電路第10章---含有耦合電感的電路匯總

1、含有耦合電感的電路圖 10.110.1 互感耦合電感元件屬于多端元件， 在實(shí)際電路中， 如收音機(jī)、 電視機(jī)中的中周線圈、 振蕩線圈，整流電源里使用的變壓器等都是耦合電感元件，熟悉這類多端元件的特性，掌握包含這類多端元件的電路問題的分析方法是非常必要的1. 互感兩個靠得很近的電感線圈之間有 磁的耦合，如圖 10.1 所示，當(dāng)線圈 1 中通電流 i 1 時，不僅在線圈 1 中產(chǎn)生 磁通 f 11，同時， 有部分磁通 f 21 穿過臨 近線圈 2，同理，若在線圈 2 中通電流i 2 時，不僅在線圈 2 中產(chǎn)生磁通 f 22 ， 同時，有部分磁通 f 12 穿過線圈 1，f 12和 f 21 稱為互感

2、磁通。定義互磁鏈： 12 = N1 12 21 = N2 21當(dāng)周圍空間是各向同性的線性磁介質(zhì)時，磁通鏈與產(chǎn)生它的施感電流成正比，即有自感磁 通鏈：互感磁通鏈：上式中 M12 和 M21 稱為互感系數(shù)，單位為（ H）。當(dāng)兩個線圈都有電流時，每一線圈的磁鏈為自磁鏈與互磁鏈的代數(shù)和：需要指出的是：）M 值與線圈的形狀、幾何位置、空間媒質(zhì)有關(guān)，與線圈中的電流無關(guān)，因此，滿足含有耦合電感的電路M12 =M21 =M）自感系數(shù) L 總為正值，互感系數(shù) M 值有正有負(fù)。正值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向一致，互感起增助作用，負(fù)值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向相反，互感起削弱作用。2. 耦合因數(shù)工程上用耦合因數(shù)k

3、來定量的描述兩個耦合線圈的耦合緊密程度，定義一般有：當(dāng) k =1 稱全耦合，沒有漏磁，滿足f11 = f21 ， f22 = f12 。耦合因數(shù) k 與線圈的結(jié)構(gòu)、相互幾何位置、空間磁介質(zhì)有關(guān)。3. 耦合電感上的電壓、電流關(guān)系當(dāng)電流為時變電流時，磁通也將隨時間變化，從而在線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。根據(jù)電磁感應(yīng)定律和楞次定律得每個線圈兩端的電壓為：即線圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓。在正弦交流電路中，其相量形式的方程為注意：當(dāng)兩線圈的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致時，稱為互感的“增助”作用，互感電壓取正；否則取負(fù)。以上說明互感電壓的正、負(fù)：1）與電流的參考方向有關(guān)。含有耦合電感的電路2)與線圈的相

4、對位置和繞向有關(guān)。4. 互感線圈的同名端由于產(chǎn)生互感電壓的電流在另一線圈上，因此，要確定互感電壓的符號，就必須知道兩個線圈的繞向，這在電路分析中很不方便。為了解決這一問題引入同名端的概念。同名端 當(dāng)兩個電流分別從兩個線圈的對應(yīng)端子同時流入或流出時，若產(chǎn)生的磁通相互 增強(qiáng)，則這兩個對應(yīng)端子稱為兩互感線圈的同名端，用小圓點(diǎn)或星號等符號標(biāo)記圖 10.2例如圖 10.2 中線圈 1 和線圈 2 用 小圓點(diǎn)標(biāo)示的端子為同名端，當(dāng)電流從 這兩端子同時流入或流出時，則互感起 相助作用。同理，線圈 1 和線圈 3 用星 號標(biāo)示的端子為同名端。線圈 2 和線圈 3 用三角標(biāo)示的端子為同名端。注意： 上述圖示說明

