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1、灰色系統(tǒng)及在建模中的應(yīng)用灰色系統(tǒng)及在建模中的應(yīng)用一、灰色系統(tǒng)介紹一、灰色系統(tǒng)介紹 華中科技大學(xué)的鄧聚龍教授80年代初創(chuàng)立的灰色系統(tǒng)是新興的橫斷學(xué)科。在短短的二十年里已得到了長足的發(fā)展。 目前，已經(jīng)成為社會、經(jīng)濟、科教、技術(shù)等很多領(lǐng)域進行預(yù)測、決策、評估、規(guī)劃、控制、系統(tǒng)分析和建模的重要方法之一。 特別是它對時間序列短、統(tǒng)計數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的建模與分析，具有獨特的功效。 灰色系統(tǒng)理論灰色系統(tǒng)理論是研究灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測、決策和控制的理論。它把一般系統(tǒng)論、信息論及控制論的觀點和方法延伸到社會、經(jīng)濟和生態(tài)等抽象系統(tǒng)，并結(jié)合數(shù)學(xué)方法，發(fā)展出一套解決信息不完全系統(tǒng)（灰色系統(tǒng)）的理論和方法。1

2、.1 幾種不確定性方法的比較幾種不確定性方法的比較 模糊數(shù)學(xué)模糊數(shù)學(xué)著重研究“認知不確定”問題，其研究對象具有“內(nèi)涵明確，外延不明確內(nèi)涵明確，外延不明確”的特點。主要憑借經(jīng)驗憑借經(jīng)驗，借助于隸屬函數(shù)進行處借助于隸屬函數(shù)進行處理理。 概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計研究的是“隨機不確定隨機不確定”現(xiàn)象的歷史統(tǒng)計規(guī)律，考察具有多種可能發(fā)生的結(jié)果之“隨機不確定”現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性的大小。其出發(fā)點是，大樣本，且對象服從某種大樣本，且對象服從某種典型分布典型分布。 灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)研究的是“部分信息明確，部分信部分信息明確，部分信息未知息未知”的“小樣本，貧信息小樣本，貧信息”不確定性問題，并依據(jù)信息覆蓋，通

3、過序列算子的作用探索事物運動的現(xiàn)實規(guī)律。其特點是“少數(shù)據(jù)建模少數(shù)據(jù)建?！?，著重研究“外延明確，內(nèi)涵不明確外延明確，內(nèi)涵不明確”的對象。2050年中國人口控制在年中國人口控制在15億到億到16億之間億之間樹高在樹高在20米至米至30米米項目項目灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計模糊數(shù)學(xué)模糊數(shù)學(xué)研究對象研究對象貧信息不確定隨機不確定認知不確定基礎(chǔ)集合基礎(chǔ)集合灰色朦朧集康托集模糊集方法依據(jù)方法依據(jù)信息覆蓋映射映射途徑手段途徑手段灰序列生成頻率分布截集數(shù)據(jù)要求數(shù)據(jù)要求任意分布典型分布隸屬度可知側(cè)側(cè) 重重內(nèi)涵內(nèi)涵外延目目 標(biāo)標(biāo)現(xiàn)實規(guī)律歷史統(tǒng)計規(guī)律認知表達 特特 色色小樣本大樣本憑借經(jīng)驗表表1.1 1.1

4、三種不確定性方法的比較三種不確定性方法的比較1.2 灰色系統(tǒng)的基本原理灰色系統(tǒng)的基本原理公理公理1、差異信息原理。、差異信息原理。 “差異”是信息，凡信息必有差異。公理公理2、解的非唯一性原理、解的非唯一性原理。 信息不完全、不確定的解是非唯一的。該原理是灰色系統(tǒng)理論解決實際問題所遵循的基本法則。公理公理3、最少信息原理、最少信息原理 灰色系統(tǒng)理論的特點是充分開發(fā)利用已占有的“最少信息”。公理公理4、認知根據(jù)原理。、認知根據(jù)原理。 信息是認知的根據(jù)。公理公理5、新信息優(yōu)先原理。、新信息優(yōu)先原理。 新信息對認知的作用大于老信息。公理公理6、灰性不滅原理、灰性不滅原理 “信息不完全”是絕對的。1.

