直線與圓的位置關(guān)系一對(duì)一講義

1、 直線與圓的位置關(guān)系 中考要求： 內(nèi)容基本要求略高要求較高要求點(diǎn)與圓的位置關(guān)系了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系了解直線與圓的位置關(guān)系；了解切線的概念，理解切線與過切點(diǎn)的半徑之間關(guān)系；會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線 能判定一條直線是否為圓的切線；能利用直線和圓的位置關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題能解決與切線有關(guān)的問題切線長(zhǎng)了解切線長(zhǎng)的概念會(huì)根據(jù)切線長(zhǎng)知識(shí)解決簡(jiǎn)單問題一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外三種，這三種關(guān)系由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系決定設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則有：點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi). 如下表所示：

2、位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部點(diǎn)在的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上點(diǎn)在的外部.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部點(diǎn)在的外部.確定圓的條件1. 圓的確定確定一個(gè)圓有兩個(gè)基本條件：圓心(定點(diǎn))，確定圓的位置；半徑(定長(zhǎng))，確定圓的大小只有當(dāng)圓心和半徑都確定時(shí)，圓才能確定2. 過已知點(diǎn)作圓經(jīng)過點(diǎn)的圓：以點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，即可作出過點(diǎn)的圓，這樣的圓有無數(shù)個(gè)經(jīng)過兩點(diǎn)的圓：以線段中垂線上任意一點(diǎn)作為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，即可作出過點(diǎn)的圓，這樣的圓也有無數(shù)個(gè)過三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)共線時(shí)，過三點(diǎn)的圓不存在；若三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段與的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個(gè)過個(gè)點(diǎn)

3、的圓：只可以作個(gè)或個(gè)，當(dāng)只可作一個(gè)時(shí)，其圓心是其中不共線三點(diǎn)確定的圓的圓心3. 定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓注意：”不在同一直線上”這個(gè)條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓； ”確定”一詞的含義是”有且只有”，即”唯一存在”4. 三角形的外接圓經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無

4、數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處(即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半)；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.二、直線與圓的位置關(guān)系一、直線和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定 設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點(diǎn)直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)直線與相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線直線與相交 從另一個(gè)角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示：直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系公共

5、點(diǎn)名稱交點(diǎn)切點(diǎn)無直線名稱割線切線無二、切線的性質(zhì)及判定 1 切線的性質(zhì)： 定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 2 切線的判定： 定義法：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線； 距離法：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線； 定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 3 切線長(zhǎng)和切線長(zhǎng)定理： 切線長(zhǎng)：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng) 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角切線的判定定理設(shè)OA為O的半徑，

6、過半徑外端A作OA，則O到的距離d=r，與O相切因此，我們得到：切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線注：定理的題設(shè)“經(jīng)過半徑外端”，“垂直于半徑”，兩個(gè)條件缺一不可結(jié)論是“直線是圓的切線”舉例說明：只滿足題設(shè)的一個(gè)條件不是O的切線 證明一直線是圓的切線有兩個(gè)思路：（1）連接半徑，證直線與此半徑垂直；（2）作垂線，證垂足在圓上切線的性質(zhì)定理及其推論切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑我們分析：這個(gè)定理共有三個(gè)條件：一條直線滿足：（1）垂直于切線（2）過切點(diǎn) （3）過圓心定理：過圓心，過切點(diǎn) 垂直于切線 過圓心，過切點(diǎn)，則經(jīng)過圓心，垂直于切線過切點(diǎn) 經(jīng)過切點(diǎn)，垂直

7、于切線過圓心三、三角形內(nèi)切圓1 定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形2 多邊形內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形3直角三角形的內(nèi)切圓半徑與三邊關(guān)系 （1） （2）圖（1）中，設(shè)分別為中的對(duì)邊，面積為則內(nèi)切圓半徑（1），其中；圖（2）中，則重點(diǎn)：切線的判定定理；切線的性質(zhì)定理及其運(yùn)用它們解決一些具體的題目難點(diǎn)與關(guān)鍵：由點(diǎn)和圓的位置關(guān)系遷移到運(yùn)動(dòng)直線，導(dǎo)出直線和圓的位置關(guān)系的三個(gè)對(duì)應(yīng)等價(jià)易錯(cuò)點(diǎn)：圓與圓位置關(guān)系中相交時(shí)圓心距在兩圓半徑和與差之間一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例1】 已知圓內(nèi)一點(diǎn)

