高等數(shù)學(xué)上復(fù)旦后習(xí)題答案

1、高等數(shù)學(xué)上（修訂版）（復(fù)旦出版社）習(xí)題六 無窮數(shù)級 答案詳解1寫出下列級數(shù)的一般項(xiàng)：(1)；(2)；(3)；解：(1)；(2)；(3)；2求下列級數(shù)的和：(1)；(2) ；(3)；解：(1)從而因此，故級數(shù)的和為(2)因?yàn)閺亩?，即級?shù)的和為(3)因?yàn)閺亩?，即級?shù)的和為3判定下列級數(shù)的斂散性：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；解：(1) 從而，故級數(shù)發(fā)散(2) 從而，故原級數(shù)收斂，其和為(3)此級數(shù)為的等比級數(shù)，且|q|<1，故級數(shù)收斂(4)，而，故級數(shù)發(fā)散4利用柯西審斂原理判別下列級數(shù)的斂散性：(1) ；(2) ；(3) 解：(1)當(dāng)P為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)P為奇數(shù)時(shí)，因而，對于任何自然數(shù)

2、P，都有，>0，取，則當(dāng)n>N時(shí)，對任何自然數(shù)P恒有成立，由柯西審斂原理知，級數(shù)收斂(2)對于任意自然數(shù)P，都有于是， >0(0<<1)，N=，當(dāng)n>N時(shí)，對任意的自然數(shù)P都有成立，由柯西審斂原理知，該級數(shù)收斂(3)取P=n，則從而取，則對任意的nN，都存在P=n所得，由柯西審斂原理知，原級數(shù)發(fā)散5用比較審斂法判別下列級數(shù)的斂散性(1)；(2)(3)；(4) ；(5)；(6) 解：(1) 而收斂，由比較審斂法知收斂(2)而發(fā)散，由比較審斂法知，原級數(shù)發(fā)散(3)而收斂，故也收斂(4)而收斂，故收斂(5)當(dāng)a>1時(shí)，而收斂，故也收斂當(dāng)a=1時(shí)，級數(shù)發(fā)散當(dāng)0

3、<a<1時(shí)，級數(shù)發(fā)散綜上所述，當(dāng)a>1時(shí)，原級數(shù)收斂，當(dāng)0<a1時(shí)，原級數(shù)發(fā)散(6)由知而發(fā)散，由比較審斂法知發(fā)散6用比值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：(1) ；(2)；(3)；(1) 解：(1) ，由比值審斂法知，級數(shù)收斂(2) 所以原級數(shù)發(fā)散(3) 所以原級數(shù)發(fā)散(4) 故原級數(shù)收斂7用根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ，其中ana（n），an，b，a均為正數(shù)解：(1)，故原級數(shù)發(fā)散(2) ，故原級數(shù)收斂(3)，故原級數(shù)收斂(4) ，當(dāng)b<a時(shí)，<1，原級數(shù)收斂；當(dāng)b>a時(shí)，>1，原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)b=a時(shí)，=1

4、，無法判定其斂散性8判定下列級數(shù)是否收斂？若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？(1)；(2)；(3) ；(4)；(5)；(6) 解：(1)，級數(shù)是交錯(cuò)級數(shù)，且滿足，由萊布尼茨判別法級數(shù)收斂，又是P<1的P級數(shù)，所以發(fā)散，故原級數(shù)條件收斂(2)，為交錯(cuò)級數(shù)，且，由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂，但由于所以，發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂(3)民，顯然，而是收斂的等比級數(shù)，故收斂，所以原級數(shù)絕對收斂(4)因?yàn)楣士傻?，得，原級?shù)發(fā)散(5)當(dāng)>1時(shí)，由級數(shù)收斂得原級數(shù)絕對收斂當(dāng)0<1時(shí)，交錯(cuò)級數(shù)滿足條件：；，由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂，但這時(shí)發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂當(dāng)0時(shí)，所以原級數(shù)發(fā)散(6)由于

