矩陣環(huán)的單側(cè)理想

1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)、創(chuàng)作）題目： 矩陣環(huán)的單側(cè)理想 學(xué)生姓名： 馮兆東 學(xué)號(hào)： A00914178 院（系）： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 入學(xué)時(shí)間： 二九 年 九 月導(dǎo)師姓名： 葛茂榮 職稱/學(xué)位： 副教授 導(dǎo)師所在單位： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 完成時(shí)間： 二一三 年 六 月矩陣環(huán)的單側(cè)理想摘要本文將證明: 若 是一個(gè)單環(huán), 則是單環(huán) ; 若 是一個(gè)有單位元的環(huán)，則 一定是單環(huán),并給出了主理想環(huán)上的矩陣環(huán)的全部理想的形式以及上三角形矩陣環(huán)一類理想的構(gòu)造方法.討論了實(shí)數(shù)域上矩陣環(huán)中的單側(cè)理想、偽理想、雙邊理想, 給出了它們的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。關(guān)鍵詞：矩陣環(huán)；單環(huán)；理想；偽理想; 雙邊理想The on

2、eside ideal of matrix ringAbstract The paper proved that R is single ring if is single ring, is single ring if R is single ring ,gave all ideal form of matrix ring with chief ideal I and an structural method of all ideal of upper triangular matrix. In this paper, oneside ideal, Pseudo ideals and ide

3、als in matrice ring on real number field are discussed, the structure and characters is given.Key words: matrix ring; single ring;ideal; Pseudo ideal; ideal目 錄第一章 前言11.1 矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展史11.2 引言11.3 矩陣環(huán)的定義2第二章 矩陣環(huán)22.1 單環(huán)22.2 單環(huán)與有單位元的環(huán)的關(guān)系4第三章 矩陣環(huán)的理想形式43.1 主理想環(huán)上的矩陣環(huán)的理想43.2 n 階上三角矩陣環(huán)的一類理想的構(gòu)造方法4第四章 矩陣環(huán)中的單側(cè)理想64.1

4、 單側(cè)理想及偽理想64.2 雙邊理想8主要參考文獻(xiàn)10致 謝11第一章 前言1.1 矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展史根據(jù)世界數(shù)學(xué)發(fā)展史記載，矩陣概念產(chǎn)生于19世紀(jì)50年代，是為了解線性方程組的需要而產(chǎn)生的。然而，在公元前我國就已經(jīng)有了矩陣的萌芽。在我國的九章算術(shù)一書中已經(jīng)有所描述，只是沒有將它作為一個(gè)獨(dú)立的概念加以研究，而僅用它解決實(shí)際問題，所以沒能形成獨(dú)立的矩陣?yán)碚摗?850年，英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特 (SylveSter，1814-1897)在研究方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不相同的線性方程組時(shí)，由于無法使用行列式，所以引入了矩陣的概念。1855年，英國數(shù)學(xué)家凱萊 (Caylag，1821-1895)在研究線性

5、變換下的不變量時(shí)，為了簡潔、方便，引入了矩陣的概念。1858年，凱萊在矩陣論的研究報(bào)告中，定義了兩個(gè)矩陣相等、相加以及數(shù)與矩陣的數(shù)乘等運(yùn)算和算律，同時(shí)，定義了零矩陣、單位陣等特殊矩陣，更重要的是在該文中他給出了矩陣相乘、矩陣可逆等概念，以及利用伴隨陣求逆陣的方法，證明了有關(guān)的算律，如矩陣乘法有結(jié)合律，沒有交換律，兩個(gè)非零陣乘積可以為零矩陣等結(jié)論，定義了轉(zhuǎn)置陣、對稱陣、反對稱陣等概念。1878年，德國數(shù)學(xué)家弗羅伯紐斯 (Frobeniws，1849一1917)在他的論文中引入了矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子等概念，證明了兩個(gè)矩陣等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的不變因子和初等因子，同時(shí)給出了正交矩陣

