小學(xué)奧數(shù)比例法行程問題

1、小升初之行程問題的解法-比例法根據(jù)近千套各類奧數(shù)競(jìng)賽和"小升初"數(shù)學(xué)考試試題的分析，平均每套試卷按 12道題，滿分100分計(jì)算，就有1.8道試題為行程問題（即每120道試題中有1 8道是行程問題），分值為21分。行程問題占一套試卷分值的1/5左右，所以 行程問題不論在奧數(shù)競(jìng)賽中還是在“小升初”的升學(xué)考試中，都擁有非常顯赫的地 位，都是命題者偏愛的題型之一。小學(xué)生"行程問題”普遍是弱項(xiàng)，有幾下幾個(gè)原因：一、行程分類較細(xì)，變化較多。行程跟工程不一樣，工程抓住工作效率和比例關(guān)系就可以解決絕大部分問 題，但是行程則沒有關(guān)鍵點(diǎn)可以抓住，因?yàn)槊恳粋€(gè)類型關(guān)鍵點(diǎn)都不一樣。二、要求

2、對(duì)動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行演繹和推理。行程問題的題目語言敘述本身就很長， 加上所描繪的是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，一般 很難從復(fù)雜的語言敘述中提煉出過程中量的變化關(guān)系。三、行程是一個(gè)殼，可以將各類知識(shí)往里面加。很多題目看似行程問題，但是本質(zhì)不是行程問題。因?yàn)樾谐痰膹?fù)雜，所以學(xué)習(xí)行程一定要循序漸進(jìn)，掌握各類行程問題的解 題關(guān)鍵點(diǎn)。下面舉例講解用比例法求解一類行程問題。方法指導(dǎo)：復(fù)雜行程問題經(jīng)常運(yùn)用到比例知識(shí)：速度一定，時(shí)間和路程成正比；時(shí)間一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和時(shí)間成反比。分析時(shí)可以抓住題中含有比的句子進(jìn)行分析， 以此作為突破口，一步一步求得結(jié) 果。也可以從題意的敘述中找出等量關(guān)系， 從而得出所需的數(shù)

3、量之比，再根據(jù)比 與分?jǐn)?shù)的關(guān)系求解。能用比例法解決的行程問題的特點(diǎn)：能直接或間接地求出速度比或同一時(shí)間內(nèi)的路程比例1:甲、乙兩車的速度比是4: 7,兩車同時(shí)從兩地相對(duì)出發(fā)，在距中點(diǎn) 15千 米處相遇，兩地相距多少千米？邊講邊練：1、甲、乙兩車同時(shí)從 AB兩地相對(duì)而行，甲、乙兩車速度比 7: 5,相遇時(shí)距中 點(diǎn)12千米，AB兩地相距多少千米？例2:兩列火車同時(shí)從兩個(gè)城市相對(duì)開出，6.5小時(shí)相遇。相遇時(shí)甲車比乙車多2行52千米，乙車的速度是甲車的2。求兩城之間的距離。3邊講邊練：1、甲、乙兩車分別從 AB兩地同時(shí)相向而行，3小時(shí)相遇。已知甲車行1小時(shí) 距B地340千米，乙車行1小時(shí)距A地360千米

4、。AB兩地相距多少千米？ （420）2、客車由甲城到乙城需行10小時(shí)，貨車從乙城到甲城需行15小時(shí)，兩車同時(shí) 相向開出，相遇時(shí)客車距離乙城還有 192千米，求兩城間的距離。例3:甲、乙兩車同時(shí)從 AB兩地相對(duì)而行，5小時(shí)相遇，已知甲、乙兩車速度 的比是2: 3,甲車行完全程需多少小時(shí)？邊講邊練：甲、乙兩車同時(shí)從AB兩地相對(duì)而行，4小時(shí)相遇，已知甲、乙兩車速度的比是3: 5,乙車行完全程需多少小時(shí)？例4:客車和貨車同時(shí)從 AB兩地相對(duì)開出，客車每小時(shí)行 60千米，貨車每小1時(shí)行全程的 ,相遇時(shí)客車和貨車所行路程的比是 5: 4。AB兩地相距多少千米？ 15邊講邊練：11、客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩

5、地相對(duì)開出，客車每小時(shí)行全程的 ",貨車每小時(shí)5行50千米。相遇時(shí)客車和貨車所行的路程的比是 3: 2。甲、乙兩地相距多少千 米？2、甲、乙兩個(gè)城市相距若干千米，一列客車與一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市相對(duì)開 出，3小時(shí)后相遇，相遇時(shí)客車比貨車多行60千米，貨車與客車速度比是9: 11 貨車平均每小時(shí)行多少千米？3、甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行，甲車行全長需 8小時(shí)，乙車每小時(shí)56千米，相遇 時(shí)，甲、乙兩車所行路程的比是 3: 4,這時(shí)乙車行了多少千米？例5:甲、乙兩車同時(shí)從 AB兩地相向而行，4小時(shí)后相遇，相遇后甲又行了 3小時(shí)到達(dá)B地，這時(shí)乙車離A地70千米，AB兩地相距多少千米？邊講邊練：小

6、強(qiáng)和小軍分別從 AB兩地同時(shí)相對(duì)而行，8分鐘相遇，相遇后又行6分鐘小軍到達(dá)A地，這時(shí)小強(qiáng)離B地160米，AB兩地相距多少米？例6:甲、乙兩車同時(shí)從 AB兩地相向而行，當(dāng)甲到達(dá) B地時(shí)，乙車距A地30 千米，當(dāng)乙車到達(dá)A地時(shí)，甲車超過B地40千米，AB兩地相距多少千米？邊講邊練：快車從A地，慢車從B地同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)過 4小時(shí)相遇，相遇后兩車仍 按原速度繼續(xù)前進(jìn)，又經(jīng)過5小時(shí)慢車到達(dá)A地，這時(shí)快車已超過B地90千米 AB兩地路程是多少千米？ （ 360）摩托車和輕騎兩車同時(shí)從甲、乙兩地相向而行，當(dāng)摩托車到達(dá)乙地時(shí)，輕騎離甲 地還有35千米；當(dāng)輕騎到達(dá)甲地時(shí)，摩托車超過乙地 40千米。甲、乙兩

7、地相距 多少千米？甲、乙兩人各加工同樣多的零件。同時(shí)開工，當(dāng)甲完成任務(wù)時(shí)，乙還有 150個(gè)沒有完成，當(dāng)乙完成任務(wù)時(shí)，甲可以超額完成 250個(gè)，這批零件總數(shù)共多少個(gè)？例7:甲、乙兩車從相距180千米A地去B地，甲車比乙車晚1.5小時(shí)出發(fā)，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá)，甲、乙兩車速度的比是 4: 3,甲車每小時(shí)行多少千米？邊講邊練：甲、乙兩人從相距2500米的A地去B地，甲比乙晚5分鐘出發(fā)，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)，甲、乙兩人行走速度比是 3: 2,求甲的速度。姐妹兩人騎車從相距10千米的甲地去乙地，妹妹比姐姐早出發(fā)10分鐘，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)，姐妹兩人騎車速度比是 5: 4,求姐姐甲地去乙地用了多少時(shí)間？例8: 一輛

8、汽車運(yùn)一批貨從江城到海鄉(xiāng)，又從海鄉(xiāng)運(yùn)一批貨返回江城，往返共用了 13.5小時(shí)。去時(shí)用的時(shí)間是回來時(shí)用的時(shí)間的 1.25倍，去時(shí)的速度比返回時(shí)的速度每小時(shí)慢6千米。這輛汽車往返共行了多少千米？邊講邊練：、小張爬山，下山按原路返回，往返共用了 1.5小時(shí)。上山時(shí)間是下 山時(shí)間的1.5倍，上山速度比下山速度每分鐘慢 50米。小張上下山共行了多少 米？3一輛汽車往返于甲、乙兩地。去時(shí)的速度是返回速度的3,去時(shí)比返回時(shí)多用了1小時(shí)，已知返回速度是每小時(shí) 60千米，求甲、乙兩地相距多少千米？3 一例9:甲乙兩人分別從AB兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，乙車的速度是甲的 -,兩2人相遇后繼續(xù)前行，甲到達(dá) B地，乙到

