新初二等腰三角形基本概念與性質(zhì)

1、 博學(xué)之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之 個(gè)性化教學(xué)輔導(dǎo)教案教師姓名學(xué)生姓名上課時(shí)間學(xué)科數(shù)學(xué)年級新初二教材版本浙教課稱名稱 等腰三角形基本概念與性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1、認(rèn)知目標(biāo)： 使學(xué)生理解掌握等腰三角形的性質(zhì)定理及其推理。 學(xué)會運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)證明和計(jì)算問題； 2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)觀察能力、分析能力、聯(lián)想能力、表達(dá)能力；教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)課堂教學(xué)過程-等腰三角形()1、 掌握等腰三角形的判定級基本性質(zhì)；2、 會運(yùn)用三線合一性質(zhì)進(jìn)行解題；（）等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的

2、平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形； 2. 定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的

3、邊也相等（簡寫成“等角對等邊”。） 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 2. 定理及其推論的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。 3. 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問

4、題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來定。等腰三角形的概念和性質(zhì)（）已知：如圖，中，于D。求證：。 解析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與的關(guān)系。 證明：過點(diǎn)A作于E， 所以（等腰三角形的三線合一性質(zhì)） 因?yàn)?又，所以 所以（直角三角形兩銳角互余） 所以（同角的余角相等） 即 （）如圖，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分別為ABC與ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)F，則圖中的等腰三角形有（ ）

5、A. 6個(gè) B. 7個(gè) C. 8個(gè) D. 9個(gè) 解析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個(gè)，故選擇C。（）如圖，中，BD平分。求證：。 解析：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過角度計(jì)算可以得出。 證明：在BC上截取，連結(jié)DE、DF 在和中， 又 而 即（）如圖，已知ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB。求A的度數(shù)。解析：本題有較多的等腰三角形的條件，最好用列方程組的方法來求解，應(yīng)當(dāng)在圖形上標(biāo)出各未知數(shù)，可使解題過程清晰明了。解：設(shè)A=x ，EBD=y，C=

6、zAB=ACABC=C=zBD=BCC=BDC=zBE=DEEBD=EDB=90°AD=DEA=AED=x又BDC=A+ABD，AED=EBD+EDB（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）A+ABC+ACB=180°（三角形內(nèi)角和為180°）解得x=45° 即：A=45°（）已知：如圖，C=90°，BC=AC，D、E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點(diǎn)。求證：MDE是等腰三角形。分析：要證MDE是等腰三角形，只需證MD=ME。連結(jié)CM，可利用BMDCME得到結(jié)果。證明：連結(jié)CMC=90°，BC=ACA=B=

7、45°M是AB的中點(diǎn)CM平分BCA（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）MCE=MCB=BCA=45° B=MCE=MCBCM=MB（等角對等邊）在BDE和CEM中BDMCEM（SAS） MD=ME MDE是等腰三角形 1：等腰三角形中，在計(jì)算角的度數(shù)時(shí)往往是設(shè)其中一個(gè)角為X度，然后用X表示其他角，利用三角形的內(nèi)角和為180度來解出X。計(jì)算邊長時(shí)也是如此。但要注意分類討論的情況，同時(shí)還要注意檢驗(yàn)三角形的兩邊之和大于第三邊。 2：在證明線段或角度相等時(shí)，常用的方法就是證全等，在找全等的條件時(shí)要與等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合起來。要時(shí)刻注意等腰三角形2腰相等，2底角相等，最重要的

8、是"三線合一"的性質(zhì)。如圖，在中，D、E分別為AC、AB邊中點(diǎn)，BD、CE交于O點(diǎn)。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。 分析：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就是證明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵谥校裕ǖ冗厡Φ冉牵┯忠驗(yàn)镈、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，所以（中線定義）在和 中，所以所以（全等三角形對應(yīng)角相等）。所以（等角對等邊）。即點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。 1、如圖，在ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，BAD=80°，AB=AD=DC，則C= 25 度。 D 2、如圖，在ABC中，ADBC于D，BEAC

