2021屆課標(biāo)版高考文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：三角函數(shù)、解三角形第3節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、第三節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)最新考綱1.能畫出y=sin x, y = cos x, y= tan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2兀上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與 x 兀 兀 軸的交點(diǎn)等），理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖兀正弦函數(shù) y = sin x, x C 0,2兀圖像的五個關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）, 萬，1 ,（兀，0）,3 兀，一2, - 1 , （2 兀，0）.八一、一，一 ,，、I , 一兀余弦函數(shù)y= cos x, xC0,2兀圖像的五個關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1） , , 0 ,（兀，1）,3兀-,0 ,

2、 （2 兀，1）.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy= cos xy= tan x圖像)1h定義域RR.兀，一xxwk 兀+ 萬，kCZ值域1,11,1R單調(diào)性遞增區(qū)間：兀.兀2k 兀一 =,2k % + =2-2 ke Z,遞減區(qū)間：.兀3tt2k 兀 + 2 , 2k 兀 + 2 ,kC Z遞增區(qū)間：2 k兀兀,2k%,kCZ,遞減區(qū)間：2k%, 2k 兀 +兀,kCZ遞增區(qū)間,兀，兀，Lrk 兀2, k n + - , k C Z奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心（k兀，0）, k e Z對稱中心.兀一."十 =2也£ Z k 兀

3、_. _ _ 對稱中心,ke Z對稱軸x=k兀+5(ke Z)對稱軸 x =kjt (ke Z)周期性2兀2兀兀常用結(jié)論1.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰，M I、. ，I I 1 . 的對稱中心與對稱軸之間的距離是7個周期.42 .正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期.3 .對于函數(shù)y = Asin（ cox+（H,其對稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn).一、思考辨析（正確的打“，”，錯誤的打“X”）函數(shù)y= sin x的圖像關(guān)于點(diǎn)（k- 0）（kCZ）中心對稱.（）（2）正切函數(shù)y= tan x在定義域內(nèi)是增函

4、數(shù).（）已知y= ksin x+1, xCR,則y的最大值為k+1.（）(4)y=sin | x| 與 y=|sin x| 都是周期函數(shù).()答案(1) V (2) X (3) X (4) X二、教材改編1 .函數(shù)y= tan 2 x的定義域是()一.兀,一A. x xw kn T4-, kC Zk兀兀B. x xw-2-+ , kC ZC. x xw ku 十 9,ke zD. x x2L+ -4, kezD 由 2xwkTt + 2, kCZ,彳導(dǎo) xw -2-+ , k Z, .y = tan 2 x 的定義域?yàn)?xxw§匚十4, k Z .一.一一 兀.一.一.一2 .函數(shù)f

5、 (x) = cos 2x+ 的取小正周期是 4兀t= "2"=兀.3 . y= sin 2x- - 的單調(diào)減區(qū)間是 .9+ kjt, 7-+kTt (k Z)由+2knt W2 x3w 等+ 2kTt , kCZ 得， 等 十882428kTt< x<7zL+kTt, kCZ.兀兀4-y=3sin 2x一不在區(qū)間0,萬上的值域是3.Tt .TT-2, 3當(dāng).0,萬時(shí)，2x-丁,c兀一1.sin 2x £1 ,624 c c 兀 <3 c故 3sin 2x- 63 ,62rrc 兀3 c即 y=3sin 2x"6"的值域?yàn)橐?

6、, 3 .?？键c(diǎn)1三角函數(shù)的定義域和值域1 .三角函數(shù)定義域的求法(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式數(shù)圖像來求解.2 .求三角函數(shù)最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用 sin x和cos x的值域求解.(2)化一法：把所給三角函數(shù)化為y=Asin( cox+巾)+k的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域.(3)換元法：把 sin x, cos x, sin xcos x或sin x±cos x換成t,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù) 求解.一一兀 1 .函數(shù)f(x) =- 2tan 2x+y 的定義域是()A.B.x xw兀12C. x x* k n +

