高考一輪復(fù)習(xí)-兩角和與差的正弦余弦和正切公式培訓(xùn)資料

1、高考一輪復(fù)習(xí)-兩角和與差的正弦余弦和正切公式(2)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式: :S S22:sin2=_.:sin2=_.C C22:cos2=_=_=_.:cos2=_=_=_.T T22:tan2=_(:tan2=_( +k, +k,且且k+ ,kZ).k+ ,kZ).2sincos2sincoscoscos2 2-sin-sin2 2 2cos2cos2 2-1-1 1-2sin1-2sin2 222tan 1tan422.2.必備結(jié)論必備結(jié)論 教材提煉記一記教材提煉記一記(1)(1)降冪公式降冪公式:cos:cos2 2= ,sin= ,sin2

2、2= = (2)(2)升冪公式升冪公式:1+cos2=2cos:1+cos2=2cos2 2,1-cos2=2sin,1-cos2=2sin2 2.(3)(3)公式變形公式變形:tan:tantan=tan(tan=tan()(1)(1 tantan).tantan).3.3.必用技法必用技法 核心總結(jié)看一看核心總結(jié)看一看(1)(1)常用方法常用方法: :整體代入法整體代入法, ,配湊法配湊法. .(2)(2)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想: :轉(zhuǎn)化化歸思想轉(zhuǎn)化化歸思想. .1cos 221 cos 2.2(3)(3)記憶口訣記憶口訣: :余余正正符號異余余正正符號異, ,正余余正符號同正余余正符號同, ,

3、二倍角二倍角, ,數(shù)余弦數(shù)余弦, ,找聯(lián)系找聯(lián)系, ,抓特點(diǎn)抓特點(diǎn), ,牢記憶牢記憶, ,用不難用不難. .【小題快練】【小題快練】1.1.思考辨析思考辨析 靜心思考判一判靜心思考判一判(1)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角兩角和與差的正弦、余弦公式中的角,是任意的是任意的.(.() )(2)(2)存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù),使等式使等式sin(+)=sin+sinsin(+)=sin+sin成立成立.(.() )(3)(3)公式公式tan(+)= tan(+)= 可以變形為可以變形為tan+tan=tan+tan=tan(+)(1-tantan),tan(+)(1-tantan),且對任意角且對

4、任意角,都成立都成立.(.() )(4)(4)存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù),使使tan 2=2tan.(tan 2=2tan.() )tan tan 1tan tan 【解析】【解析】(1)(1)正確正確. .對于任意的實(shí)數(shù)對于任意的實(shí)數(shù),兩角和與差的正弦、余弦公兩角和與差的正弦、余弦公式都成立式都成立. .(2)(2)正確正確. .如取如取=0,=0,因?yàn)橐驗(yàn)閟in0=0,sin0=0,所以所以sin(+0)=sin=sin+sin0.sin(+0)=sin=sin+sin0.(3)(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .變形可以變形可以, ,但不是對任意角但不是對任意角,都成立都成立. .,+k+ ,kZ.,+k+ ,k

5、Z.(4)(4)正確正確. .當(dāng)當(dāng)=k(kZ)=k(kZ)時(shí)時(shí),tan 2=2tan.,tan 2=2tan.答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)22.2.教材改編教材改編 鏈接教材練一練鏈接教材練一練(1)(1)(必修必修4P1304P130例例4T(1)4T(1)改編改編)sin108)sin108cos42cos42-cos72-cos72sin42sin42= =. .【解析】【解析】原式原式=sin(180=sin(180-72-72)cos42)cos42-cos72-cos72sin42sin42=sin72=sin72cos42cos42-cos72-

6、cos72sin42sin42=sin(72=sin(72-42-42)=sin30)=sin30= .= .答案答案: :1212(2)(2)(必修必修4P137A4P137A組組T5T5改編改編) )已知已知則則cos =_.cos =_.4 5cos(),65 36 ，【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)榇鸢福捍鸢福?,3624,cos(),26653sin()1 cos (),665cos cos()66cos()cossin()sin6666433134 3.525210 所以又所以所以34 3103.3.真題小試真題小試 感悟考題試一試感悟考題試一試(1)(2014(1)(2014上海高考上海

7、高考) )函數(shù)函數(shù)y=1-2cosy=1-2cos2 2(2x)(2x)的最小正周期是的最小正周期是. .【解析】【解析】y=-2cosy=-2cos2 2(2x)-1=-cos4x,(2x)-1=-cos4x,所以函數(shù)的最小正周期所以函數(shù)的最小正周期T= .T= .答案答案: :22(2)(2014(2)(2014新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷)函數(shù)函數(shù)f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+)-2sin)-2sincos xcos x的最大值為的最大值為. .【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)=sin(x+f(x)=sin(x+)-2sin)-2sincos xcos x=sin xcos=s