5、3 灰數(shù)及其運算灰數(shù)及其運算灰數(shù)灰數(shù)：只知道大概范圍而不知道其確切值的數(shù)，通常記為：“ ”。例如： 1. 頭發(fā)的多少才算是禿子。應(yīng)該是個區(qū)間范圍。模糊 2.多少層的樓房算高樓，中高樓，低樓。 3.多么大的蘋果算大蘋果，小蘋果。 灰數(shù)的種類：灰數(shù)的種類： a、僅有下界的灰數(shù)。、僅有下界的灰數(shù)。 有下界無上界的灰數(shù)記為：有下界無上界的灰數(shù)記為： a, b、僅有上界的灰數(shù)。、僅有上界的灰數(shù)。 有上界無下界的灰數(shù)記為：有上界無下界的灰數(shù)記為： - ,b c、區(qū)間灰數(shù)、區(qū)間灰數(shù) 既有上界又有下界的灰數(shù)：既有上界又有下界的灰數(shù)： a, b d、連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù)、連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù) 在某一區(qū)間內(nèi)取有限個值

6、的灰數(shù)稱為離散灰在某一區(qū)間內(nèi)取有限個值的灰數(shù)稱為離散灰數(shù)，取值連續(xù)地充滿某一區(qū)間的灰數(shù)稱為連續(xù)數(shù)，取值連續(xù)地充滿某一區(qū)間的灰數(shù)稱為連續(xù)灰數(shù)?；覕?shù)。二、灰色系統(tǒng)模型二、灰色系統(tǒng)模型 通過少量的、不完全的信息，建立灰色微分通過少量的、不完全的信息，建立灰色微分預(yù)測預(yù)測模型模型，對事物發(fā)展規(guī)律作出模糊性的長期描，對事物發(fā)展規(guī)律作出模糊性的長期描述，是模糊預(yù)測領(lǐng)域中理論、方法較為完善的預(yù)述，是模糊預(yù)測領(lǐng)域中理論、方法較為完善的預(yù)測學(xué)分支之一。測學(xué)分支之一。 灰色系統(tǒng)理論認為任何隨機過程都是在一定灰色系統(tǒng)理論認為任何隨機過程都是在一定幅值范圍和一定時區(qū)內(nèi)變化的灰色量，并把隨機幅值范圍和一定時區(qū)內(nèi)變化的灰

7、色量，并把隨機過程看成灰色過程。過程看成灰色過程。（一）（一） 不需要大量的樣本。不需要大量的樣本。（二）（二） 樣本不需要有規(guī)律性分布。樣本不需要有規(guī)律性分布。（三）（三） 計算工作量小。計算工作量小。（四）（四） 定量分析結(jié)果與定性分析結(jié)果不會不一致。定量分析結(jié)果與定性分析結(jié)果不會不一致。（五）（五） 可用于近期、短期，和中長期預(yù)測。可用于近期、短期，和中長期預(yù)測。（六）（六） 灰色預(yù)測精準(zhǔn)度高?；疑A(yù)測精準(zhǔn)度高。 灰色模型的優(yōu)點灰色模型的優(yōu)點:2.1 灰生成技術(shù)灰生成技術(shù)灰色序列生成灰色序列生成：是一種通過對原始數(shù)據(jù)的挖掘、整理來尋求數(shù)據(jù)變化的現(xiàn)實規(guī)律的途徑途徑，簡稱灰生成。灰生成特點灰