5、當(dāng)有多個線圈 之間存在互感作用時，同名端必須兩兩線圈分別標(biāo)定。根據(jù)同名端的定義可以得出確定同名端的方法為：(1) 當(dāng)兩個線圈中電流同時流入或流出同名端時，兩個電流產(chǎn)生的磁場將相互增強(qiáng)。(2) 當(dāng)隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將會引起另一線圈相應(yīng)同名端的 電位升高。圖 10.3兩線圈同名端的實(shí)驗(yàn)測定： 實(shí)驗(yàn)線路如圖 10.3 所示，當(dāng)開關(guān) S 閉合 時，線圈 1 中流入星號一端的電流 i 增加，在 線圈 2 的星號一端產(chǎn)生互感電壓的正極，則電 壓表正偏。有了同名端，以后表示兩個線圈相互作用，就不再考慮實(shí)際繞向，而只畫出同名端及電流 和電壓的參考方向即可，如圖 10.4 所示。根據(jù)標(biāo)定

6、的同名端和電流、電壓參考方向可知：- 4 -含有耦合電感的電路圖 10.4 （ a）圖 10.4 （ b ）a）圖b）圖例 10-1 ， 例 10-2例 10-1 如圖所示（ a）、（ b）、（ c）、（ d）四個互感線圈，已知同名端和各線圈上電壓電流參考方向，試寫出每一互感線圈上的電壓電流關(guān)系例 10-1 圖（ a ）例 10-1 圖（ b）例 10-1 圖（ c ）例 10-1 圖（ d）解：（ a）例 10-2 電路如圖（ a ）所示，圖（ b）為電流源波形。含有耦合電感的電路例 10-2 圖( a )已知： ，例 10-2 圖( b )解：根據(jù)電流源波形，寫出其函數(shù)表示式為：該電流在線

7、圈 2 中引起互感電壓：對線圈 1 應(yīng)用 KVL ，得電流源電壓為：§10.2含有耦合電感電路的計(jì)算含有耦合電感(簡稱互感)電路的計(jì)算要注意：(1) 在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，有互感的電路的計(jì)算仍可應(yīng)用前面介紹的相量分析方法。(2) 注意互感線圈上的電壓除自感電壓外，還應(yīng)包含互感電壓。(3) 一般采用支路法和回路法計(jì)算。因?yàn)轳詈想姼兄返碾妷翰粌H與本支路電流有關(guān)，還與其他某些支路電流有關(guān)，若列結(jié)點(diǎn)電壓方程會遇到困難，要另行處理。1. 耦合電感的串聯(lián)含有耦合電感的電路1） 順向串聯(lián)圖 10.5圖 10.5 所示電路為耦合電感的串聯(lián)電路，由于互感起“增助”作用，稱為順向串聯(lián)。按圖示電壓、電流的參

8、考方向， KVL 方程為：根據(jù)上述方程可以給出圖 10.6 所示的無互感等效電路。等效電路的參數(shù)為：圖 10.6（ 2） 反向串聯(lián)圖 10.7 所示的耦合電感的串聯(lián)電路，由于互感起“削弱”作用，稱為反向串聯(lián)。按圖示電壓、電流的參考方向， KVL 方程為：圖 10.7根據(jù)上述方程也可以給出圖 10.6 所示的無互感（去耦）等效電路。但等效電路的參數(shù)為：在正弦穩(wěn)態(tài)激勵下，應(yīng)用相量分析，圖 10.5 和圖 10.7 的相量模型如圖 10.8 所示。含有耦合電感的電路圖 10.8 （ a）圖 10.8 （ b）圖（ a）的 KVL 方程為：輸入阻抗為：可以看出耦合電感順向串聯(lián)時，等效阻抗大于無互感時的

9、阻抗。順向串聯(lián)時的相量圖如圖 10.9 所示。圖（ b）的 KVL 方程為：圖 10.9 輸入阻抗為：可以看出耦合電感反向串聯(lián)時，等效阻抗小于無互感時圖 10.10的阻抗。反向串聯(lián)時的相量圖如圖 10.10 所示。（ 1） 互感不大于兩個自感的算術(shù)平均值， 整個電路 仍呈感性，即滿足關(guān)系：（2）根據(jù)上述討論可以給出測量互感系數(shù)的方法： 把兩線圈順接一次，反接一次，則互感系數(shù)為：2. 耦合電感的并聯(lián)1）同側(cè)并聯(lián)圖 10.11 為耦合電感的并聯(lián)電路，由于同名端連接在同一個結(jié)點(diǎn)上，稱為同側(cè)串聯(lián)含有耦合電感的電路- 8 -根據(jù) KVL 得同側(cè)并聯(lián)電路的方程為：由于 i = i 1 + i 2圖 10.