8、in xcos+cos xsin+cos xsin-2sin-2sincos xcos x=sin xcos=sin xcos-cos xsin-cos xsin=sin=sin(x-(x-) )1.1.故最大值為故最大值為1.1.答案答案: :1 1考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 化簡與計(jì)算化簡與計(jì)算【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015合肥模擬合肥模擬)cos(+)cos+)cos(+)cos+sin(+)sin=(sin(+)sin=() )A.sin(+2)A.sin(+2)B.sinB.sinC.cos(+2)C.cos(+2)D.cosD.cos(2)(2)計(jì)算計(jì)算tan25tan2

9、5+tan35+tan35+ tan25+ tan25tan35tan35= =. .(3) (3) 的化簡結(jié)果是的化簡結(jié)果是. .322cos 82 1 sin 8【解題提示】【解題提示】(1)(1)逆用兩角差的余弦公式化簡逆用兩角差的余弦公式化簡. .(2)(2)觀察式子的特點(diǎn)觀察式子的特點(diǎn), ,逆用兩角和的正切公式計(jì)算逆用兩角和的正切公式計(jì)算. .(3)(3)應(yīng)用二倍角的正、余弦公式化簡應(yīng)用二倍角的正、余弦公式化簡. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.cos(+)cos+sin(+)sinD.cos(+)cos+sin(+)sin=cos(+)-=cos.=cos(+)-=c

10、os.(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閠an(25tan(25+35+35)=)=所以所以tan25tan25+tan35+tan35=tan60=tan60(1-tan25(1-tan25tan35tan35) )= - tan25= - tan25tan35tan35, ,所以所以tan25tan25+tan35+tan35+ tan25+ tan25tan35tan35= - tan25= - tan25tan35tan35+ tan25+ tan25tan35tan35= .= .答案答案: :tan 25tan 351tan 25 tan 35，33333333(3)(3)原式原式= =2|co

11、s 4|+2|sin 4-cos 4|,=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以cos 40,cos 40,且且sin 4cos 4,sin 4cos 4,所以原式所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.答案答案: :-2sin 4-2sin 4224cos 4 2 (sin 4cos 4)534,42【易錯(cuò)警示】【易錯(cuò)警示】解答本例解答本例(3)(3)有三點(diǎn)容易出錯(cuò)有三點(diǎn)容易出錯(cuò): :(1)(1)想不到應(yīng)用二倍角公式想不到應(yīng)用二倍角公式, ,不能把根號下的式子化為完全平

12、方式不能把根號下的式子化為完全平方式. .(2)(2)把把4 4與與4 4弧度混淆弧度混淆, ,導(dǎo)致開方出錯(cuò)導(dǎo)致開方出錯(cuò). .(3)(3)忽略討論忽略討論cos4cos4的符號及的符號及sin4sin4與與cos4cos4的大小而直接開方導(dǎo)致出錯(cuò)的大小而直接開方導(dǎo)致出錯(cuò). .【互動探究】【互動探究】對于本例對于本例(2),(2),試化簡試化簡tan+tan(60tan+tan(60-)+-)+ tantan(60 tantan(60-).-).【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閠an+(60tan+(60-)=-)=所以所以tan+tan(60tan+tan(60-)-)=tan60=tan601-ta

13、ntan(601-tantan(60-)-)= - tantan(60= - tantan(60-),-),故原式故原式= - tantan(60= - tantan(60-)+ tantan(60-)+ tantan(60-)-)= .= .3tantan(60),1tan tan(60)333333【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】1.1.三角函數(shù)式化簡的要求三角函數(shù)式化簡的要求(1)(1)能求出值的應(yīng)求出值能求出值的應(yīng)求出值. .(2)(2)盡量使函數(shù)種數(shù)最少盡量使函數(shù)種數(shù)最少. .(3)(3)盡量使項(xiàng)數(shù)最少盡量使項(xiàng)數(shù)最少. .(4)(4)盡量使分母不含三角函數(shù)盡量使分母不含三角函數(shù). .(5)(