8、生成特點：在保持原序列形式的前提下，改變序列中數(shù)據(jù)的值與性質(zhì)。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機性，顯現(xiàn)其規(guī)律性?；疑傻淖饔茫ㄒ饬x）灰生成的作用（意義）1.統(tǒng)一序列的目標(biāo)性質(zhì)，為灰決策提供基礎(chǔ)。2.將擺動序列轉(zhuǎn)換為單調(diào)增長序列，以利于灰建模。3.揭示潛藏在序列中的遞增勢態(tài)，變不可比為可比序列。常見的幾種灰生成類型：常見的幾種灰生成類型：1. 累加生成算子（累加生成算子（AGO）2. 逆逆累加生成算子（累加生成算子（ IAGO）3. 均值生成算子（均值生成算子（MEAN）4. 級比生成算子級比生成算子1. 累加生成算子累加生成算子（AGO）定義 它是對原序列中的數(shù)據(jù)依次累加以得到生成序列。

9、令 為原序列(0)x (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,Xxxxn我們說 是 的AGO序列，并記為(1)X(0)X(1)(0) XAGO X當(dāng)且僅當(dāng) (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,Xxxxn并滿足(1)(0)1( )( )kmxkxm(1,2, )kn例1 擺動序列為：(0)1, 2, 1.5, 3X通過AGO可以加工成單調(diào)增序列：(0)(1) (1, 3, 4.5, 7.5)AGO XX00.511.522.533.544.5501234567891000.511.522.533.544.55012345678910(0)X(1)X2. 逆逆累加生成算子累加生成算子（IAGO）定義

10、它是對AGO生成序列中相鄰數(shù)據(jù)依次累減，又稱累減生成。令 為原序列(0)X (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,Xxxxn稱 是 的IAGO序列，并記為Y(0)X(0) YIAGO X當(dāng)且僅當(dāng)(1), (2), ( )Yyyy n并 滿足( )y kY(0)(0)( )( )(1)y kxkxk例2令原始序列 為(0)X (0)(0)(0)(0)(0)(0)1 ,2 ,3 ,4 ,5Xxxxxx(1,1,1,1,1)(0)(1) (1,2,3,4,5)AGO XX(1) 1,2 1,32,43,54IAGO X(1,1,1,1,1)這表明(1)(0)(0) ( )IAGO XIAGO AGO

11、XX3. 均值生成算子（均值生成算子（MEAN） (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,Xxxxn定義 它是將AGO序列中前后相鄰兩數(shù)取平均數(shù)，以獲得生成序列。令 為 的AGO序列稱 為 的MEAN序列，并記為(1)Z(0)X(1)X(1)X(1)(1) ZMEAN X當(dāng)且僅當(dāng) (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,Zzzzn并且每個 滿足下述關(guān)系(1)(1)( )zkZ (1)(1)(1)1( )(1)2zkxkxk例3 對于 ，有 (1)(1,2,3,4,5)X(1)(1)(1)(1)(1) (1),(2),(3),(4)MEAN Zzzzz0.5(12),0.5(23),0.5(34),0.

12、5(45)1.5,2.5,3.5,4.54. 級比生成算子級比生成算子定義 設(shè)序列 ，則稱 (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,Xxxxn(0)(0)(1)( ),( )xkkxk2,3, .kn為序列 的級比。(1)X檢驗準(zhǔn)則檢驗準(zhǔn)則 設(shè)序列 的級比滿足 (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,Xxxxn2211( )(, )nnkee時，序列 可做GM(1,1)建模。(1)X2.2 GM（1，1）模型模型 灰色理論灰色理論認為系統(tǒng)的行為現(xiàn)象盡管是朦朧的，數(shù)據(jù)是復(fù)雜的，但它畢竟是有序的，是有整體功能的。灰數(shù)的生成，就是從雜亂中尋找出規(guī)律。同時，灰色理論建立的是生成數(shù)據(jù)模型，不是原始數(shù)據(jù)模型。因此

13、，灰色預(yù)測的數(shù)據(jù)是通過生成數(shù)據(jù)的GM(1,1)模型所得到的預(yù)測值的逆處理結(jié)果。 GM(1,1)的的符號符號含義含義：G M ( 1, 1 )Grey灰色Model模型1階方程1個變量定義1 設(shè) ，和 (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,Xxxxn (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,Xxxxn，則稱(0)(1)( )( )xkaxkb為GM(1,1)模型的原始形式。定義2 設(shè) ，其中 ，則稱 (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,Zzzzn (1)(1)(1)0.5( )0.5(1)zkxkxk(0)(1)( )( )xkazkb為GM(1,1)模型的基本形式。注意：原始序列 (0)(0)(0)