10、11解得 u , i 的關(guān)系：根據(jù)上述方程可以給出圖10.12 所示的無互感等效電路，其等效電感為：（ 2） 異側(cè)并聯(lián)圖 10.12圖 10.13 中由于耦合電感的異名端連接在同一個結(jié)點(diǎn)上，故稱為異側(cè)并聯(lián)。此時電路的方程為：考慮到： i圖 10.13解得 u , i根據(jù)上述方程也可以給出圖 10.12i1 + i 2的關(guān)系：所示的無互感等效電路，其等效電感為：圖 10.14圖 10.15所示，稱為耦合電感的 T3. 耦合電感的 T 型去耦等效如果耦合電感的 2 條 支路各有一端與第三條支 路形成一個僅含三條支路 的共同結(jié)點(diǎn)如圖 10.14型聯(lián)接。顯然耦合電感的含有耦合電感的電路并聯(lián)也屬于 T

11、型聯(lián)接。（ 1 ）同名端為共端的 T 型去耦等效圖 10.14 的電路為同名端為共端的 T 型聯(lián)接。根據(jù)所標(biāo)電壓、電流的參考方向得：由上述方程可得圖 10.15 所示的無互感等效電路。2） 異名端為共端的 T 型去耦等效圖 10.16圖 10.17圖 10.16 的電路為異名端為共端的T 型聯(lián)接。根據(jù)所標(biāo)電壓、電流的參考方向得：由上述方程可得圖 10.17 所示的無互感等效電路。注意： T 型去耦等效電路中 3 條支路的等效電感分別為：支路 3 ： （同側(cè)取“ + ”，異側(cè)取“”）支路 1 ： 支路 2 ：例 10-3 求圖（ a ）、（ b ）所示電路的等效電感。含有耦合電感的電路- 10

12、-解：例 10-3 圖（ a ）T 型去耦等效得圖例 10-3 圖（ b ）a）圖中 4H 和 6H 電感為 T 型結(jié)構(gòu)，應(yīng)用c）電路。則等效例 10-3 圖（ c ）電感為：例 10-3 圖（ d ）例 10-4 （ a）例 10-4 （ b）（b）圖中 5H和 6H電感為同側(cè)相接的 T 型結(jié)構(gòu)，2H和 3H電感為異側(cè)相接的 T 型結(jié)構(gòu)， 應(yīng)用 T 型去耦等效得圖（ d）電路。則等效電感為：解：設(shè)網(wǎng)孔電流如圖（ b）所示，為順時針方向，則回路方程為：- 11 -含有耦合電感的電路注意： 列寫有互感電路的回路電流方程是，注意互感電壓的極性和不要遺漏互感電壓 例 10-5 求圖（ a ）所示電路

13、的開路電壓。例 10-5 圖（ a ）例 10-5 圖（ b ）解法 1：列方程求解。由于線圈 2 中無電流，線圈 1 和線圈 3為反向串聯(lián)，所以電流則開路電壓解法 2：作出去耦等效電路，消去耦合的過程如圖（b）、（c）、（d）所示（ 一對一對消 ）例 10-5 圖（ c ）例 10-5 圖（ d ）由圖（ d）的無互感電路得開路電壓：- 12 -含有耦合電感的電路例 10-6圖（a）為有互感的電路，若要使負(fù)載阻抗 中的電流 i =0 ，問電源的角頻率為多少？解：根據(jù)兩線圈的繞向標(biāo)定同名端如圖（例 10-6 （ a）b）所示，應(yīng)用 T 型去耦等效，得無互感的電路如圖（ c）所示，顯然當(dāng)電容和