14、5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù). .2.2.特殊角的三角函數(shù)值的逆用特殊角的三角函數(shù)值的逆用當(dāng)式子中出現(xiàn)當(dāng)式子中出現(xiàn) 這些特殊角的三角函數(shù)值時(shí)這些特殊角的三角函數(shù)值時(shí), ,往往就是往往就是“由由值變角值變角”的一種提示的一種提示. .可以根據(jù)問題的需要可以根據(jù)問題的需要, ,將常用三角函數(shù)式表示出將常用三角函數(shù)式表示出來來, ,構(gòu)成適合公式的形式構(gòu)成適合公式的形式, ,從而達(dá)到化簡的目的從而達(dá)到化簡的目的. .131322，【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】1.1.化簡化簡sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-)sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-)= =

15、. .【解析】【解析】原式原式=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=sin(+)+(-)=sin(+)+(-)=sin(+).=sin(+).答案答案: :sin(+)sin(+)2.(20152.(2015西寧模擬西寧模擬) )計(jì)算計(jì)算: =: =. .【解析】【解析】 =tan(45=tan(45-15-15)=tan30)=tan30= .= .答案答案: :cos 15sin 15cos 15sin 15cos 15sin 151tan 15cos 15sin 151tan 153333【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)練】1.1.

16、化簡化簡 的結(jié)果是的結(jié)果是( )( )A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1【解析】【解析】選選C.C.原式原式= =22cos 2sin 1332233sin 13cos 13cos 1.2.2.化簡：化簡： =_.=_.【解析】【解析】答案：答案：8sincoscoscos484824128sincoscoscos484824124sincoscos24241212sincossin.121262123.3.計(jì)算：計(jì)算： =_.=_.【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閠an(20tan(20+40+

17、40)=)=所以所以tan 20tan 20+tan 40+tan 40= (1-tan 20= (1-tan 20tan 40tan 40),),所以原式所以原式= =答案：答案：- -tan 20tan 40tan 120tan 20 tan 40tan 20tan 40,1tan 20 tan 4033 1tan 20 tan 4033.tan 20 tan 40 3考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 三角函數(shù)求值三角函數(shù)求值【典例【典例2 2】(1)(2015(1)(2015臨沂模擬臨沂模擬) )計(jì)算計(jì)算 的值為的值為( () )(2)(2)計(jì)算計(jì)算:4sin40:4sin40-tan40-tan40=

18、=. .(3)(2015(3)(2015成都模擬成都模擬) )計(jì)算：計(jì)算：cos40cos40(1+ tan10(1+ tan10)=)=. .22sin 110 sin 20cos 25sin 251313A.B.C.D.2222 3【解題提示】【解題提示】(1)(1)利用誘導(dǎo)公式化大角為小角利用誘導(dǎo)公式化大角為小角, ,然后逆用二倍角公式求然后逆用二倍角公式求值值. .(2)(2)切化弦切化弦, ,通分化簡求值通分化簡求值. .(3)(3)切化弦切化弦, ,通分通分, ,注意逆用兩角和與差的三角函數(shù)公式注意逆用兩角和與差的三角函數(shù)公式. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.原

19、式原式= =sin 9020sin 20cos 50 1sin 40sin 20 cos 2012.cos 50cos 502sin 404sin 40 cos 40sin4024sin 40cos 40cos 402 cos10sin 10302sin 80sin 40cos 40cos 4031332cos 10sin 10cos 10cos 102222cos 40原式sin 10cos 40313(cos 10sin 10 )3cos 40223.cos 40cos 403答案：答案：答案：1 1cos 103sin 10(3)cos 40cos 1013cos 40 2( cos 1

20、0sin 10 )22cos 102cos 40 sin 3010sin 801.cos 10cos 10原式【一題多解】【一題多解】解答本例解答本例(2)(2)，你還有其他解法嗎？，你還有其他解法嗎？解答本例解答本例(2)(2)還可有如下解法：還可有如下解法：原式原式=4sin 40=4sin 40- -答案：答案：sin 404sin 40 cos40sin 40cos 40cos 402sin 5030sin 402sin 80sin 40cos 40cos 402sin 50 cos 302cos 50 sin 30sin 40cos 403sin 50cos 50sin 403cos

21、 403.cos 40cos 40 3【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】給角求值問題的三個(gè)變換技巧給角求值問題的三個(gè)變換技巧(1)(1)變角變角: :分析角之間的差異分析角之間的差異, ,巧用誘導(dǎo)公式把大角統(tǒng)一到小角上來巧用誘導(dǎo)公式把大角統(tǒng)一到小角上來, ,或或把某一非特殊角拆分成一特殊角與另一非特殊角的和把某一非特殊角拆分成一特殊角與另一非特殊角的和. .(2)(2)變名變名: :盡可能使得函數(shù)統(tǒng)一名稱盡可能使得函數(shù)統(tǒng)一名稱, ,?；覟榍谐；覟榍? .(3)(3)變式變式: :觀察結(jié)構(gòu)觀察結(jié)構(gòu), ,利用公式利用公式, ,整體化簡整體化簡. .提醒提醒: :“變式變式”時(shí)常用的方法有時(shí)常用的方法有“