14、(0)1 ,2 ,Xxxxn必是非負非負的，其中 ， 。(0)( )0 xk 1,2,kn若原始序列 不是非負的，則需要對 中的元素做平移變換平移變換，即令 其中 ， 。(0)X(0)X(0)(0)( )( )xkxk+1,2,kn0 顯然，由此得到的累加生成序列 和均值生成序列 都是非負非負的。 (1)X(1)Z 關(guān)于GM(1,1)模型 的參數(shù)a和b如何確定？(0)(1)( )( )xkazkb若 為參數(shù)列，且( , )TPa b(0)(0)(0)(2)(3)( )xxYxn(1)(1)(1)(2)1(3)1( )1zzBzn則其最小二乘估計參數(shù)列滿足1, TTTPa bBBB Y問題1 關(guān)

15、于GM(1,1)模型 的解如何確定？(0)(1)( )( )xkazkb問題2(白化方程)解得其時間響應(yīng)函數(shù)為：(1)(1)d xa xbd t(1)(0)( )(1)akbbxtxeaa 通過對一般微分方程的深刻剖析定義了系列的灰導(dǎo)數(shù)，從而使我們能夠利用離散數(shù)據(jù)序列建立近似的微分方程模型：1.解得時間響應(yīng)序列為：(1)(0)(1)(1)akbbxkxeaa(0)(1)(1)(0)(1)(1)( )1(1)aakbxkxkxkexea 2. 原始數(shù)據(jù)序列 的預(yù)測值：(2,3, )kn(0)X注意：(0)( )xk1.(1,2, )kn是原始數(shù)據(jù)序列(0)( )xk(1,2, )kn的擬合值。2

16、.(0)( )xk()kn是原始數(shù)據(jù)序列預(yù)測值。如何檢驗GM(1,1)模型的精度？問題3殘差：殘差：(0)(0)( )( )( )q kxkxk平均相對誤差：平均相對誤差：相對誤差：相對誤差：精度：精度：(0)(0)(0)(0)( )( )( )( )100%100%( )( )q kxkxkkxkxk21()( )1nkavgkn01()100%pavg 后驗差檢驗 關(guān)聯(lián)度檢驗 級比偏差檢驗此外,還有建立灰色預(yù)測模型的一般步驟建立灰色預(yù)測模型的一般步驟 第一步：級比檢驗，建模可行性分析。 第二步：數(shù)據(jù)變換處理。 第三步： 用GM(1,1)建模。 第四步：模型檢驗。灰建模實例：灰建模實例：北方

17、某城市北方某城市1986-1992年交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)年交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)序號序號 年份年份 Leq序號序號 年份年份 Leq 1 1986 71.1 2 1987 72.4 3 1988 72.4 4 1989 72.1 5 1990 71.4 6 1991 72.0 7 1992 71.6表：某城市近年來交通噪聲數(shù)據(jù)表：某城市近年來交通噪聲數(shù)據(jù)dB(A) 第一步：級比檢驗，建?？尚行苑治觥?.建立交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)時間序列： (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,7Xxxx(71.1, 72.4, 72.4, 72.1, 71.4, 72.0, 71.6)2. 求級比：(0)(0)(1

18、)( )( )xkkxk(2),(3),(7)(0.9820, 1.0000, 1.0042, 1.0098, 0.9917, 1.0059)3. 級比判斷：2211( ), nnkee由于所有的 ，( )0.778800783, 1.284025417k(2,3,7)k ，故可以用 作滿意的GM(1, 1)建模。(0)X 第二步： 用GM(1,1)建模。1. 對原始數(shù)據(jù) 作一次累加：(0)X(1)(0)1( )( )kmxkxm(1,2,7)k (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,7Xxxx得：(71.1, 143.5, 215.9, 288, 359.4, 431.4, 503)2. 構(gòu)造

