工程電磁場附錄一矢量分析

1、第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場的梯度矢量場的通量與散度矢量場的環(huán)量與旋度亥姆霍茲定理電磁場的特殊形式第0章 矢量分析下 頁返 回Vector Analysis正交坐標(biāo)系第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析常用正交坐標(biāo)系常用正交坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 場是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量。例如，在直角坐標(biāo)下：0.1 標(biāo)量場和矢量場)2() 1( 45),(222zyxzyx 標(biāo)量場zyxxyzzxxyzyxeee222),(A矢量場如溫度場、電位場、高度場

2、等；如流速場、電場、渦流場等。Scalar Field and Vector Field下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析const),( zyxh其方程為:圖0.1.1 等高線(1) 標(biāo)量場-等值線(面)形象描繪場分布的工具場線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析zAyAxAzyxddd三維場二維場yAxAyxdd圖0.1.2 矢量線矢量場-矢量線0dlA其方程為：在直角坐標(biāo)下：下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.2 標(biāo)量場的梯度 Gradient of Scalar Field 設(shè)一個(gè)

3、標(biāo)量函數(shù) (x，y，z)，若函數(shù) 在點(diǎn) P 可微，則 在點(diǎn)P 沿任意方向 的方向?qū)?shù)為l)cos,cos,(cos),(zyxl),z,y,x(g)cos,cos,(cosle設(shè) 式中 , , 分別是任一方向 與 x, y, z 軸的夾角l),cos(|llleggeg則有： 當(dāng) ， 最大0) , (lg el下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析gradzyxzyxeee梯度(gradient)哈密頓算子)z,y,x(式中圖0.1.3 等溫線分布梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大方向?qū)?shù)。標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的

4、函數(shù)。梯度的意義下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.2.1 三維高度場的梯度圖0.2.1 三維高度場的梯度高度場的梯度與過該點(diǎn)的等高線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；指向地勢升高的方向。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.2.2 電位場的梯度圖0.2.2 電位場的梯度電位場的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3 矢量場的通量與散度0.3.1 通量 ( Flux ) 矢量場A 沿有向曲面 S 的面積分Flux and Divergence

5、 of Vector 0 (有正源) 0 (有負(fù)源) = 0 (無源)圖0.3.2 矢量場通量的性質(zhì) 下 頁上 頁返 回dS AS若 S 為閉合曲面 根據(jù)通量的大小判斷閉合面內(nèi)源的性質(zhì)：dS AS第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3.2 散度 ( Divergence ) 如果包圍點(diǎn) P 的閉合面 S 所圍區(qū)域 V 以任意方式縮小到點(diǎn) P 時(shí)：ASA divdlim10SVV散度 (divergence)zAyAxAzyxAAdiv下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析散度的意義 在矢量場中，若 A= 0，稱之為有源場， 稱為 ( 通量 ) 源密度；若矢量場中處處 A

6、=0 ，稱之為無源場。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度是通量體密度，即通過包圍單位體積閉合面的通量。代表矢量場的通量源的分布特性。 (無源）0 A (正源) A (負(fù)源) A圖0.3.3 通量的物理意義 下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem )SVVSA Adlim10圖0.3.4 散度定理 通量體密度 高斯公式VSVASA d d矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。VSdV Vlimd1nn0VnnAASA 下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4 矢量場的環(huán)量與旋度0.4.

7、1 環(huán)量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空間有向閉合曲線 L 的線積分環(huán)量LlAd 環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。Circulation and Rotation of Vector Field下 頁上 頁返 回圖0.4.1 環(huán)量的計(jì)算第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析水流沿平行于水管軸線方向流動，= 0，無渦旋運(yùn)動。例：流速場圖0.4.2 流速場流體做渦旋運(yùn)動， 0，有產(chǎn)生渦旋的源。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4.2 旋度 ( Rotation )1. 環(huán)量密度 過點(diǎn) P 作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為L，面的法線

8、方向與曲線繞向符合右手定則。當(dāng) S 點(diǎn) P 時(shí)，存在極限LSSSl d1limdd0環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2. 旋度 旋度是一個(gè)矢量，其大小等于環(huán)量密度的最大值；其方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向AArot 旋度zyxzyxAAAzyxeeeAn) (ddeA Sne S 的法線方向它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)下:下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3. 旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場中，若 A=J 0 稱之為旋度

9、場（或渦旋場），J 稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場處處 A= 0 ，稱之為無旋場。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析4. 斯托克斯定理 ( Stockes Theorem )矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。圖 0.4.3 斯托克斯定理n)(ddeA SSAeAd)(d)(dnSSA)lAd(dSl斯托克斯定理下 頁上 頁 在電磁場理論中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是兩個(gè)非常重要的公式。返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理： 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場

10、域邊界條件（矢量 A 惟一地確定）電荷密度電流密度 J 場域邊界條件在電磁場中Hymherze Theorem下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.5.1 試判斷下列各圖中矢量場的性質(zhì)。FF00FF00FF00下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.6 特殊形式的電磁場 如果在經(jīng)過某一軸線( 設(shè)為 z 軸）的一族平行平面上，場 F 的分布都相同，即 F= f（x，y），則稱這個(gè)場為平行平面場。1. 平行平面場Special Forms of Electromagnetic Field如無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場。下 頁上 頁返 回0第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 如果在經(jīng)過某一軸線 ( 設(shè)為 z 軸 )的一族子午面上，場 F 的分布都相同，即 F=f（r,），則稱這個(gè)場為軸對稱場。2. 軸對稱場 如螺線管線圈產(chǎn)生的磁場；有限長直帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3. 球面對稱場 如果在一族同心球面上（