7、 kCZd. x處 kJ 兀兀D 由正切函數(shù)的定義域，得2x+kTt +-2, kCZ,即 xwk2 +-6(k Z),故選 D.2. (2019 全國卷I )函數(shù)f (x) = sin 2x+ 3cos x的最小值為 4 f (x) = sin 2x+2- - 3cos x= cos 2 x 3cos x= 2cos2x3cos x+ 1,令 cos x=t ,貝U t C 1,1.一，2,3 217f(t)=- 2t -3t + 1 = -2 t +482勿知當(dāng) t = 1 時(shí)，f(t)min= 2X1 3X1 + 1 = 4.故f(x)的最小值為4.兀兀13 .已知函數(shù) f(x)=sin

8、 x + - ,其中xC a ,右f(x)的值域是 一.1 ,則 實(shí)數(shù)a的取值范圍是.兀兀兀兀兀至，兀 x e -3, a , . x + -6-£ 豆,a+6 , 兀兀 Tt . . 1丁當(dāng)x+6 e ,萬時(shí)，f(x)的值域?yàn)橐蝗f，1 ,兀兀7兀兀，由函數(shù)的圖像(圖略)知5w a+王aw兀. 26634 .函數(shù) y=sin x cos x+sin xcos x 的值域?yàn)?.12.222一勺2, 1設(shè) t = sin x cos x,貝U t =sin x+ cos x 2sin x - cos x, sin xcos 1t2x 2 ，t2 ,11 ,2-,.y= ,+ t +廠寸

9、1) +1, te一小，#.當(dāng) t = 1 時(shí)，ymax= 1 ；1當(dāng) t = 一 成時(shí)，ymin= 一 萬一 y2.函數(shù)的值域?yàn)?一；一2, 1 .求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型(1)形如y = asin x+bcos x + c的三角函數(shù)化為 y = Asin( cox+() + c的形式，再求 值域(最值).2(2)形如y= asin x+bsin x + c的二角函數(shù)，可先設(shè) sin x= t,化為關(guān)于t的一次函 數(shù)求彳1域(最彳1).(3)形如y= asin 3x+bsin 2x+csin x+d,類似于(2)進(jìn)行換元，然后用導(dǎo)數(shù)法求最值.。考點(diǎn)2三角函數(shù)的單調(diào)性(1)形如

10、y=Asin( wx+巾)的函數(shù)的單調(diào)性問題，一般是將wx+巾看成一個整體，再結(jié)合圖像利用y=sin x的單調(diào)性求解.(2)如果函數(shù)中自變量的系數(shù)為負(fù)值，要根據(jù)誘導(dǎo)公式把自變量系數(shù)化為正值，再確定 其單調(diào)性.者向1求三角函數(shù)的單調(diào)性一 _兀 (1)函數(shù)f(x) = tan 2x-的單倜遞增區(qū)間是()3ku兀k%5兀(kCZ)k兀兀k兀5兀B. 2 2 + 12 (k Z)C. k 兀 H, k 兀 H- (k C Z) 63D. k7t亞,kn + 2"(kez)1(2)(2019 大連模擬 )函數(shù) y=Sin x + gcos x xC 0, 的單倜遞增區(qū)間是_八 兀,.兀_兀.兀

11、. B (2) 0, -6(1)由 kn亍 V2x一萬 v kTt + y(kZ),彳#k-2L-11<x<k-2L+51f(kZ),兀ku % ku 5 %所以函數(shù)f(x)=tan 2x-y的單調(diào)遞增區(qū)間為,+2 (kCZ),故選B.(2) / y= 2sin x +岑cos x= sin x+-3 ,.兀兀兀由 2k 兀 < x + < 2 k 兀 + (k Z),5兀兀解得 2k 兀一-6-w x<2 k % + (k Z). 5兀 兀 .，函數(shù)的單倜遞增區(qū)間為2kTt7-, 2k % + ( k Z),66兀 兀又xC 0,5，單調(diào)遞增區(qū)間為0,.本例(2

