第二章圖形的變換（姜小龍）

1、第二章 圖形的變換 圖形變換是一種重要的思想方法，它是一種以變化的、運(yùn)動的觀點(diǎn)來處理孤立的、離散的問題的思想，很好地領(lǐng)會這種解題的思想實(shí)質(zhì)，并能準(zhǔn)確合理地使用，在幾何的解題中，當(dāng)題目給出的條件顯得不夠或者不明顯時，我們可以將圖形作一定的變換，這樣將有利于發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，抓住問題的關(guān)鍵和實(shí)質(zhì)，使問題得以突破，找到滿意的解答，也將有效地提高思維品質(zhì) 初中圖形變換包含平移、翻折和旋轉(zhuǎn)，我們要通過實(shí)驗(yàn)、操作、觀察和想象的方法掌握運(yùn)動的本質(zhì)，在圖形的運(yùn)動中找到不變量，然后解決問題.2.1 圖形的平移與對稱火車沿筆直的軌道行駛、纜車沿筆直的索道滑行、火箭升空等物體都是沿著一條直線運(yùn)動 上面圖片反映的是

2、日常生活中物體運(yùn)動的一些場景你還能舉出一些類似的例子嗎？與同伴交流在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動稱為平移（translation）平移不改變圖形的形狀和大小.一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在一條直線上）且相等；對應(yīng)線段平行（或在一條直線上）且相等，對應(yīng)角相等例1 如圖，將面積為 5 的 ABC 沿BC 方向平移至 DEF 的位置，平移的距離是邊 BC 長的兩倍，那么圖中的四邊形 ACED 的面積是多少？分析 (1)對應(yīng)點(diǎn)的距離等于平移的距離；(2)利用“平移前后的兩個圖形全等”“平移前后對應(yīng)線段平行且相等”是解決平移問題的基本方法解 設(shè)

3、點(diǎn)A到BC的距離為h，則SABCBC·h5.平移的距離是BC的長的2倍，AD2BC，CEBC，四邊形ACED的面積(ADCE)·h(2BCBC)·h3×BC·h3×515. 例2 如圖，兩個全等的ABC和DEF重疊在一起，固定ABC，將DEF進(jìn)行如下變換：（1）如圖1，DEF沿直線CB向右平移（即點(diǎn)F在線段CB上移動），連接AF、AD、BD，請直接寫出SABC與S四邊形AFED的關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時，若四邊形AFBD為正方形，那么ABC應(yīng)滿足什么條件？請給出證明；（3）在（2）的條件下，將DEF沿DF折疊，

4、點(diǎn)E落在FA的延長線上的點(diǎn)G處，連接CG，請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sinCGF的值分析 (1)由平移可知AD=BE，從而可得SDBE=SDFA，SABC=SDFE，SDFE=SDFB+SDBE，SABC=S四邊形AFBD；（2）若四邊形AFBD是正方形，則AFB=90°，AF=BF，又CF=BF，從而可知AF=AF=BF，從而可得BAC=90°，AB=AC；（3）由（2）知，ABC為等腰直角三角形, 從而可知GF=2CF，設(shè)CF= k,則GF=EF=CB=2k，由勾股定理，得：CG=k,從而可求得sinCGF=.解 (1) SABC=S四邊形AFBD；(2) ABC

5、為等腰直角三角形，即：AB=AC，BAC=90°,理由如下：為BC的中點(diǎn)，CF=BF，CF= AD，AD= BF，又ADBF，四邊形AFBD為平行四邊形，AB=AC,為BC的中點(diǎn)，AFBC，平行四邊形AFBD為矩形，BAC=90°,F為BC的中點(diǎn)，AF=BC=BF，四邊形AFBD為正方形；(3) 正確畫出圖形由（2）知，ABC為等腰直角三角形, AFBC，設(shè)CF=k，則GF=EF=CB=2k，由勾股定理，得：CG=k，sinCGF=.例3 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (0，)，點(diǎn)B在軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段

