初三數(shù)學(xué)正多邊形和圓

1、初三數(shù)學(xué)正多邊形和圓、弧長公式及有關(guān)計算知識一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 正多邊形和圓、弧長公式及有關(guān)計算學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 正多邊形的有關(guān)概念；正多邊形、正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角。正n邊形的半徑，邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形。 2. 正多邊形和圓的關(guān)系定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓，因此可采用作輔助圓的辦法，解決一些問題。 3. 邊數(shù)相同的正多邊形是相似多邊形，具有以下性質(zhì)： （1）半徑（或邊心距）的比等于相似比。 （2）面積的比等于邊心距（或半徑）的比的平方，即相似比的平方。 4. 由于正n邊形的n個頂點n等分它的外接圓，因此畫正n邊形實際就是

2、等分圓周。 （1）畫正n邊形的步驟： 將一個圓n等分，順次連接各分點。 （2）用量角器等分圓 先用量角器畫一個等于的圓心角，這個角所對的弧就是圓的，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等分點，連結(jié)各分點即得此圓的內(nèi)接正n邊形。 5. 對于一些特殊的正n邊形，如正四邊形、正八邊形、正六邊形、正三角形、正十二邊形還可以用尺規(guī)作圖。 6. 圓周長公式：，其中C為圓周長，R為圓的半徑，把圓周長與直徑的比值叫做圓周率。 7. n°的圓心角所對的弧的弧長： n表示1°的圓心角的度數(shù)，不帶單位。 8. 正n邊形的每個內(nèi)角都等于，每個外角為，等于中心角。二. 重點、難點： 1. 學(xué)

3、習(xí)重點： 正多邊形和圓關(guān)系，弧長公式及應(yīng)用。 正多邊形的計算可轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。 只有正五邊形、正四邊形對角線相等。 2. 學(xué)習(xí)難點： 解決有關(guān)正多邊形和圓的計算，應(yīng)用弧長公式。 例1. 正六邊形兩條對邊之間的距離是2，則它的邊長是（ ） A. B. C. D. 解：如圖所示，BF2，過點A作AGBF于G，則FG1 又FAG60° 故選B 點撥：正六邊形是正多邊形中最重要的多邊形，要注意正六邊形的一些特殊性質(zhì)。 例2. 正三角形的邊心距、半徑和高的比是（ ） A. 123B. C. D. 解：如圖所示，OD是正三角形的邊心距，OA是半徑，AD是高 設(shè)，則AO2r，AD3r O

4、DAOADr2r3r123 故選A 點撥：正三角形的內(nèi)心也是重心，所以內(nèi)心到對邊的距離等于到頂點距離的。通過這個定理可以使問題得到解決。 例3. 周長相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積之間的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 解析：設(shè)它們的周長為，則正三角形的邊長是，正四邊形的邊長為，正六邊形的邊長為 故選B 點撥：一定要注意三個正多邊形的周長相等這一重要條件，否則容易得出錯誤結(jié)論。 例4. 如圖所示，正五邊形的對角線AC和BE相交于點M，求證： （1）； （2） 點悟：若作出外接圓可以輕易解決問題。 證明：（1）正五邊形必有外接圓，作出這個輔助圓，則 BEA36° （2

5、） 又公共角ABMEBA ABMEBA 例5. 已知正六邊形ABCDEF的半徑為2cm，求這個正六邊形的邊長、周長和面積。 解：正六邊形的半徑等于邊長 正六邊形的邊長 正六邊形的周長 正六邊形的面積 點撥：本題的關(guān)鍵是正六邊形的邊長等于半徑。 例6. 已知正方形的邊長為2cm，求它的外接圓的外切正三角形的邊長和面積。 解：正方形的邊長為2cm 正方形的外接圓半徑為cm 外接圓的外切正三角形一邊上的高為cm 正三角形的邊長為 正三角形的面積為 點撥：本題的重點是正方形的邊長、圓的半徑和正三角形的半徑之間的關(guān)系。 例7. 如圖所示，已知和外切于點P，和的半徑分別為r和3r，AB為兩圓的外公切線，A