14、M 電感發(fā)生串聯(lián)諧振時，負(fù)載阻抗 Z 中的電流為零。因此有：例 10-6 （ b）例 10-6 （ c）含有耦合電感的電路- 13 -10.3空心變壓器變壓器由兩個具有互感的線圈構(gòu)成，一個線圈接向電源，另一線圈接向負(fù)載。變壓器是通當(dāng)變壓器線圈的芯子為非鐵磁過互感來實(shí)現(xiàn)從一個電路向另一個電路傳輸能量或信號的器件。材料時，稱空心變壓器。1. 空心變壓器電路圖 10.18 為空心變壓器的電路模型，與電源相接的回路稱為原邊回路（或初級回路），與負(fù)載相接的回路稱為副邊回路（或次級回路）。圖 10.182. 分析方法1） 方程法分析在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，圖 10.18 電路的回路方程為：令 稱為原邊回路阻抗，

15、 稱為副邊回路阻抗 從上列方程可求得原邊和副邊電流：含有耦合電感的電路- 14 -（ 2） 等效電路法分析 等效電路法實(shí)質(zhì)上是在方程分析法的基礎(chǔ)上找出求解的某些規(guī)律，歸納總結(jié)成公式， 得出等效電路，再加以求解的方法。首先討論圖 10.18 的原邊等效電路。令上述原邊電流的分母為：則原邊電流為：根據(jù)上式可以畫出原邊等效電路如圖10.19 所示。 上式中的 Zf 稱為引入阻抗（或反映阻抗） ，是副邊回路阻抗通過 互感反映到原邊的等效阻抗，它體現(xiàn)了副邊回路的存在對原 邊回路電流的影響。 從物理意義講， 雖然原、 副邊沒有電的 聯(lián)系，但由于互感作用使閉合的副邊產(chǎn)生電流，反過來這個 電流又影響原邊電流電

16、壓。把引入阻抗 Zf 展開得：圖 10.19上式表明：（1）引入電阻不僅與次級回路的電阻有關(guān)，而且與次級回路的電2）引入電抗的負(fù)號反映了引入電抗與付邊電抗的性質(zhì)相反抗及互感有關(guān)。可以證明引入電阻消耗的功率等于副邊回路吸收的功率。根據(jù)副邊回路方程得：方程兩邊取模值的平方：含有耦合電感的電路- 15 -從中得：應(yīng)用同樣的方法分析方程法得出的副邊電流表達(dá)式。令則根據(jù)上式可以畫出副邊等效電路如圖 10.20 所示。 上式中的 圖Z 2f 稱為原邊回路對副邊回路的引入阻抗，它與Z1f 有相同的性 10.20質(zhì)。應(yīng)用戴維寧定理也可以求得空心變壓器副邊的等效電路。（ 3） 去耦等效法分析 對空心變壓器電路進(jìn)

17、行 T 型去耦等效，變?yōu)闊o互感的電 路，再進(jìn)行分析。例 10-7圖（ a）為空心變壓器電路，已知電源電壓US=20V, 原邊引入阻抗 Zl =10j10 ， 求: 負(fù)載阻抗 ZX并求負(fù)載獲得的有功功率。例 10-7 圖（ a ）解：圖（ a ）的原邊等效電路如圖（ b）所示，引入阻抗為：從中解得：例 10-7 圖（ b ）- 16 -含有耦合電感的電路例 10-8已知圖 （ a ）空心變壓器電路參數(shù)為： L2=0.06H, M=0.465H, R1=20 , R2=0.08 , RL=42 , =314rad/s,，求：原、副邊電流 。L1=3.6H,例 10-8 圖（ a ）解法 1：應(yīng)用圖

18、（ b）所示的原邊等效電路，得：例 10-8 圖（ b ）例 10-8 圖（ c ）此時負(fù)載獲得的功率等于引入電阻消耗的功率，因此：注意：電路實(shí)際處于最佳匹配狀態(tài)，即- 17 -所以含有耦合電感的電路解法 2：應(yīng)用圖（ c）所示的副邊等效電路，得：所以例 10-9 全耦合互感電路如圖（ a ）所示，求電路初級端 ab 間的等效阻抗。例 10- 圖（ a ）例 10- 圖（ b）解法 1：應(yīng)用原邊等效電路，因?yàn)椋核越夥?2：應(yīng)用 T 型去耦等效電路如圖（ b）所示，則等效電感為：- 18 -含有耦合電感的電路例 10-10已知圖（ a）所示電路中， L1=L2=0.1mH ,M =0.02mH