6、AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E的直 線與軸交于點(diǎn)F，與射線DC交于點(diǎn)G. (1)求DCB的度數(shù)； (2)當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-4，0)時，求點(diǎn)G的坐標(biāo)； (3)連結(jié)OE，以O(shè)E所在直線為對稱軸，OEF經(jīng)軸對稱變換后得到OEF，記直線EF與射線DC的交點(diǎn)為H. 如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時，求證：DEGDHE； 若EHG的面積為，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo). （圖2）（圖1） 解：(1) 在RtAOD中， tanDAO=， DAB=60°. 四邊形ABCD是平行四邊形 DCB=DAB=60° (2) 四邊形ABCD是平行四邊形 CDAB DGE=AFE又DEG=AEF，DE=AEDEGAEF DG

7、=AFAF=OF-OA=4-2=2DG=2點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，) (3)CDABDGE=OFEOEF經(jīng)軸對稱變換后得到OEFOFE=OFE DGE=OFE 在RtAOD中，E是AD的中點(diǎn) OE=AD=AE 又EAO=60° EOA=60°， AEO=60°又EOF=EOA=60° EOF=OEAADOF OFE=DEHDEH=DGE又HDE=EDGDHEDEG 點(diǎn)F的坐標(biāo)是F1(，0)，F(xiàn)2(，0). (給出一個得2分) 軸對稱與軸對稱圖形  軸對稱軸對稱圖形定義 把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這

8、條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn) 如果一個圖形沿一條直線對折后，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做它的對稱軸這時我們也說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱 軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系： 區(qū)別聯(lián)系軸對稱軸對稱是指兩個圖形的對稱關(guān)系把軸對稱的兩個圖形看成一個“整體”（一個圖形），則稱為軸對稱圖形；把軸對稱圖形的互相對稱的兩個部分看成“兩個圖形”，則它們成軸對稱軸對稱圖形軸對稱圖形是指具有某種對稱特性的一個圖形軸對稱的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形全等；對稱點(diǎn)的連線段被對稱軸垂直平分；對應(yīng)線段所在的直線如果相交，則交點(diǎn)在對

9、稱軸上；軸對稱圖形的重心在對稱軸上例4 如圖1，一張矩形紙片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿對角線BD對折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，BC交AD于點(diǎn)G（1）求證：AG=CG；（2）如圖2，再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，EN交AD于點(diǎn)M，求EM的長分析：（1）通過證明GABGCD即可證得線段AG、CG相等；（2）在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的長，則EN-MN=EM的長解：（1）證明：沿對角線BD對折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，A=C，AB=CD在GAB與GCD中，AB CD，AC，AGBCGD GABGCDAG=CG；（2）點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，ENAD，MN=

10、3，由折疊及平行線的性質(zhì)可知END=NDC=NDE，EN=ED，設(shè)EM=x，則ED=EN=x+3，由勾股定理得ED2=EM2+DM2，即（x+3）2=x2+42，解得x= ，即EM= 智慧園地1.平移改變的是圖形的 （ ） A 位置 B 大小 C 形狀 D 位置、大小和形狀2.經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段 （ ） A 平行 B 相等 C 平行且相等 D 既不平行,又不相等3.經(jīng)過平移,圖形上每個點(diǎn)都沿同一個方向移動了一段距離,下面說法正確的是（ ） A 不同的點(diǎn)移動的距離不同 B 既可能相同也可能不同 C 不同的點(diǎn)移動的距離相同 D 無法確定 4下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

11、 ） A等邊三角形 B等腰梯形 C平行四邊形 D正六邊形（第6題） 5下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（ ） A正方形 B矩形 C菱形 D平行四邊形 6ABC平移到DEF.如果AB8 cm，BE4 cm，DH3 cm，求圖中陰影部分的面積.（第1題）拓展延伸1如圖，邊長分別為1和2的兩個等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，設(shè)小三角形移動的距離為x，兩個三角形重疊面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？ 2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABOB8，ABO90°，yOC45°，射線OC以每秒2個單位長度的速度

