第1講正弦定理和余弦定理-

1、第 1 講正弦定理和余弦定理基礎(chǔ)梳理abc1正弦定理： sin A sin B sin C 2R，其中 R 是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)a b c sin A sin B sin C；(2)a 2Rsin_A， b2Rsin_B，c2Rsin_C；abc(3)sin A 2R， sin B 2R，sin C2R等形式，以解決不同的三角形問題2 余弦定理： a2 b2 c2 2bccos_A， b2 a2 c2 2accos_B， c2 a2 b2 b2 c2a2a2c2b22abcos_C余弦定理可以變形為： cos A2bc，cos B2ac， cos C2b2c2 a2

2、ab.111abc13S ABC 2absin C 2bcsin A 2acsin B 4R 2(abc) r(R 是三角形外接圓半徑， r 是三角形內(nèi)切圓的半徑 )，并可由此計算R，r .雙基自測1在 ABC 中， A60， B 75， a 10，則 c 等于 ()A 52B102106C. 3D5 62在 ABC 中，若 sin A cos B，則 B 的值為 ()abA30B45C60D903(2011 鄭州聯(lián)考 )在 ABC 中， a3，b1，c2，則 A 等于 ()A30B45C60D7514在 ABC 中， a32，b 2 3，cos C 3，則 ABC 的面積為 ()A3 3B2

3、 3C4 3D. 3已知ABC三邊滿足2 b2c2 3ab，則此三角形的最大內(nèi)角為 _5a考向一利用正弦定理解三角形【訓(xùn)練 1】 (2013 北京 )在 ABC 中，若 b5， B4，tan A 2，則 sin A_；a_.考向二利用余弦定理解三角形cos Bb【例 2】?在 ABC 中， a、b、c 分別是角 A、B、 C 的對邊，且 cos C2a c.(1)求角 B 的大??；(2)若 b13，ac4，求 ABC 的面積(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用【訓(xùn)練 2】 (

4、2013 桂林模擬 )已知 A，B，C 為 ABC 的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為 a，b，c，且 2cos2 A2cos A0.(1)求角 A 的值；(2)若 a23，bc4，求 ABC 的面積判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三考向三正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例 3】?在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 對邊的邊長分別是a，b，c，已知 c 2，C3.(1)若 ABC 的面積等于3，求 a，b；(2)若 sin C sin(B A)2si

5、n 2A，求 ABC 的面積 審題視點(diǎn) 第(1)問根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出關(guān)于a，b 的方程，通過方程組求解；第 (2)問根據(jù) sin Csin(B A)2sin 2A 進(jìn)行三角恒等變換，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系，求出邊a，b 的值即可解決問題正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對任意三角形都成立，通過這些等式就可以把有限的條件納入到方程中，通過解方程組獲得更多的元素，再通過這些新的條件解決問題【訓(xùn)練 3】 (2013 北京西城一模 )設(shè) ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊長分別為a，4b，c，且 cos B 5，b2.(1)當(dāng) A 30時，求 a 的值；(2)當(dāng) ABC 的面積為 3 時，求 ac 的值【示例】 ?(2011 安徽 )在 ABC 中， a， b， c 分別為內(nèi)角 A， B， C 所對的邊長，a 3，b 2，12cos(BC) 0，求邊 BC 上的高【試一試】 (2013 遼