22、常值代換常值代換”“”“逆用變用公式逆用變用公式”“”“通通分與約分分與約分”“”“分解與組合分解與組合”“”“配方與平方配方與平方”等等. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2015(2015南寧模擬南寧模擬) )計(jì)算：計(jì)算： =_.=_.【解析】【解析】答案：答案：2 223sin 702cos 10223sin 703cos 202cos 102cos 102232cos 1012.2cos 10【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)練】1.(20151.(2015昆明模擬昆明模擬) )計(jì)算：計(jì)算： =( )=( )A.4 B.2 C.-2 D.-4A.4 B.2 C.-2 D.-4【解析】【解析】選選D.D.

23、31cos 10sin 1703131cos 10sin 170cos 10sin 102sin 10303sin 10cos 10sin 10 cos 10sin 10 cos102sin202sin 204.1sin 10 cos 10sin 202 2.(20152.(2015三明模擬三明模擬) )計(jì)算：計(jì)算：_1 cos 201sin 10 (tan 5 )2sin 20tan 5【解析】【解析】原式原式答案：答案：22cos 10cos 5sin 5sin 10 ()2 2sin 10 cos 10sin 5cos 522cos 10cos 5sin 5cos 10cos 10sin

24、 10sin 1012sin 10sin 5 cos 52sin 10sin 102cos 10cos 102sin 202cos 102sin 102sin 1013cos 102( cos 10sin 10 )cos 102sin 3010222sin 102sin 103sin 103.2sin 10232考點(diǎn)考點(diǎn)3 3 三角函數(shù)的條件求值三角函數(shù)的條件求值知知考情考情利用和、差公式及倍角公式在已知條件下的求值問題是高考的熱利用和、差公式及倍角公式在已知條件下的求值問題是高考的熱點(diǎn)點(diǎn), ,常與平面向量的知識相結(jié)合常與平面向量的知識相結(jié)合, ,題型是三種類型都有題型是三種類型都有, ,但近

25、幾年常以但近幾年常以解答題的形式出現(xiàn)解答題的形式出現(xiàn). .明明角度角度命題角度命題角度1:1:與平面向量相結(jié)合的條件求值與平面向量相結(jié)合的條件求值【典例【典例3 3】(2014(2014陜西高考改編陜西高考改編) )設(shè)設(shè)0 ,0 ,向量向量a=(sin2,=(sin2,cos),cos),b=(1,-cos),=(1,-cos),若若ab=0,=0,則則sin2+cossin2+cos2 2=. .【解題提示】【解題提示】先由向量的運(yùn)算得到先由向量的運(yùn)算得到sinsin與與coscos的關(guān)系的關(guān)系, ,再由此關(guān)系再由此關(guān)系式確定方向式確定方向, ,求求sin2+cossin2+cos2 2的值

26、的值. .2【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】因?yàn)橐驗(yàn)閍b=0,=0,所以所以sin2-cossin2-cos2 2=0,=0,即即2sincos2sincos=cos=cos2 2.因?yàn)橐驗(yàn)?0, ),(0, ),所以所以2sin=cos,2sin=cos,即即tan= ,tan= ,所以所以sin2+cossin2+cos2 2=答案答案: :21222222sincoscos 2tan 18.sin cos tan 1585命題角度命題角度2 2：三角函數(shù)的給值求值三角函數(shù)的給值求值【典例【典例4 4】(2014(2014江蘇高考江蘇高考) )已知已知( ,),sin =( ,),sin =(1)

27、(1)求求sin( +)sin( +)的值的值. .(2)(2)求求cos( -2)cos( -2)的值的值. .【解題提示】【解題提示】(1)(1)先由條件求先由條件求cos cos 的值，再求的值，再求sin( +)sin( +)的值的值. .(2)(2)由由sin ,cos sin ,cos 的值，先求的值，先求sin 2,cos 2sin 2,cos 2的值的值, ,再求再求cos( -2)cos( -2)的值的值. .25.5456456【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由題意由題意cos =cos =所以所以sin( +)=sin cos +cos sin sin( +)=sin