12、)在整體求彳#函數(shù) y=1sin x+乎cos x的增區(qū)間后，采用對k賦值的方式兀求得xC 0,上的區(qū)間.者向2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(2019 西安模擬)已知3>0,兀兀函數(shù) f (x) = sin w x +在,兀上單調(diào)遞減,則3的取值范圍是()A. (0,21B. 0, 2(2)(2018 全國卷n )若 f(x)=cos x-sin x在0 , a是減函數(shù)，則 a的最大值是()b.TC 37tD.兀(1)D (2)C (1)由 2kTt + 52k兀 兀2k %5 兀門十口ke z,一、,一兀，因?yàn)?f (x) = sin w x + 在7127t上單調(diào)遞減,2k兀兀 兀H A-

13、& 方,34 32所以2k兀5兀+ A -拉兀，343解得因?yàn)閗C Z, 3 >0,所以k= 0,15 所以,W 即3的取值氾圍為1 52，-.故選D.(2)f(x)=cos xsin x=12sin兀兀 兀 一兀當(dāng) x了6 一2,萬，即 xe -3兀 , V時(shí)，兀t-兀sin x一了單調(diào)遞增，一 q2sin x7 單調(diào)遞減,-4,是f（x）在原點(diǎn)附近的單調(diào)遞減區(qū)間,結(jié)合條件得0,3兀 a< a 4 '即 amax=故選 C.已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的三種方法子集法求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式（組） 求解反子集法由所給區(qū)間求出整體角

14、的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào) 區(qū)間的子集，列不等式（組）求解周期性法* 1,一, 由所給區(qū)間的兩個端點(diǎn)到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過二周期列不等式（組）4求解兀兀兀1 .若函數(shù)f （x） =sin 3X（ 3 >0）在區(qū)間0, W 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 W，可 上單調(diào)332一 T 兀4 7t由已知得，T= 4333.兀2 .函數(shù)f(x)=sin 2x+f的單調(diào)減區(qū)間為 . 3kjt 亮，k兀+ 駕(kCZ)由已知，得函數(shù)為y=sin 2x g ,欲求函數(shù)的單12123兀調(diào)減區(qū)間，只需求y= sin 2x-v的單調(diào)增區(qū)間即可.3.兀兀兀由 2卜兀一2-w2x3w2k兀 + &

15、quot;2-, kCZ,得 k 兀一 RM x< k 兀 +12, k e 乙故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為k 兀一行,k 兀 + 72 (k e Z) 。考點(diǎn)3三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性求解三角函數(shù)y=sin( cox+ 6)(3>0)的周期性、奇偶性、對稱性問題，其實(shí)質(zhì)都 是根據(jù)y = sin x的對應(yīng)性質(zhì)，利用整體代換的思想求解.考向1三角函數(shù)的周期性兀兀 兀(1)(2019 全國卷n )下列函數(shù)中，以 下為周期且在區(qū)間 ,單調(diào)遞增的是()A.f(x)= |cos 2 x|B.f (x)= |sin 2 x|C.f(x)=cos|x|D.f (x)= sin| x|兀(2)

16、若函數(shù)f(x)=2tan kx+y 的最小正周期T滿足1<Tv 2,則自然數(shù) k的值為(1)A (2)2或3 (1)對于選項(xiàng)A,作出y=|cos 2 x|的部分圖像，如圖 1所示，則兀 兀兀f(x)在,萬 上單調(diào)遞增，且最小正周期T=萬，故A正確.兀 兀對于選項(xiàng)B,作出f(x) = |sin 2 x|的部分圖像，如圖 2所示，則f(x)在 ,"2上單兀調(diào)遞減，且最小正周期 T=萬，故B不正確.對于選項(xiàng) C, f(x) =cos| x| =cos x,，最小正周期 T= 2兀，故C不正確.對于選項(xiàng)D,作出f(x) = sin| x|的部分圖像，如圖3所示.顯然f (x)不是周期函

17、數(shù)， 故D不正確.故選A.圖3兀(2)由題意得，1<憶V 2," k< 兀 < 2k,即< k< 兀,又 kC Z, . k=2 或 3.公式莫忘絕對值，對稱抓住“心”與“軸”(1)公式法求周期 . _2 兀函數(shù)f(x)=Asin( cox+ 6 )的周期T=面一、,.，一 一,一 2 兀函數(shù) f(x) =Acos( cox+ 6)的周期 T=-一-IaI一，一一”兀函數(shù) f(x) = Atan( cox+ 6 )的周期 T=-11(2)對稱性求周期兩對稱軸距離白最小值等于T；兩對稱中心距離的最小值等于t；對稱中心到對稱軸距離的最小值等于T.4(3)特征