19、數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y ： (1)(1)(1)12(1)(2)107.32zxx (1)(1)(1)13(2)(3)179.32zxx (1)(1)(1)17(6)(7)467.22zxx (1)(1)(1)15(4)(5)323.72zxx (1)(1)(1)14(3)(4)251.952zxx (1)(1)(1)16(5)(6)395.42zxx于是得到：(0)(0)(0)(0)(0)(0)72.4(2)72.4(3)72.1(4),71.4(5)72.0(6)71.6(7)xxxYxxx(1)(1)(1)(1)(1)(1)107.3 1(2) 1179.7 1(2) 1251.95 1(

20、2) 1323.7 1(2) 1359.4 1(2) 1467.2 1(2) 1zzzBzzz 3.最小二乘估計求參數(shù)列 ：( , )TPa b0.0023437972.65726961, TTTPa bBBB Y于是得到 。0.00234379,72.6572696ab4. 建立模型：(0)(1)( )0.00234379( )72.6572696xkzk解得時間響應(yīng)序列為：(1)(0) (1)(1)akbbxkxeaa0.0023437930928.8525930999.95259ke（） 5. 求生成數(shù)列值 及模型還原值 ：(0)(1)xk (1) (1)xk 令 代入時間響應(yīng)函數(shù)可算得

21、 ，其中取 。1, 2, 6k (1) ( )xk(1)(0)(1)(1)(1)(1)71.1xxx由累減生成 ，得還原值：0)(0)(0)( )( )(1)xkxkxk (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,7xxxx(71.1, 72.4, 72.2, 72.1, 71.9, 71.7, 71.6) 第三步： 模型檢驗。序號序號 年份年份 原始值原始值模型值 殘差 相對誤差 1 1986 71.1 2 1987 72.4 3 1988 72.4 4 1989 72.1 5 1990 71.4 6 1991 72.0 7 1992 71.6 71.1 0 0 72.4 0 0 72.2 0.2

22、 0.28% 72.1 0 0 71.9 -0.5 -0.7% 71.7 0.3 0.42% 71.6 0 0 表：表：GM(1,1)模型檢驗表模型檢驗表平均相對誤差：平均相對誤差：21()( )0.0021nkavgkn01()100%99.8%pavg精度：精度： 經(jīng)驗證，該模型的精度較高，可進行預(yù)報和預(yù)測。MCM2006年 A題艾滋病療法的艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測評價及療效的預(yù)測 艾滋病(ADIS)是當(dāng)前人類社會最嚴(yán)重的瘟疫之一，從1981年美國發(fā)現(xiàn)首例艾滋病以來，它已經(jīng)吞噬了近3000萬人的生命。我國自1985年發(fā)現(xiàn)首例艾滋病到2003年底，我國有艾滋病感染者84萬人，到2010年

23、感染艾滋病病毒人數(shù)將達到1000萬。艾滋病已對我國的經(jīng)濟發(fā)展造成威脅，并帶來了一系列政治與社會問題。對艾滋病療法的研究，意義重大。 背背 景景 艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”, 英文簡稱HIV.引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時，其數(shù)量會急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。 艾滋病治療的目的艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地

24、降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。 迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對人體有副作用，而且成本也很高。許多國家和醫(yī)療組織都在積極試驗、尋找更好的AIDS療法。問題一問題一 美國艾滋病醫(yī)療試驗機構(gòu)ACTG公布的數(shù)據(jù)，ACTG320（見附件1）是同時服用zidovudine（齊多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韋）3種藥物的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。 利用附件1的數(shù)據(jù)預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間（繼續(xù)治療指在測試終止后繼續(xù)服藥，如果認為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。 問題二問題二 美國艾滋病醫(yī)療試驗機構(gòu)ACTG公布的數(shù)據(jù)，193A（見附件2）是將1300多名病人隨機地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測試成本很高）。4種療法的日用藥分別為： 1. 600mg zidovudine或400mg didanosine（去羥基苷），這兩種藥按月輪換