9、達(dá)A地后立即返回，已知兩人第二次相 遇的地點(diǎn)距離第一次相遇的地點(diǎn) 20千米，那么AB兩地相距多少千米？例10:從甲地到乙地的路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是 1: 2: 3, 某人走這三段路所用的時(shí)間之比是 4: 5: 6。已知他上坡時(shí)的速度為每小時(shí) 2.5千 米，路程全長為20千米。此人從甲地走到乙地需要多長時(shí)間？ （5小時(shí)）東分邊講邊練：1、從甲地到乙地的路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是 2:3:5,小 亮走這三段路所用的時(shí)間之比是 6:5:4。已知小亮走平路時(shí)的速度為每小時(shí) 4.5 千米，他從甲地到乙地共用了 5小時(shí)。問：甲乙兩地相距多少千米？2、青青從家到學(xué)校正

10、好要翻一座小山， 她上坡每分鐘行50米，下坡速度比上坡 速度快40%,從家到學(xué)校的路程為2800米，上學(xué)要用50分鐘。從學(xué)?；丶乙?多少時(shí)間？例11:甲乙兩人分別從A,B兩地出發(fā)，相向而行，出發(fā)時(shí)他們的速度比是 3:2, 他們第一次相遇后，甲的速度提高了 20%,乙的速度提高了 30%,這、樣當(dāng)甲 到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有14千米。那么A,B兩地間的距離是多少千米？邊講邊練:1、甲乙兩人步行的速度比為13:11,他們分別由A,B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行,0.5小時(shí)后相遇。如果他們同向而行，那么甲追上乙需要幾小時(shí)？2、從學(xué)校到少年宮，小明要2小時(shí)，東東要1小時(shí)40分鐘。若小明從A地出 發(fā)8分鐘后，

11、東東學(xué)校出發(fā)追小明。東東出發(fā)多久能追上小明？3、甲乙兩車分別從AB兩地出發(fā)，相向而行。出發(fā)時(shí)，甲乙的速度比為 5:4,相 遇后，甲的速度減少了 20%,乙的速度增加了 20%,這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)， 乙離A地還有10千米。那么AB兩地相距多少千米？例12: 一輛汽車從甲地開往乙地，如果把車速提高20%,可以比原定時(shí)間提前1 小時(shí)到達(dá)；如果按照原速行駛120千米后，再將速度提高25%,則可提前40分 鐘到達(dá)。那么甲乙兩地相距多少千米？邊講邊練：1、一輛汽車從甲地開往乙地，如果把車速提高 25%,那么可以比原定時(shí)間提前24分鐘到達(dá)，如果以原速行駛 80千米后，再將速度提高。，那么可以提前103分鐘

12、到達(dá)乙地，甲乙兩地相距多少千米？2、一個(gè)正方形的一邊減少20%,另一邊增加2米，得到一個(gè)長方形，這個(gè)長方 形的面積與原來正方形的面積相等，原正方形面積是多少？3、客貨兩車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，相遇時(shí)客貨兩車所行駛的路程比為5:4,相遇后貨車每小時(shí)比相遇前奪走 27千米，客車仍按原速行駛，結(jié)果兩車同時(shí)到 達(dá)對(duì)方的出發(fā)站，已知客車一共行了 10小時(shí)，甲乙兩地相距多少千米？例13、甲乙兩班學(xué)生到離校24千米的飛機(jī)場(chǎng)參觀學(xué)習(xí)，一輛汽車一次只能坐一 個(gè)班的學(xué)生，為了盡快到達(dá)機(jī)場(chǎng)，兩個(gè)班商定由甲班先坐車，乙班步行，同時(shí)出 發(fā)，甲班學(xué)生在中途下車步行去機(jī)場(chǎng)， 汽車立即返回接途中步行的乙班同學(xué)。 已 知兩班