6、的定義,1879年，他又在自己的論文中引進(jìn)矩陣秩的概念.矩陣的理論發(fā)展非常迅速，到19世紀(jì)末，矩陣?yán)碚擉w系已基本形成。到20世紀(jì)，矩陣?yán)碚摰玫搅诉M(jìn)一步的發(fā)展。目前，它己經(jīng)發(fā)展成為在物理、控制論、機(jī)器人學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。1.2 引言我們知道，域上的線性空間是定義了加法與乘法運(yùn)算的一種代數(shù)系統(tǒng)。除以上兩種運(yùn)算外，如果還定義了一個(gè)乘法運(yùn)算，并且滿足分配律與結(jié)合律，稱這樣的代數(shù)系統(tǒng)是一個(gè)結(jié)合代數(shù)，簡稱是一個(gè)代數(shù)。實(shí)數(shù)域上的全陣環(huán) 中的理想只有平凡理想. 本文來討論其中的廣義理想. 本文中的一切記號(hào)見2,特別是文中反復(fù)使用的表示第行第 列的元素為 1, 其余元素為 0 的階方

7、陣, 左理想和右理想的概念見1 . 理想的定義定義1.2.12：非空子集稱為代數(shù)的一個(gè)理想，如果對加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉；對，一切形如及的元素的有限和都屬于。注：如果把改為一切形如的元素的有限和都屬于，稱為代數(shù)的一個(gè)左理想，類似定義的右理想，把左理想（或右理想）稱為單側(cè)理想。設(shè)是數(shù)域，是上矩陣的全體，上定義了三種運(yùn)算：矩陣加法，數(shù)乘矩陣，矩陣乘法，因此， 不僅是一個(gè)維的線性空間，還是上的一個(gè)有限（維）結(jié)合代數(shù)。本文的目的是刻畫出的所有單側(cè)理想。定義1.2.2:環(huán)的理想叫做一個(gè)極大理想，如果并且對于的每一個(gè)理想，或。1.3 矩陣環(huán)的定義定義1.3.12：設(shè)是環(huán)，上一切階方陣關(guān)于矩陣的加法和乘法形成一

8、個(gè)環(huán)，叫做上的矩陣環(huán)，記為。環(huán)自身和 （記作）顯然為的理想。除和以外的其他理想叫做的真理想。一個(gè)環(huán)可能沒有真理想，這樣的環(huán)叫單環(huán)。定義1.3.21: 設(shè)是環(huán) ，是的非空子集 。中包含的一切理想的交集仍是的一個(gè)理想 ，叫做由生成的理想 ，記為()。由一個(gè)元素生成的理想()叫做主理想 。如果一個(gè)環(huán)的每一個(gè)理想都是主理想 ，則稱這個(gè)環(huán)為主理想環(huán)。第二章 矩陣環(huán)2.1 單環(huán)對單環(huán)的研究我們先提出下列問題：問題1：如果是單環(huán),那么是單環(huán)嗎？解答：設(shè)是單環(huán), 假設(shè)有真理想,(), (), () - (),() , 令()()( ),因?yàn)?, 所以 () ( ) .同理可證 ()().所以是的一個(gè)理想.又是

9、 的真理想, 所以存在, 但,所以 階方陣 .所以 是的真理想, 這與是單環(huán)矛盾, 故 是單環(huán).因此得到 定理2.1.14 若是單環(huán),則是單環(huán)。問題2：如果 是一個(gè)有單位元的單環(huán), 那么 一定是單環(huán)嗎？解答：設(shè) 是一個(gè)單環(huán)且有單位元, 假設(shè) 有真理想. 令,符號(hào) 表示第 行第 列位置的元素為 1, 其余位置的元素均為 0的方陣.則() ,() ,所以 - (-),所以 - ., 因?yàn)? 其中, ,所以. 同理可證.所以 是的一個(gè)理想.由的構(gòu)造方法及定理2.1.1的證明可知。再證 是的一個(gè)真理想. 若 不是的一個(gè)真理想, 則,，使,則 () =, 于是 . 從而 , 與 是 的真理想矛盾.所以是