12、向右平行移動，當(dāng)射線OC經(jīng)過B點(diǎn)時停止運(yùn)動設(shè)平行移動x秒后，射線OC掃過RtABO的面積為y.（第2題）(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x3秒時，射線OC平行移動到OC，與OA相交于點(diǎn)G，如圖所示，求經(jīng)過G，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式； 2.2 圖形的旋轉(zhuǎn)日常生活中，我們經(jīng)常見到（鐘表、風(fēng)扇、汽車方向盤，摩天輪，旋轉(zhuǎn)木馬 上面圖片反映的是日常生活中物體運(yùn)動的一些場景你還能舉出一些類似的例子嗎？與同伴交流在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點(diǎn)按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為旋轉(zhuǎn)（rotation），這個定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角. 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小一個圖形和它經(jīng)過旋

13、轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任意一組對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等如圖（1）作出ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°的圖形； （2）以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180°后兩個圖形是否重合？ 圖25 像這樣，把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)對稱或中心對稱，這個點(diǎn)叫做對稱中心這兩個圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn) 中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分中心對稱的兩個圖形是全等圖形例1 如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且DE=，ABF是

14、ADE的旋轉(zhuǎn)圖形 （1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？ （2）旋轉(zhuǎn)了多少度？ （3）AF的長度是多少？（4）如果連結(jié)EF，那么AEF是怎樣的三角形？ 圖26分析：由ABF是ADE的旋轉(zhuǎn)圖形，可直接得出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，要求AF的長度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)線段相等，只要求AE的長度，由勾股定理很容易得到。ABF與ADE是完全重合的，所以它是直角三角形 解：（1）旋轉(zhuǎn)中心是A點(diǎn) （2）ABF是由ADE旋轉(zhuǎn)而成的 B是D的對應(yīng)點(diǎn) DAB=90°就是旋轉(zhuǎn)角 （3）AD=1，DE= AE= 對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等且F是E的對應(yīng)點(diǎn) AF=（4）EAF=90°（與旋轉(zhuǎn)角相等）且AF=AE EAF是

15、等腰直角三角形例2 如圖所示，在RtABC中，ABC=90°將RtABC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到DEC，點(diǎn)E在AC上，再將RtABC沿著AB所在直線翻轉(zhuǎn)180°得到ABF連接AD（1）求證：四邊形AFCD是菱形；（2）連接BE并延長交AD于G，連接CG，請問：四邊形ABCG是什么特殊平行四邊形，為什么？分析：（1）需證明ACD是等邊三角形、AFC是等邊三角形，即可證明四邊形AFCD是菱形（2）可先證四邊形ABCG是平行四邊形，再由ABC=90°，可證四邊形ABCG是矩形解答：（1）證明：RtDEC是由RtABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°得到，AC=

16、DC，ACB=ACD=60°，ACD是等邊三角形，AD=DC=AC，又RtABF是由RtABC沿AB所在直線翻轉(zhuǎn)180°得到，AC=AF，ABF=ABC=90°，ACB=ACD=60°，AFC是等邊三角形，AF=FC=AC，AD=DC=FC=AF，四邊形AFCD是菱形 （2）四邊形ABCG是矩形 證明：由（1）可知：ACD，AFC是等邊三角形，ACBAFB，EDC=BAC=FAC=30°，且ABC為直角三角形，BC=AC，EC=CB，EC=AC，E為AC中點(diǎn)，DEAC，AE=EC，AGBC，EAG=ECB，AGE=EBC，AEGCEB，AG=B

17、C，四邊形ABCG是平行四邊形，ABC=90°，四邊形ABCG是矩形例3 如圖1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時針方向旋轉(zhuǎn)（1）如圖2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；圖3ABDGEFOMNC圖2EABGFOMNDC圖1A( G )B( E )COD( F )（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長線與GF

18、的延長線相交于點(diǎn)N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由分析：（1）只需證OBMOFN，可得BM=FN（2）只需證OBMOFN，可得BM=FN解：（1）BM=FN 證明：GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形， ABD =F =45°，OB = OF又BOM=FON， OBMOFN BM=FN （2）BM=FN仍然成立 證明：GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，DBA=GFE=45°，OB=OFMBO=NFO=135°又MOB=NOF， OBMOFN BM=FN例4 如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，長方形A