13、學(xué)生步行的速度相同，汽車的速度是不行的7倍，問汽車應(yīng)在距機(jī)場(chǎng)多少 千米處返回接乙班學(xué)生？（學(xué)生上下車以及汽車換向時(shí)間不計(jì)算在內(nèi)）邊講邊練：1、紅星小學(xué)有80名學(xué)生租了一輛40座的汽車去海邊觀看日出，未乘上車的學(xué)生步行和汽車同時(shí)出發(fā)，由汽車往返接送。學(xué)校離海邊48千米，汽車的速度是步行的9倍。汽車應(yīng)該在距離海邊多少千米處返回接第二批學(xué)生，才能使學(xué)生同時(shí)到達(dá)海邊？1 .、2、一輛汽車把貨物從甲地運(yùn)往乙地只用了 5小時(shí)去時(shí)所用時(shí)間是回來的11倍，去時(shí)每小時(shí)比回來時(shí)慢17千米，汽車往返共行了多少千米？一 -、一 13、甲乙兩人以同樣的速度同時(shí)從 AB兩地相向出發(fā)，相遇后甲的速度提高了 -，3用21小時(shí)

14、到達(dá)B地。乙的速度減少了 1,再用多少小時(shí)可以到達(dá) A地？26課后作業(yè)：1、一輛汽車從甲地開往乙地，每小時(shí)行駛 50千米，返回時(shí)每小時(shí)行60千米, 已知去時(shí)用6小時(shí)，那么返回時(shí)用幾小時(shí)？2、一輛汽車從甲地到乙地，去時(shí)每小時(shí)行駛45千米，返回時(shí)每小時(shí)行50千米, 問這輛汽車去時(shí)和返回時(shí)所用的時(shí)間比。3、一輛汽車從甲地到乙地，每小時(shí)行 40千米，返回時(shí)每小時(shí)行50千米，已知去時(shí)比返回時(shí)多用11小時(shí)，那么去時(shí)用了多少時(shí)間？甲、乙兩地相距多少千米？5（兩種方法）4、包子去登山，上午6點(diǎn)出發(fā)，走了一段平坦的路，爬上了一座山，在山頂停 了 1小時(shí)后按照原路返回，下午11點(diǎn)回到家。已知他走平路時(shí)的速度為每小

15、時(shí)4千米，上坡速度為每小時(shí)3千米，下坡速度為每小時(shí)6千米。問：包子一共走 了多少千米？5、一輛汽車從甲地到乙地，每小時(shí)行 60千米，返回時(shí)速度減小了 1 ,已知去時(shí)51 ,比返回時(shí)多用11小時(shí)，那么去時(shí)用了多少時(shí)間？甲、乙兩地相距多少千米？（兩5種方法）6、甲、乙兩輛汽車從A、B兩地相向而行，當(dāng)甲車行了全程的 1時(shí)，乙車行了4全程的1,當(dāng)乙車行完全程時(shí)，甲車距終點(diǎn)還有 20千米。問A B兩地相距多少3千米？7、客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩城之間的中點(diǎn)向相反的方向相反的方向行駛，3小時(shí)后，客車到達(dá)甲城，貨車離乙城還有 30千米.已知貨車白速度是客車的3/ 甲、乙兩城相距多少千米？ （ 240）背生客

16、車30 f8、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天從家到學(xué)校都是步行。有一天 由于晚出發(fā)10分鐘，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，這樣與平 時(shí)到達(dá)學(xué)校的時(shí)間一樣。那么小明每天步行上學(xué)需要時(shí)間多少分鐘？【解】后一半路程和原來的時(shí)間相等，這樣前面一半的路程中和平時(shí)的速度 比=3: 1,所以時(shí)間比=1: 3,也就是節(jié)省了 2份時(shí)間就是10分鐘，所以后一半 路程走路的時(shí)間就是10+2X3=15分鐘，全部路程原來需要30分鐘。9、甲、乙兩車同時(shí)從 A, B兩地相向而行，它們相遇時(shí)距 A, B兩地中心處8 千米，已知甲車速度是乙車的1.2倍，求A, B兩地的距離。（176）10、上午8時(shí)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分后，爸爸騎摩托車去追 他，在離家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家.到家后又立刻回頭去追 小明，再追上他的時(shí)候，離家恰好是 8千米，問這時(shí)是12時(shí)幾分？11、客車3小時(shí)所行的路程是汽車4小時(shí)所行路程的60