8、到圓周上的點(diǎn)的最大距離是7，最小距離是5，則該圓的半徑是( )A2B6C12D7【鞏固】 一個(gè)已知點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最大距離為，最小距離為，則此圓的半徑為_【例2】 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作O，已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，4），B（3，3），C（4，）。試判斷A、B、C三點(diǎn)與O的位置關(guān)系。二、直線與圓的位置關(guān)系1.切線的證明【例3】 如圖，中，是的中點(diǎn)，以為圓心的圓與相切于點(diǎn)。求證：是的切線。 【例4】 如圖，已知是的直徑，為的切線，切點(diǎn)為，平行于弦， 。（1）求證：是的切線；（2）求的值；（3）若，求CD的長(zhǎng)。 【鞏固】 如圖，已知是的直徑，是和相切于點(diǎn)的切線，

9、過上點(diǎn)的直線，若且，則 。 【鞏固】 如圖，AB是半圓（圓心為O）的直徑，OD是半徑，BM切半圓于B，OC與弦AD平行且交BM于C。（1）求證：CD是半圓的切線；（2）若AB長(zhǎng)為4，點(diǎn)D在半圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AD長(zhǎng)為，點(diǎn)A到直線CD的距離為，試求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍?！纠?】 如圖，為的直徑，是外一點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)。（1）求證：是的切線；（2）。例6.如圖，割線與相交于、兩點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，交于，交于，。（1）求證：是的切線；（2）如果，求的半徑。 2.切線長(zhǎng)定理及切線性質(zhì)的應(yīng)用【例6】 在中，點(diǎn)在上，以為圓心的分別與、相切于、，若， ，

10、則的半徑為（ ）A、 B、 C、 D、【例7】 如圖，與以為直徑的相切于點(diǎn)，則四邊形的面積為 。【例8】 如圖，過外一點(diǎn)作的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，連結(jié)，在、上分別取一點(diǎn)、，使，連結(jié)、，則（ ）A、 B、 C、 D、 【例9】 如圖，已知中， （定值），的圓心在上，并分別與、相切于點(diǎn)、。（1）求；（2）設(shè)是延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，試判斷的大小是否保持不變，并說明理由?！纠?0】 如圖，為的內(nèi)切圓，點(diǎn)、為切點(diǎn)，若，則的面積為 ?！纠?1】 正方形中，切以為直徑的半圓于，交于，則（ ）A、12 B、13 C、14 D、25【鞏固】 如圖，以正方形的邊為直徑，在正方形內(nèi)部作

11、半圓，圓心為，切半圓于，交于，交的延長(zhǎng)線于，。（1）求的余弦值；（2）求的長(zhǎng)。【例12】 如圖，是半的直徑，點(diǎn)是半徑的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在半上運(yùn)動(dòng)，且總保持，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)你對(duì)的形狀做出猜想，并給予證明；（2）當(dāng)時(shí)，的形狀是 三角形；（3）則（1）（2）得出的結(jié)論，請(qǐng)進(jìn)一步猜想，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)到任何位置時(shí)， 一定是 三角形?！眷柟獭?如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在O的半徑AO上運(yùn)動(dòng)，PCAB交O于E，PT切O于T，PC=2.5。（1）當(dāng)CE正好是O的半徑時(shí)，PT=2，求O的半徑；（2）設(shè)，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）PTC能不能變?yōu)橐訮C為斜邊

12、的等腰直角三角形？若能，請(qǐng)求出PTC的面積；若不能，請(qǐng)說明理由。1 “圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑”的逆命題是（ ）A、經(jīng)過半徑外端點(diǎn)的直線是圓的切線；B、垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑的直線是圓的切線；C、垂直于半徑的直線是圓的切線；D、經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。2 兩個(gè)圓的圓心都是O，半徑分別為、，且OA，那么點(diǎn)A在（ ）A、內(nèi) B、外 C、外，內(nèi) D、內(nèi)，外3 一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為4cm，最大距離為9cm，則該圓的半徑是（ ） A、2.5 cm或6.5 cm B、2.5 cm C、6.5 cm D、5 cm或13cm4 三角形的外心恰在它的一條邊上，那么這個(gè)三角形是（ ）A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定5 已知、是的切線，、是切點(diǎn)，點(diǎn)是上異于、的任一點(diǎn)，則 6 如圖，已知的直徑為，7 請(qǐng)根據(jù)已知條件和所給圖形寫出4個(gè)正確的結(jié)論8 （除外）： ； ；9 ； 。10 若圓外切等腰梯形的面積為20，與之和為10，則圓的半徑為 。11如圖，AB是O直徑，EF切O于C，ADEF于D，求證：AC2=AD·AB。12如圖，AB是O的弦，AB=12，PA切O于A，POAB于C，PO=13，求PA的長(zhǎng)。 解題指導(dǎo)：1 如圖ABC中A90°，以AB為直徑