19、 , R1=10 , C1=C2=0.01mF , =106rad/s,，問： R2=？能吸收最大功率 , 并求最大功率。例 10-8 圖（ a ）因?yàn)槔?10-8 圖（ b ）所以原邊自阻抗為：副邊自阻抗為：原邊等效電路如圖（ b）所示，引入阻抗為：因此當(dāng)即 R2 =40 時吸收最大功率，最大功率為：解法 2：應(yīng)用圖（ c）所示的副邊等效電路，得解法 1 ：- 19 -含有耦合電感的電路例 10-8 圖 (c )因此當(dāng) 時吸收最大功率， 最大功率為：例 10-11 圖示互感電路已處于穩(wěn)態(tài)， t=0 時開關(guān)打開，求 t > 0+ 時開路電壓 u2(t) 。例 10 11 圖解：副邊開路，

20、對原邊回路無影響，開路電壓u2(t) 中只有互感電壓。先應(yīng)用三要素法求電流 i(t) ：當(dāng)， 時間常數(shù)為： 當(dāng) ，有：所以則含有耦合電感的電路- 20 -例 10-12已知圖（ a）電路中上獲得最大功率，并求出最大功率。問負(fù)載 Z 為何值時其解：（ 1）首先判定互感線圈的同名端，如圖（b）所示。（ 2）做出去耦等效電路如圖（ c）所示。由于 LC 串聯(lián) 支路發(fā)生諧振，可用短路線替代這條支路，如圖（d）所示，斷開負(fù)載，得開路電壓：例 10-12 圖（ a ）由圖（ e ）得例 10-12 圖（ b ）等效阻抗例 10-12 圖（ c ）例 10-12 圖（ d ）例 10-12 圖（ e）當(dāng)時，

21、負(fù)載獲取最大功率，最大功率為：- 21 -含有耦合電感的電路§10.4理想變壓器理想變壓器是實(shí)際變壓器的理想化模型，是對互感元件的理想科學(xué)抽象，是極限情況 下的耦合電感。1理想變壓器的三個理想化條件條件 1 ：無損耗，認(rèn)為繞線圈的導(dǎo)線無電阻，做芯子的鐵磁材料的磁導(dǎo)率無限大。條件 2 ：全耦合，即耦合系數(shù)條件 3 ：參數(shù)無限大，即自感系數(shù)和互感系數(shù)但滿足：上式中 N1 和 N2 分別為變壓器原、副邊線圈匝數(shù)， n 為匝數(shù)比。以上三個條件在 工程實(shí)際中不可能滿足，但在一些實(shí)際工程概算中，在誤差允許的范圍內(nèi)，把實(shí)際變壓器當(dāng)理 想變壓器對待，可使計(jì)算過程簡化。2. 理想變壓器的主要性能滿足上

22、述三個理想條件的理想變壓器與有互感的線圈有著質(zhì)的區(qū)別具有以下特殊性能。1）變壓關(guān)系圖 10.21 為滿足三個理想條件的耦合線圈。由于，所以因此圖 10.21根據(jù)上式得理想變壓器模型如圖 10.22 所示。注意： 理想變壓器的變壓關(guān)系與兩線圈中電流參考方向的假設(shè)無關(guān)，但與電壓極性的設(shè)置有關(guān)，若u1、u2 的參考方向的“ +”極性端一個設(shè)在同名端，一個設(shè)在異名端，如圖10.23 所示，此時 u1 與圖 10.22含有耦合電感的電路- 22 -u2之比為：2）變流關(guān)系根據(jù)互感線圈的電壓、電流關(guān)系（電流參考方向設(shè)為從同名端同時流入或同時流出）：則圖 10.24如圖 10.24 所示，圖 10.25得理想變壓器的電流關(guān)系為：注意： 理想變壓器的變流關(guān)系與兩線圈上電壓參考方向的假設(shè)無關(guān)，但與電流參考方向的 設(shè)置有關(guān)， 若 i 1、i 2 的參考方向一個是從同名端流