18、點(diǎn)法求周期兩個最大值點(diǎn)之差的最小值等于T;兩個最小值點(diǎn)之差的最小值等于T;最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)之差的最小值等于T.特征點(diǎn)法求周期實(shí)質(zhì)上就是由圖像的對稱性求周期，因?yàn)樽钪迭c(diǎn)與函數(shù)圖像的對稱軸相對應(yīng).(說明：此處的T均為最小正周期)者向2 三角函數(shù)的奇偶性一一 兀.一已知函數(shù) f(x) = 3sin 2x-+(),巾 C (0 ,兀). 3若f(x)為偶函數(shù)，則 6=;(2)若f(x)為奇函數(shù)，則 6 =.(1)5n兀(2)3 (1)因?yàn)?f(x)=3sin 2x 6 為偶函數(shù)， 633 兀兀所以一可十巾二女兀+萬，kez,又因?yàn)? e(0 ,兀)，所以|=6-.一.一一 兀 一、.一一、“，(2)

19、因?yàn)閒(x)=3sin 2x-+巾為奇函數(shù)， 3 兀所以 + 6 = k 兀，kC Z,3又 6 e (0,),兀所以 6 =.3兀右f(x) = Asin( 3X+6)(A, 3W0),則f (x)為偶函數(shù)的充要條件是()= +k% ( kC Z)；f(x)為奇函數(shù)的充要條件是 6 =kTt (kC Z).考向3三角函數(shù)的對稱性兀(1)已知函數(shù)f(x)=2sin cox+至(>0)的最小正周期為4兀，則該函數(shù)的圖像()A關(guān)于點(diǎn) 個"，0對稱B.關(guān)于點(diǎn) 53，0對稱33.兀.5 7t.C.關(guān)于直線x=y對稱D.關(guān)于直線x=3對稱一 兀 . 兀 兀.一 一.(2)已知函數(shù)y=si

20、n(2 x+()萬<(!)< 的圖像關(guān)于直線 x =-對稱，則 巾的值為.兀一，一，兀一_ _(1)B (2)- 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin 3 x+石(3 > 0)的最小正周期是 4兀，而T=*=4兀，所以3 = 1,32.一. x It即 f (x) = 2sin 2 + .x 兀 兀 .一一 .12兀 .一一令2+3二萬 + k 兀(kCZ),解得 x = + 2k % ( k Z),一一 2 兀 ._ _故f(x)的對稱軸為 x=-+ 2kTt(kZ),3x 兀兀令2+6= k 兀(ke Z),解得 x= - -+ 2kjt (k Z).故f(x)的對稱中心為 一萬+

21、2kTt, 0 (ke Z),對比選項(xiàng)可知 B正確.3兀2兀(2)由題意得 f - =sin 3 F 巾=±1,.兀，.6 = k 兀 + -t-( k e Z),兀 兀兀: 6 e 萬，y , -(1)=-.三角函數(shù)圖像的對稱軸和對稱中心的求解方法. 兀若求f(x)=Asin( cox+巾)(3 W0)圖像的對稱軸，則只需令cox+巾=萬+卜兀(kC Z), 求x；若求f (x) = Asin( cox+ 6)( 3 w0)圖像的對稱中心的橫坐標(biāo)，則只需令 cox+ 6 = k% ( k Z),求 x.兀.1 .設(shè)函數(shù)f (x) = cos x+ ,則下列結(jié)論錯誤的是()A. f(x)的一個周期為一2兀一 一一，一、，一 8 兀，一，B. y = f (x)的圖像關(guān)于直線 x =-;一對稱 3兀C. f(x+7t)的一個零點(diǎn)為 x = _,兀D. f(x)在 金，兀 上單倜遞減兀D A項(xiàng)，因?yàn)閒 (x) =cos x +的周期為2k兀(kC Z),所以f (x)的一個周期為一2兀，3A項(xiàng)正確；