5、而發(fā)散，由此較審斂法知級數(shù)發(fā)散記，則即又由知，由萊布尼茨判別法，原級數(shù)收斂，而且是條件收斂9判別下列函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在所示區(qū)間上的一致收斂性(1) ，x-3,3；(2) ，x0,1；(3) ，x(-,+)；(4) ，|x|<5；(5) ，x(-,+)解：(1)，x-3,3，而由比值審斂法可知收斂，所以原級數(shù)在 -3,3上一致收斂(2)，x0,1，而收斂，所以原級數(shù)在0,1上一致收斂(3)，x(-,+)，而是收斂的等比級數(shù)，所以原級數(shù)在(-,+)上一致收斂(4)因?yàn)?，x(-5,5)，由比值審斂法可知收斂，故原級數(shù)在(-5,5)上一致收斂(5)，x(-,+)，而是收斂的P-級數(shù)，所以原級數(shù)在(-,

6、+)上一致收斂10若在區(qū)間上，對任何自然數(shù)n都有|Un(x)|Vn(x)，則當(dāng)在上一致收斂時(shí)，級數(shù)在這區(qū)間上也一致收斂證：由在上一致收斂知， >0，N()>0，使得當(dāng)n>N時(shí)，x有|Vn+1(x)+Vn+2(x)+Vn+p(x)|<，于是，>0，N()>0，使得當(dāng)n>N時(shí)，x有|Un+1(x)+Un+2(x)+Un+p(x)|Vn+1(x)+Vn+2(x)+Vn+p(x) |Vn+1(x)+Vn+2(x)+Vn+p(x)|<，因此，級數(shù)在區(qū)間上處處收斂，由x的任意性和與x的無關(guān)性，可知在上一致收斂11求下列冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域：(1)x+2x

7、2+3x3+nxn+；(2)；(3)；(4)；解：(1)因?yàn)?，所以收斂半徑收斂區(qū)間為(-1,1)，而當(dāng)x=±1時(shí)，級數(shù)變?yōu)?，由知級?shù)發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1)(2)因?yàn)樗允諗堪霃?，收斂區(qū)間為(-e,e)當(dāng)x=e時(shí)，級數(shù)變?yōu)?；?yīng)用洛必達(dá)法則求得，故有由拉阿伯判別法知，級數(shù)發(fā)散；易知x=-e時(shí)，級數(shù)也發(fā)散，故收斂域?yàn)?-e,e)(3)級數(shù)缺少偶次冪項(xiàng)根據(jù)比值審斂法求收斂半徑所以當(dāng)x2<1即|x|<1時(shí)，級數(shù)收斂，x2>1即|x|>1時(shí)，級數(shù)發(fā)散，故收斂半徑R=1當(dāng)x=1時(shí)，級數(shù)變?yōu)?，?dāng)x=-1時(shí)，級數(shù)變?yōu)?，由知，發(fā)散，從而也發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域?yàn)?-

8、1,1)(4)令t=x-1，則級數(shù)變?yōu)?，因?yàn)樗允諗堪霃綖镽=1收斂區(qū)間為 -1<x-1<1 即0<x<2.當(dāng)t=1時(shí)，級數(shù)收斂，當(dāng)t=-1時(shí)，級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)，由萊布尼茨判別法知其收斂所以，原級數(shù)收斂域?yàn)?0x2，即0,212利用冪級數(shù)的性質(zhì)，求下列級數(shù)的和函數(shù)：(1)；(2) ；解：(1)由知，當(dāng)|x|=<1時(shí)，原級數(shù)收斂，而當(dāng)|x|=1時(shí)，的通項(xiàng)不趨于0，從而發(fā)散，故級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1)記 易知的收斂域?yàn)?-1,1)，記則于是，所以(2)由知，原級數(shù)當(dāng)|x|<1時(shí)收斂，而當(dāng)|x|=1時(shí)，原級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1)，記，易知級數(shù)收斂域

9、為(-1,1)，記，則，故 即，所以13將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間：(1)f(x)=ln(2+x)；(2)f(x)=cos2x；(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)；(4)；(5)；(6)；(7)f(x)=excosx； (8)解：(1)由于，(-1<x1)故，(-2x2)因此，(-2x2)(2)由，(-<x<+)得所以，(-<x<+)(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)由，(-1x1)所以 (-1x1)(4)由于(-1x1)故(-1x1)(5)(6)由，x(-,+)得，x(-,+)所以(7)因?yàn)闉榈膶?shí)部，而取上式的實(shí)部得(-<