9、于E，AD與BE相交于點(diǎn)F，若BF=AC，則ABC的大小是 45 度。3、如圖，在ABC中，AB=AC，AD=AE， BAD=60°，則EDC的度數(shù)為 30 度。 4、如圖，AM、BN分別是EAB、 DBC的平分線，若AM=BN=AB，則BAC的度數(shù)為 12 度。 M 5、如圖，在ABC中，AB=BC，在BC上取點(diǎn)M，在MC上取點(diǎn)N，使MN=NA，若BAM=NAC，則MAC= 60 度。 6、如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，過C作CEAB于E，并且AE=0.5（AB+AD），則 ABC+ADC的度數(shù)是 180 度。（）如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC

10、延長線上一點(diǎn)，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。 解析：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DMBC，所以想到連結(jié)BD，證BDED。因?yàn)锳BC是等邊三角形，DBEABC，而由CECD，又可證EACB，所以1E，從而問題得證。 證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn) 所以1ABC 又因?yàn)镃ECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足為M 所以M是BE的中點(diǎn) （等腰三角形三線合一定理） （）如圖，已知：中，D是BC上一點(diǎn)，且，求的度數(shù)。 解析：題中所要求的在中，但僅靠是無法求出來的。因此需要考慮和在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)

11、外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來求。 解：因?yàn)?，所?因?yàn)椋裕?因?yàn)?，所以（等邊對等角?而 所以 所以 又因?yàn)?即 所以 即求得（）如圖，是等邊三角形，則的度數(shù)是_。解析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。 解：因?yàn)槭堑冗吶切?所以 因?yàn)?，所?所以 在中，因?yàn)?所以，所以 所以（）中，AB的中垂線交AB于D，交CA延長線于E，求證：。證明：過點(diǎn)A作BC邊的垂線AF，垂足為F。在中，所以 所以（等腰三角形三線合一性質(zhì)）。所以（鄰補(bǔ)角定義）。所以又因?yàn)镋D垂直平分AB，所以（直角三角形兩銳角互余）。（線段垂直平分線定義）。

12、又因?yàn)椋ㄖ苯侨切沃?角所對的邊等于斜邊的一半）。所以在和中，所以所以即。（）如圖，在DBC中，BDC90o，DBDC，DBC的平分線交CD于F ，過C作BF垂線交BD的延長線于E，交BA的延長線于F。（1） 證明：BF=CA（2） 求證：BF2CE（3） 請寫出CE和BG的大小關(guān)系，并說明理由。DAEFCHGB解析：（1）證明：，是等腰直角三角形在和中，且，又，（2）證明：在和中平分，又，又由（1），知，（3）證明：連結(jié)是等腰直角三角形，又是邊的中點(diǎn)，垂直平分在中，是斜邊，是直角邊， 如圖，在ABC中，ABAC，AD和BE是高，它們相交于點(diǎn)H，且AEBE求證：AH2BD 解析：角AHE和角E

13、同為角DAC的余角,因此相等.角AEH=角BEC=90度AE=BE所以，三角形AEH全等于三角形BEC所以AH=BC又三角形ABC等腰，所以BC=2BD所以AH=2BD1. 如圖，在RtABC中，已知ACB=90°，AC=BC，D為BC的中點(diǎn)，CEAD于E，BFAC交CE的延長線于點(diǎn)F求證：AB垂直平分DF2. 如圖，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC，求證：EB=FC3如圖，AF是ABC的角平分線，BDAF交AF的延長線于D，DEAC交AB于E，求證：AE=BE（1）解析：證明：連接DF，BCE+ACE=90°，ACE+CAE=90°，BC

14、E=CAEACBC，BFACBFBCACD=CBF=90°，AC=CB，ACDCBFCD=BFCD=BD=1/2BC，BF=BDBFD為等腰直角三角形ACB=90°，CA=CB，ABC=45°FBD=90°，ABF=45°ABC=ABF，即BA是FBD的平分線BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，即AB垂直平分DF（2）解析：證明：因?yàn)?AD平分角BAC，DE垂直于AB于E，DF垂直于AC于F， 所以DE=DF，角DEB=角DFC=90度， 又因?yàn)锽D=CD， 所以直角三角形BDE全等于直角三角形CDF（斜邊，直角邊）， 所以EB=FC。（3）解析：證明：AF平分BAC，BAD=CAD，DEAC，