28、 cos +cos sin 252 51 (),55 444 222 52510().252510432 sin 22sin cos cos 22cos 1,55555cos(2)coscos 2sinsin 266633143 34().252510 ，所以命題角度命題角度3 3：和函數(shù)相結(jié)合的條件求值和函數(shù)相結(jié)合的條件求值【典例【典例5 5】(2014(2014廣東高考廣東高考) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+ )f(x)=Asin(x+ )，xRxR，且且(1)(1)求求A A的值的值. .(2)(2)若若f()-f(-)= ,(0, )f()-f(-)= ,(0, )，求，

29、求f( -).f( -).【解題提示】【解題提示】(1)(1)把把 代入解析式求代入解析式求A A的值的值. .(2)(2)由已知條件利用兩角和與差的正弦和同角三角函數(shù)的關(guān)系求解由已知條件利用兩角和與差的正弦和同角三角函數(shù)的關(guān)系求解, ,求求解時(shí)要注意角的范圍解時(shí)要注意角的范圍. .353 2f().122326512【解析】【解析】(1)(1)由由(2)f()-f(2)f()-f()=)=553A 23 2f()Asin()AsinA3.12123422，可得3,3sin()3sin()333則，133133(sincos ) 3(cossin )3sin.22223 ，6(0,)cos23

30、f()3sin()3sin()3cos6.6632 因?yàn)?，所以，悟悟技法技?.1.與向量有關(guān)的求值問題的解法與向量有關(guān)的求值問題的解法三角函數(shù)的求值問題常與向量的坐標(biāo)運(yùn)算有關(guān)聯(lián)三角函數(shù)的求值問題常與向量的坐標(biāo)運(yùn)算有關(guān)聯(lián), ,這類問題需要先用這類問題需要先用向量公式進(jìn)行運(yùn)算后向量公式進(jìn)行運(yùn)算后, ,再用三角公式進(jìn)行化簡和求值再用三角公式進(jìn)行化簡和求值. .2.2.給值求值問題的解法給值求值問題的解法已知條件下的求值問題常先化簡需求值的式子已知條件下的求值問題常先化簡需求值的式子, ,再觀察已知條件與所再觀察已知條件與所求值的式子之間的聯(lián)系求值的式子之間的聯(lián)系( (從三角函數(shù)名及角入手從三角函數(shù)

31、名及角入手),),最后將已知條件及最后將已知條件及其變形代入所求式子其變形代入所求式子, ,化簡求值化簡求值. .3.3.和三角函數(shù)相結(jié)合的條件求值的解法和三角函數(shù)相結(jié)合的條件求值的解法該類問題的解答常先根據(jù)條件確定解析式并化簡函數(shù)解析式該類問題的解答常先根據(jù)條件確定解析式并化簡函數(shù)解析式, ,然后把然后把已知條件代入函數(shù)解析式化簡并求相關(guān)的值已知條件代入函數(shù)解析式化簡并求相關(guān)的值, ,變形成要求的式子并代變形成要求的式子并代入前面所求的值計(jì)算入前面所求的值計(jì)算. .通通一類一類1.(20151.(2015銅陵模擬銅陵模擬) )設(shè)設(shè) , ,若若 則則cos =cos = . .【解析】【解析】

32、因?yàn)橐驗(yàn)?, ,所以所以所以所以故故cos =cos =答案：答案：(0,)23sin(),65(0,)2,663 24cos()1 sin (),66543314 33cos().665252104 33102.(20132.(2013江西高考改編江西高考改編) )若若 則則cos2=cos2=. .【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以cos=cos=cos2=2coscos2=2cos2 2-1=-1=答案答案: :- -6cos23，6cos23，2612cos121,293 1721.99 793.(20153.(2015大同模擬大同模擬) )已知向量已知向量a=(4,5cos),=(4

33、,5cos),b=(3,-4tan).=(3,-4tan).若若ab, ,且且(0, ),(0, ),則則cos(2- )=cos(2- )=. .24【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍b，所以，所以ab0 0，即即12-20cos tan 12-20cos tan 0 0，所以，所以12-20sin 12-20sin 0 0，即，即sin sin 因?yàn)橐驗(yàn)?0(0， ) )，所以，所以cos cos 所以所以sin 2sin 22sin cos 2sin cos ，cos 2cos 21-2sin1-2sin2 2所以所以cos(2- )cos(2- )cos 2cos +sin 2sin cos 2cos +sin 2sin 答案：答案：3.524.524257.254447224231 2.2522525031 2504.(20144.(2014四川高考改編四川高考改編) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=sin(3x+ ).f(x)=sin(3x+ ).若若是第二