19、EFG的寬AE=，長EF=將長方形AEFG繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)15°得到長方形AMNH（如圖），這時BD與MN相交于點(diǎn)O（1）求DOM的度數(shù)；（2）在圖中，求D、N兩點(diǎn)間的距離；（3）若把長方形AMNH繞點(diǎn)A再順時針旋轉(zhuǎn)15°得到長方形ARTZ，請問此時點(diǎn)B在矩形ARTZ的內(nèi)部、外部、還是邊上？并說明理由分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得BAM=15°，即可得OKB=AOM=75°，又由正方形的性質(zhì)，可得ABD=45°，然后利用外角的性質(zhì)，即可求得DOM的度數(shù)；（2）首先連接AM，交BD于I，連接AN，由特殊角的三角函數(shù)值，求得HAN=30°

20、，又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求得DAN=45°，即可證得A，C，N共線，然后由股定理求得答案；（3）在RtARK中，利用三角函數(shù)即可求得AK的值，與AB比較大小，即可確定B的位置解 （1）根據(jù)題意得：BAM=15°，四邊形AMNH是矩形，M=90°，AKM=90°BAM=75°，BKO=AKM=75°，四邊形ABCD是正方形，ABD=45°，DOM=BKO+ABD=75°+45°=120°；（2）連接AN，交BD于I，連接DN，NH=，AH=，H=90°，tanHAN=，HAN=30

21、6;，AN=2NH=7，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：DAH=15°，DAN=45°，DAC=45°，A，C，N共線，四邊形ABCD是正方形，BDAC，AD=CD=3，DI=AI=AC=3，NI=ANAI=73=4，在RtDIN中，DN=5；（3）點(diǎn)B在矩形ARTZ的外部理由：如圖，根據(jù)題意得：BAR=15°+15°=30°，R=90°，AR=，AK=，AB=3，點(diǎn)B在矩形ARTZ的外部智慧園地1.下列關(guān)于旋轉(zhuǎn)和平移的說法正確的是（ ）A旋轉(zhuǎn)使圖形的形狀發(fā)生改變 B由旋轉(zhuǎn)得到的圖形一定可以通過平移得到C平移與旋轉(zhuǎn)的共同之處是改變圖形的位置和

22、大小 D對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等(第2題 )2. 如圖，在RtABC中，ACB90°，A30°，BC2，將ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后，得到EDC，此時，點(diǎn)D在AB邊上，斜邊DE交AC邊于點(diǎn)F，則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為()A30,2 B60,2 C60， D60，3. 鐘表的時針經(jīng)過20分鐘，旋轉(zhuǎn)了_度。4如圖所示，邊長為3的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG，EF交AD于點(diǎn)H，那么DH的長為 。 (第4題 ) (第5題) (第6題) 5已知正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE = 2，EC = 1（如圖所示）， 把

23、線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處，則F、C兩點(diǎn)的距離為 .6如圖，已知，在ABC中，CACB，ACB90°，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，將ECF繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)度(0°90°)，得到MCN，連接AM，BN.(1)求證：AMBN；(2)當(dāng)MACN時，試求旋轉(zhuǎn)角的正弦值拓展探究7.把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中ABC=DEF=90°，C=F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，

24、射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q （1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時，易證APDCDQ此時， AP·CQ= （2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為其中0°90°，問AP·CQ的值是否改變？說明你的理由 （3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式 （圖2，圖3供解題用）()()()B(Q)CFEAP圖1圖2圖38.已知正方形ABCD和正方形EBGF共頂點(diǎn)B，連AF，H為AF的中點(diǎn)，連EH，正方形EBGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)（1）如圖1，當(dāng)F點(diǎn)落在BC上時，求證：EH=FC；（2）如圖

25、2，當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時，連BH，若AB=5，BG=2，求BH的長；（3）當(dāng)正方形EBGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，求的值2.3 幾何變換變換是由一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式的思想, 變換是思維的一種方式。幾何變換是將幾何圖形按某種法則或規(guī)律變成另一個幾何圖形的過程, 初中幾何變換主要有全等變換和相似變換兩類。軸對稱 (對折 )、平移、旋轉(zhuǎn)與相似 (放縮 ) 都是圖形的運(yùn)動與變換的例子。幾何圖形問題的解決，主要借助于基本圖形的性質(zhì)（定義、定理等）和圖形之間的關(guān)系(平行、全等、相似等）.基本圖形的許多性質(zhì)都源于這個圖形本身的“變換特征”，最為重要和最為常用的圖形關(guān)系“全等三角形”極多的情況也同樣具有