10、的一個(gè)真理想, 這又與是一個(gè)單環(huán)矛盾. 故是 一個(gè)單環(huán).用符號(hào)表示環(huán)的全部理想作成的集合, 符號(hào)表示 的全部理想作成的集合.因此得到 定理2.1.23 若是一個(gè)有單位元的單環(huán), 則 一定是單環(huán)。推論 若環(huán)有單位元, 是的理想, 則 :A是到的一一映射.證明: 由定理 2.1.1 的證明, 易證是單、滿射.2.2 單環(huán)與有單位元的環(huán)的關(guān)系問題：若是一個(gè)有單位元的環(huán), 且中存在非零不可逆元,那么是不是單環(huán)?解答：因?yàn)? 又是一個(gè)有單位元的交換環(huán),易證是的一個(gè)真理想.所以不是單環(huán).因此得到 定理2.25 若是一個(gè)有單位元的單環(huán), 且中存在非零不可逆元, 則不是單環(huán).推論 設(shè)是一個(gè)有單位元的單環(huán), 且

11、中存在非零不可逆元, 則不是單環(huán).證明：由定理 2.2, 不是單環(huán). 再由定理2.1.1，不是單環(huán)。結(jié)論：當(dāng)是一個(gè)有單位元的非交換環(huán)時(shí), 定理2.2不成立。例如: 域上階矩陣環(huán) 是有單位元的非交換環(huán), 它是一個(gè)單環(huán).第三章 矩陣環(huán)的理想形式3.1 主理想環(huán)上的矩陣環(huán)的理想我們有如下結(jié)論7:(1) 有真理想, 且它的全部理想形如:, 其中是的主理想.(2) 是 的極大理想當(dāng)且僅當(dāng)是的素元.3.2 n 階上三角矩陣環(huán)的一類理想的構(gòu)造方法用符號(hào) 表示環(huán)上的一切階上三角矩陣對于矩陣的加法、乘法作成的環(huán). 我們要證明不是單環(huán), 并構(gòu)造它的一類理想.設(shè) , 令.定義:如果, 則稱集合具有 性質(zhì).問題1：若

12、是無零因子環(huán), 是 的一個(gè)真理想, 則是否具有 性質(zhì) ?解答:若, 不妨設(shè)<, 則, 有 ,因?yàn)槭?的一個(gè)理想, 所以 ()( ),所以 ()( ) 的第行第列元素0又 因?yàn)闊o零因子, 所以 0.由(1) 式有 0, , 所以.所以 ()() 的第行第列元素0, 所以 0,所以, 其中, 即具有性質(zhì).因此得到 定理 3.2.17若是無零因子環(huán), 是 的一個(gè)真理想, 則具有性質(zhì).問題2：設(shè) , 且含有非零元, 如果具有性質(zhì), 且, 則是否 是 的一個(gè)真理想?解答：, 有 ,.所以- , 所以 () - ()( - ), (), 令() ()(),因?yàn)? 而 具有性質(zhì),所以, ,所以 , 所

13、以. 因此().同理可證 () () .故是的 的一個(gè)理想.又因?yàn)槿? 則.所以是 的一個(gè)真理想.因此得到 定理 3.2.2 7 設(shè) , 且含有非零元, 如果具有 * 性質(zhì), 且, 則是 的一個(gè)真理想.推論 設(shè)是無零因子環(huán), 且, 則作成 的真理想的充要條件是具有性質(zhì)。定理 3.2.1, 定理 3.2.2不僅說明了 的真理想的存在性, 而且給出了它的一類真理想的構(gòu)造方法.例如：有理數(shù)域上的 2 階上三角矩陣環(huán)有如下形式的真理想, , .第四章 矩陣環(huán)中的單側(cè)理想4.1 單側(cè)理想及偽理想首先引入 定理4.1.17 設(shè)L為 的一個(gè)右理想, 則存在中的秩最大的矩陣 , 使得 .證明:設(shè)是 的一個(gè)右理

