1,則x、y互為倒數(shù)”的逆命題；“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題；“梯形不是平行四邊形”的逆否命題.其中是真命題的是.解：“若xy= 1,則x, y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x,y互為倒數(shù)，則

9、xy= 1"，是真命題；“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四邊不都相等的四邊形不是正方形"，是真命題；“梯形不是平行四邊形"本身是真命題，所以其逆否命題也是真命題.所以真命題是.答案：探究共同研討等價命題的應用探究1我們學習了四種命題的關(guān)系，那么在直接證明某一個命題為真命題有困 難時，該怎么辦？【提示】可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題.探究2根據(jù)互為逆否命題的真假性相同來判斷命題的真假，是哪種證明方法的理論基礎？【提示】是反證法的理論基礎.例3判斷命題“已知a, x為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+ a2 + 2<

10、;0 的解集不是空集，則a>1”的逆否命題的真假.法一:|分析已知命題IT寫出逆否命題IT利用 冰a的范圍|T判斷命題真假法二：四斷原命題真后"|四斷逆否命題真假【自主解答】法一：原命題的逆否命題：已知a, x為實數(shù)，若a<1,則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+200的解集為空集.真假判斷如下：: 拋物線 y= x2+(2a+1)x+a2+2開口向上，判別式 A= (2a+1)24(a2 + 2) = 4a 7,若 a<1,則 4a- 7<0.即拋物線y= x2+(2a+1)x+a2+2與x軸無交點.所以關(guān)于x的不等式x2+(2a+ 1)x+ a2

11、+ 2W0的解集為空集.故原命題的逆否命題為真.法二：先判斷原命題的真假.因為a, x為實數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+ a2 + 200的解集不是空集，22所以 A= (2a+1) -4(a +2)>0,即 4a-7>0,解得 a>7.因為a；，所以a1,所以原命題為真.又因為原命題與其逆否命題等價，所以逆否命題為真.這種問題的解決通常有兩種方法：一是直接法，先寫出逆否命題，后判斷， 如法一；二是間接法，不寫逆否命題，從判斷原命題的真假證明逆否命題的真假， 如法二.再練一題3.證明：已知函數(shù)f(x)是(一0°, +oo)上的增函數(shù)，a、bCR,若f(a

12、) + f(b戶f( a)+f( b),則 a+b>0.解：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(一8, +oo)上的增函數(shù)，a, bCR,若 a+ b<0,則 f(a) + f(b)<f(-a) + f(-b)."'''當 a + b< 0 時，a< b, b< a,又二嚇在(一oo, +oo)上是增函數(shù)，.f(a)<f(-b), f(b)<f(a).f(a)+f(b)<f(-a) + f(-b),即逆否命題為真命題.原命題為真命題.1 .命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的相反數(shù)是正數(shù)”的逆命題是()A. “

13、若一個數(shù)是負數(shù)，則它的相反數(shù)不是正數(shù)”B. ”若一個數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，則它是負數(shù)”C. “若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的相反數(shù)不是正數(shù)”D. ”若一個數(shù)的相反數(shù)不是正數(shù)，則它不是負數(shù)”解：若原命題記作“若p,則q"，則A為“若p,則q” ； B為“若q,則p” ；C為“若p,則q” ； D為“若q,則p” .故B正確.答案：B2 .命題“如果x2<1,則1<x<1”的逆否命題是()A.如果x2>1,則x>1,或x0 - 1B.如果一1<x<1,則 x2<1C.如果 x>1 或 x< 1,則 x2>1D.如果x>1或x0

14、 1 ,則x2>1解：1<x<1”的含義是“x>1且x<1"，故"1<x<1"的否定是"x> 1 或 x0 1"，故選 D.答案：D3 .已知命題：“若x> 0, y> 0,則xy> 0"，則原命題、逆命題、否命題、逆否 命題這四個命題中，真命題的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4解：由題意可判斷原命題為真命題，故逆否命題也為真命題，其逆命題為“若xy>0,則x>0, y>0",為假命題，所以否命題也為假命題，故四個命題中，真命題的個數(shù)為2.答案：B4 .有下列四個命題：命題“若x+y=0,則x, y互為相反數(shù)”的逆命題；命題“面積相等的三角形全等”的否命題；命題“若m<1,則x22x+m=0有實根”的逆否命題；命題“若AAB=B,則A? B”的逆否命題.其中是真命題的是 （M上你