26、“變換”形式的聯(lián)系.本來兩個三角形全等是指它們的形狀和大小都一樣，和相互間的位置沒有直接關(guān)系，但是，在同一個問題中涉及到的兩個全等三角形，大多數(shù)都有一定的位置關(guān)系（或成軸對稱關(guān)系，或成平移的關(guān)系，或成旋轉(zhuǎn)的關(guān)系（包括中心對稱）.這樣，在解決具體的幾何圖形問題時，如果我們有意識地從圖形的性質(zhì)或關(guān)系中所顯示或暗示的“變換特征”出發(fā)，來識別、構(gòu)造基本圖形或圖形關(guān)系，那么將對問題的解決有著極為重要的啟發(fā)和引導(dǎo)的作用.下面我們從變換視角以三角形的全等關(guān)系為主進(jìn)行研究.例1 已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG（1）求證：EG=CG

27、；（2）將圖中BEF繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）將圖中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論（均不要求證明）分析（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG（2）結(jié)論仍然成立，連接AG，過G點(diǎn)作MNAD于M，與EF的延長線交于N點(diǎn)；再證明DAGDCG，得出AG=CG；再證出DMGFNG，得到MG=NG；再證明AMGENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG（3）結(jié)論依然成立還知道EG

28、CG解（1）證明：在RtFCD中，G為DF的中點(diǎn)，CG=FD，同理，在RtDEF中，EG=FD，CG=EG（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG連接AG，過G點(diǎn)作MNAD于M，與EF的延長線交于N點(diǎn)在DAG與DCG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，DAGDCG，AG=CG；在DMG與FNG中，DGM=FGN，F(xiàn)G=DG，MDG=NFG，DMGFNG，MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在AMG與ENG中，AM=EN，AMG=ENG，MG=NG，AMGENG，AG=EG，EG=CG思考：你還能用其他方法來證明嗎？（3）解：（1）中的結(jié)論仍然成立即EG=CG其他的結(jié)論還有：E

29、GCG 例2 已知四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=120°，MBN=60°，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1），易證AE+CF=EF；當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明分析 根據(jù)已知可以利用SAS證明ABECBF，從而得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，從而得出ABE=CBF=30°，BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關(guān)系，即可推出AE+

30、CF=EF同理圖2可證明是成立的，圖3不成立解 ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120°，MBN=60°，ABE=CBF=30°，BEF為等邊三角形；AE=BE，CF=BF；AE+CF=BE+BF=BE=EF；圖2成立，圖3不成立證明圖2延長DC至點(diǎn)K，使CK=AE，連接BK，則BAEBCK，BE=BK，ABE=KBC，F(xiàn)BE=60°，ABC=120°，F(xiàn)BC+ABE=60°，F(xiàn)BC+KBC=60°，KBF=FBE=60°，KBFEBF，KF=

31、EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是AECF=EF例3 如圖1，是邊長分別為6和4的兩個等邊三角形紙片ABC和CD1E1疊放在一起（1）操作：固定ABC，將CD1E1繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到CDE，連接AD、BE，如圖2探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？并請說明理由；（2）操作：固定ABC，若將CD1E1繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于點(diǎn)F，在線段CF上沿著CF方向平移，（點(diǎn)F與點(diǎn)P重合即停止平移）平移后的CDE設(shè)為PQR，如圖3探究：在圖3中，除三角形ABC和CDE外，還有哪個三角形是等腰

32、三角形？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）；（3）探究：如圖3，在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，用x代數(shù)式表示出GH的長 分析（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BC，CD=CE，ACB=ECD=60°，然后求出ACD=BCE，再利用“邊角邊”證明ACD和BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；（2）求出ACF=30°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出CHQ=30°，從而得到ACF=CHQ，判斷出CHQ是等腰三角形；（3）求出CGP=90°，然后利用ACF的余弦表示出CG，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)表示出CH，然后根據(jù)GH=CGCH整理即