14、想, 若或 , 則 或 . 若 , 則中無可逆矩陣, 但有秩> 0 的矩陣, 且中矩陣的秩. 在中取一個(gè)秩最大的矩陣 ( 這樣的矩陣有許多, 任取其一即可) , 設(shè)秩<, 且對于任意, 有秩. 因?yàn)?的右理想, 從而, 下證 . 因?yàn)橹? 所以存在可逆矩陣、, 使得，故有 = = ,現(xiàn)證. 對于任意的 , 由于秩, 所以秩,而+=,但, ,故，從而秩.令，則可由, , , 0, , 0線性表出. 否則, 不妨設(shè) 不能由, , , 0, 0線性表出, 則，但秩>, 矛盾. 從而有 , 使得,故，進(jìn)而.綜上所述, . 即 的任意右理想都是主右理想. 證畢.同理可證 的左理想也是主

15、左理想.下面來討論實(shí)數(shù)域上的矩陣環(huán) 的另一類廣義理想的性質(zhì). 先給出概念.定義4.17 設(shè)為環(huán)的一個(gè)子環(huán), 若對于任意及任意, 都有 及, 則稱為環(huán)的一個(gè)偽理想.顯然, 環(huán)的任意理想都是偽理想, 但偽理起卻不一定是理想. 若在實(shí)數(shù)域中, 偽理想一定是理想. 因?yàn)閷τ谌我? 存在, 使得, 那么對于任意的, 都有, 從而, 故, 所以 是 的一個(gè)理想. 也就是說, 實(shí)數(shù)域中的理想和偽理想是一回事, 從而只有平凡偽理想.那么在實(shí)數(shù)域上的全陣環(huán) 中情況是怎樣的呢? 有下面的結(jié)論.定理 4.1.27實(shí)數(shù)域上的全陣環(huán) 中只有平凡的偽理想.證明:設(shè)為 的一個(gè)偽理想, 以下分三種情況來證明 .時(shí), 因, 由

16、前面的敘述結(jié)論成立. 時(shí), 因?yàn)榇嬖? 且, 不妨設(shè), 因,從而, 那么- , 即 , 由是偽理想得= =, 故, 由此又得 = = , 所以 = = . 進(jìn)而, 對于任意的 , 必有 =±,故此時(shí)仍有.當(dāng)時(shí), 因?yàn)橹写嬖? 所以中至少有一個(gè) 0. 當(dāng) 時(shí),; 當(dāng)時(shí), 取 且, 則; 同理可得, 從而, 所以 , 故. 又因?yàn)?, 且, 從而對于任意的 , 有 . 那么對于任意的 , 有 =,故. 從而可得綜上所述, 中只有平凡偽理想. 證畢.4.2 雙邊理想定義4.27 設(shè)是環(huán)的一個(gè)子環(huán), 若, 且, 都有, 則稱是環(huán)的一個(gè)雙邊理想.由定義易得, 除環(huán)中的雙邊理想都是平凡的. 當(dāng)然

17、實(shí)數(shù)域中的雙邊理想也都是平凡的. 那么, 實(shí)數(shù)域上的全陣環(huán) 中雙邊理想的情況如何呢? 首先有下面的結(jié)論.定理4.27 中形如的集合都構(gòu)成 的雙邊理想.證明:設(shè),將中任一矩陣分塊為, 則對于中任意矩陣及, 中任一矩陣, 都有=,從而是 的雙邊理想. 證畢.同理可證: 形如及的集合也構(gòu)成 的雙邊理想.主要參考文獻(xiàn)1 熊全淹. 近世代數(shù). 武漢:武漢大學(xué)出版社, 1995. 961282 Sen M K. On Pseudo Ideals of Rings. Nonta Math,1976,5(2):1581603 劉紹學(xué).環(huán)與代數(shù) M 1 北京: 科學(xué)出版社, 1983，3:1-74 劉太琳. 中的子代數(shù)J.山東科學(xué)，2003,16（3）：9-115 姚志平.矩陣代數(shù)的無贅冪零生成元素J.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1995,23（3）：26-286 李立彬，魏俊潮.矩陣代數(shù)的stochast