6、、B為切點，求AB與兩弧所圍的陰影部分的面積。 解：連結(jié)，過點作 在中， 梯形的面積為： 又 扇形的面積為： 扇形的面積為： 陰影部分的面積為： 點撥：求組合圖形的面積一般要構(gòu)造出易解決問題的基本圖形，然后求出各圖形的面積，最后通過面積的加減得出結(jié)論。 例8. 如果弧所對的圓心角的度數(shù)增加1°，設(shè)弧的半徑為單位1，則它的弧長增加_。 解：由弧長公式，得： 當(dāng)弧所對的圓心角的度數(shù)增加1°，則弧長為 弧長增加，故填 點撥：本題主要考查弧長公式。 例9. 如圖，大的半圓的弧長為a，n個小圓的半徑相等，且互相外切，其直徑和等于大半圓的直徑，若n個小半圓的總弧長為b，則a與b之間的關(guān)

7、系是（ ） A. B. C. D. 解：設(shè)大半圓的半徑為R，小半圓的半徑為r 由題意，得： 小圓的半徑 每個小半圓的弧長為 n個小半圓的總弧長 即，故選A。 點撥：本題的關(guān)鍵是大半圓的半徑和小半圓的半徑之間的關(guān)系，然后通過弧長和半徑之間的關(guān)系求解。 例10. 如圖所示，兩個同心圓被兩條半徑截得的的長為，的長為，若，則圖中陰影部分的面積為（ ） A. B. C. D. 解：設(shè)O，由弧長公式得： 又 陰影部分的面積為： 故選C 點撥：本題主要考查弧長、扇形面積的有關(guān)計算，要熟記公式，正確運用。 例11. 如圖所示，O的半徑OA為R，弦AB將圓周分成弧長之比為37的兩段弧，求弦AB的長，如果將37改

8、為mn，此時弦AB的長度是多少？ 點悟：欲求弦長AB，需用弦長公式，需知圓心角的度數(shù)，AOB可通過兩弧長之比37求得，再利用求得AD，AB就可求。 解：作ODAB于D，連結(jié)OB 這兩段弧之比為37 這兩段弧所對的圓心角之比也為37 設(shè)這兩個圓心角的度數(shù)為3x，7x，則 即 DOA54°，又 ADRsin54° AB2AD 同理可得37改為mn時，解得： 點撥：有關(guān)正多邊形的計算，都要作出它的半徑和邊心距為輔助線，從而將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。 例12. 已知正六邊形邊長為a，求它的內(nèi)切圓的面積。 點悟：欲求內(nèi)切圓的面積，根據(jù)圓面積公式，需求內(nèi)切圓的半徑OH，可依據(jù)正六

9、邊形的性質(zhì)及邊長a求得，代入面積公式，即可。 解：如圖所示，設(shè)正六邊形的邊長，內(nèi)切圓的圓心為O，連結(jié)OA、OB，作OHAB于H，則AOH30° 例13. 已知正多邊形的周長為12cm，面積為，則內(nèi)切圓的半徑為_。 解：設(shè)正多邊形是正n邊形，圓半徑為r 正多邊形的周長是12cm 正多邊形的邊長是 又正多邊形的面積是 故應(yīng)填2cm。 點撥：要注意內(nèi)切圓半徑等于正多邊形的邊心距這一重要概念。（答題時間：30分鐘）一. 判斷題。 1. 各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形。（ ） 2. 各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。（ ） 3. 各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。（ ） 4. 各角相等的圓外

10、切多邊形是正多邊形。（ ） 5. 一個四邊形不一定有外接圓或內(nèi)切圓。（ ） 6. 矩形一定有外接圓，菱形一定有內(nèi)切圓。（ ） 7. 三角形一定有外接圓和內(nèi)切圓，且兩圓是同心圓。（ ） 8. 依次連結(jié)正多邊形各邊中點所得的多邊形是正多邊形。（ ）二. 填空題。 9. 若正多邊形內(nèi)角和是540°，那么這個多邊形是_邊形。 10. 兩個圓的半徑比為21，大圓的內(nèi)接正六邊形與小圓的外切正六邊形的面積比為_。 11. 有一修路大隊修一段圓弧形彎道，它的半徑R是36m，圓弧所對的圓心角為60°，則這段彎道長約_m（精確到0.1m，）。三. 解答題。 12. 已知半徑為R的圓有一個外切正方形和內(nèi)接正方形，求這兩個正方形的邊長比和面積比。 13. 如圖，AFG中，AFAG，F(xiàn)AG108°，點C、D在FG上，且CFCA，DGDA，過點A、C、D的O分別交AF、AG于點B、F。 求證：五邊形ABCDE是正五邊形。 14. 如圖：三個半徑的圓兩兩外切，求由三條切點弧圍成的陰影圖形的周長。參考答案一. 判斷題。 1. ×2. ×3. 4. 5. 6. 7. ×8. 二. 填空題。 9. 正