10、x<+)(8)由于|x|<1而，所以(|x|<2)14將展開成(x+4)的冪級數(shù)解：而又所以15將函數(shù)展開成(x-1)的冪級數(shù)解：因?yàn)樗?-1<x-1<1)即16利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，求下列各數(shù)的近似值：(1)ln3（誤差不超過0.0001）；(2)cos20（誤差不超過0.0001）解：(1)，x(-1,1)令，可得，故又故因而取n=6則(2)；故17利用被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式，求定積分（誤差不超過0.001）的近似值解：由于，（-1x1）故而，因此18判別下列級數(shù)的斂散性：(1)；(2)；(3) 解：(1)而故級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法知原級數(shù)發(fā)散(2)由比值

11、審斂法知級數(shù)收斂，由比較審斂法知，原級數(shù)收斂(3)由知級數(shù)收斂，由比較審斂法知，原級數(shù)收斂19若存在，證明：級數(shù)收斂證：存在，M>0，使|n2Un|M，即n2|Un|M，|Un|而收斂，故絕對收斂20證明，若收斂，則絕對收斂證：而由收斂，收斂，知收斂，故收斂，因而絕對收斂21若級數(shù)與都絕對收斂，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在R上一致收斂證：Un(x)=ancosnx+bnsinnx，xR有由于與都絕對收斂，故級數(shù)收斂由魏爾斯特拉斯判別法知，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在R上一致收斂22計(jì)算下列級數(shù)的收斂半徑及收斂域：(1) ；(2) ；(3) 解：(1)，又當(dāng)時(shí)，級數(shù)變?yōu)?，因?yàn)樗援?dāng)，級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)的收斂半徑，收斂域

12、(-,)(2) 故，又所以當(dāng)(x+1)=±2時(shí)，級數(shù)發(fā)散，從而原級數(shù)的收斂域?yàn)?2<x+1<2，即-3<x<1，即(-3,1)(3) ，收斂區(qū)間-2<x-1<2，即-1<x<3當(dāng)x=-1時(shí)，級數(shù)變?yōu)?，其絕對收斂，當(dāng)x=3時(shí)，級數(shù)變?yōu)?，收斂因此原級?shù)的收斂域?yàn)?1,323將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)解：由于所以（|x|1）24判別下列級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性：(1)，x-3,+)；(2)，x(2,+)；(3) ，x(-,+)；解：(1)考慮n2時(shí)，當(dāng)x-3時(shí)，有而收斂，由魏爾斯特拉斯判別法知，級數(shù)在-3,+)上一致收斂(2)當(dāng)x>2時(shí)

13、，有由知級數(shù)收斂，由魏爾斯特拉斯判別法知，級數(shù)在(2,+)上一致收斂(3)xR有而收斂，由魏爾斯特拉斯判別法知，級數(shù)在(-,+)上一致收斂25求下列級數(shù)的和函數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1)可求得原級數(shù)的收斂半徑R=1，且當(dāng)|x|=1時(shí)，級數(shù)是收斂的交錯(cuò)級數(shù)，故收斂域?yàn)?1,1記則S1(0)=0,所以即S1(x)=arctanx，所以S(x)=xarctanx，x-1,1(2)可求得原級數(shù)的收斂半徑R=1，且當(dāng)|x|=1時(shí)，原級數(shù)發(fā)散記則，即，S(0)=0所以，(|x|<1)(3)由知收斂域?yàn)?-,+)記則，所以，(-<x<+)(4)由知收斂半徑R=1，當(dāng)x=1時(shí)