33、可得解解：（1）BE=CD理由如下：ABC與CDE是等邊三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=60°ACBACE=ECDACE，即BCE=ACD在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），BE=AD；（2）旋轉(zhuǎn)角為30°，BCF=30°，ACF=60°30°=30°，CHQ=RQPACF=60°30°=30°，ACF=CHQ，CHQ是等腰三角形；（3）CGP=180°ACFRPQ=180°30°60°=90°，CG=CPcos30°=（

34、x+4），CHQ是等腰三角形，CH=2CQcos30°=2x=x，GH=CGCH=（x+4）x=2x例4 如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，ABC=ADC=90°，MAN=BAD（1）如圖1，將MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明；（2）如圖2，將MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的延長線于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，將MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的反向延長線于M

35、、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明分析（1）可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換延長MB到G，使BG=DN，連接AG目的就是要證明三角形AGM和三角形ANM全等將MN轉(zhuǎn)換成MG，那么這樣MN=BM+DN了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵三角形AMG和AMN中，只有一條公共邊AM，可以通過其他的全等三角形來實(shí)現(xiàn)，在三角形ABG和AND中，已知了一組直角，BG=DN，AB=AD，因此兩三角形全等，那么AG=AN，1=2，那么1+3=2+3=MAN=BAD由此就構(gòu)成了三角形ABE和AEF全等的所有條件（SAS），就能得出MN=GM了（2）按

36、照（1）的思路，可以通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換在BM上截取BG，使BG=DN，連接AG根據(jù)（1）的證法，可得出DN=BG，GM=MN，那么MN=GM=BMBG=BEDN（3）按照（1）的思路，可以通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換在DN上截取DF，使DF=BM，連接AG根據(jù)（1）的證法，可得出DAF=BAM，AF=AM，那么MN=NF=DNDF=BNBM解（1）證明：延長MB到G，使BG=DN，連接AGABG=ABC=ADC=90°，AB=AD，ABGADNAG=AN，BG=DN，1=41+2=4+2=MAN=BADGAM=MAN又AM=AM，AMGAMNMG=MNMG=BM

37、+BGMN=BM+DN（2）MN=BMDN證明：在BM上截取BG，使BG=DN，連接AGABC=ADC=90°，AD=AB，ADNABG，AN=AG，NAD=GAB，MAN=MAD+MAG=DAB，MAG=BAD，MAN=MAG，MANMAG，MN=MG，MN=BMDN（3）MN=DNBM例5 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），菱形OABC的頂點(diǎn)B，C在第一象限，tanAOC=，將菱形繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角（0°<<AOC）得到菱形FADE（點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F），EF與OC交于點(diǎn)G，連結(jié)AG。（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)OG=4時

38、，求AG的長；（3）求證：GA平分OGE；（4）連結(jié)BD并延長交軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，0）時，求點(diǎn)G的坐標(biāo)。來源:Z_x分析（1）如圖1，過點(diǎn)B作BHx軸于點(diǎn)H，構(gòu)建直角ABH，所以利用菱形的四條邊相等的性質(zhì)和解該直角三角形得到AH、BH的長度，則易求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖1，過點(diǎn)A作AMOC于點(diǎn)M，構(gòu)建直角OAM和直角AMG，通過解直角OAM求得直角邊AM的長度，然后結(jié)合圖形和勾股定理來求AG的長度；（3）如圖1，過點(diǎn)A作AMOC于點(diǎn)M，構(gòu)建全等三角形：AOMAFN（ASA），利用該全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AM=AN，最后結(jié)合角平分線的性質(zhì)證得結(jié)論；（4）如圖2，過點(diǎn)G作GQx軸于點(diǎn)Q，構(gòu)建相似三角形：GOABAP，根據(jù)該相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到求得GQ的長度結(jié)合已知條件tanAOC=，來求邊OQ的長度，即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BHx軸于點(diǎn)H，四邊形OABC為菱形，OCAB，BAH=COAtanAOC=，tanBAH=又在直角BAH中，AB=5，BH=AB=4，AH=AB=3，OH=OA+AH=5+3=