14、，級數(shù)變?yōu)椋芍墧?shù)收斂，當(dāng)x=-1時(shí)，級數(shù)變?yōu)槭鞘諗康慕诲e(cuò)級數(shù)，故收斂域?yàn)?1,1記則S(0)=0， （x1）所以即即當(dāng)x0時(shí)，又當(dāng)x=1時(shí)，可求得S(1)=1（）綜上所述26設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，它在(-,上的表達(dá)式為試問f(x)的傅里葉級數(shù)在x=-處收斂于何值？解：所給函數(shù)滿足狄利克雷定理的條件，x=-是它的間斷點(diǎn)，在x=-處，f(x)的傅里葉級數(shù)收斂于27寫出函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)解：f(x)滿足狄利克雷定理的條件，根據(jù)狄利克雷定理，在連續(xù)點(diǎn)處級數(shù)收斂于f(x)，在間斷點(diǎn)x=0，x=±處，分別收斂于，綜上所述和函數(shù)28寫出下列以2為周期的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)，其中

15、f(x)在-,)上的表達(dá)式為：(1)(2)；(3)(4).解：(1)函數(shù)f(x)滿足狄利克雷定理的條件，x=n，nz是其間斷點(diǎn)，在間斷占處f(x)的傅里葉級數(shù)收斂于，在xn，有于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為(xn)(2)函數(shù)f(x)在(-,+)上連續(xù)，故其傅里葉級數(shù)在(-,+)上收斂于f(x)，注意到f(x)為偶函數(shù)，從而f(x)cosnx為偶函數(shù)，f(x)sinnx為奇函數(shù)，于是，(n=1,2,)所以，f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為： (-<x<)(3)函數(shù)在x=(2n+1)(nz)處間斷，在間斷點(diǎn)處，級數(shù)收斂于0，當(dāng)x(2n+1)時(shí)，由f(x)為奇函數(shù)，有an=0,（n=0,1

16、,2,）所以(x(2n+1),nz)(4)因?yàn)樽鳛橐?為周期的函數(shù)時(shí)，處處連續(xù)，故其傅里葉級數(shù)收斂于f(x)，注意到f(x)為偶函數(shù)，有bn=0(n=1,2,)，所以f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為：x-,29.將下列函數(shù)f(x)展開為傅里葉級數(shù)：(1)(2)解：(1) 故(-<x<)(2)所給函數(shù)拓廣為周期函數(shù)時(shí)處處連續(xù)， 因此其傅里葉級數(shù)在0,2上收斂于f(x)，注意到f(x)為偶函數(shù)，有bn=0,所以 (0x2)30.設(shè)f(x)=x+1(0x)，試分別將f(x)展開為正弦級數(shù)和余弦級數(shù).解：將f(x)作奇延拓，則有an=0 (n=0,1,2,)從而 (0<x<)若將f

17、(x)作偶延拓，則有bn=0 (n=1,2,)從而 (0x)31.將f(x)=2+|x| (-1x1)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù)，并由此求級數(shù)的和.解：f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù)，其傅里葉級數(shù)處處收斂，由f(x)是偶函數(shù)，故bn=0,(n=1,2,)所以，x-1,1取x=0得，故所以32.將函數(shù)f(x)=x-1(0x2)展開成周期為4的余弦級數(shù).解：將f(x)作偶延拓，作周期延拓后函數(shù)在(-,+)上連續(xù),則有bn=0 (n=1,2,3,)故 (0x2)33.設(shè)，-<x<+，其中，求.解：先對f(x)作偶延拓到-1,1，再以2為周期延拓到(-,+)將f(x)展開成余弦級數(shù)而得到 s

18、(x)，延拓后f(x)在處間斷，所以34.設(shè)函數(shù)f(x)=x2(0x<1)，而，-<x<+，其中 (n=1,2,3,)，求.解：先對f(x)作奇延拓到,-1,1，再以2為周期延拓到(-,+)，并將f(x)展開成正弦級數(shù)得到s(x)，延拓后f(x)在處連續(xù)，故.35.將下列各周期函數(shù)展開成為傅里葉級數(shù)，它們在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式分別為：(1)f(x)=1-x2 ；(2)解：（1） f(x)在(-,+)上連續(xù)，故其傅里葉級數(shù)在每一點(diǎn)都收斂于f(x)，由于f(x)為偶函數(shù)，有bn=0 (n=1,2,3,)，所以 (-<x<+)(2) ，而函數(shù)f(x)在x=3(2k+1)，k=0,±1,±2,處間斷，故 (x3(2k+1)，k=0,±1,±2,)36.把寬為，高為h ，周