第十四章重積分

1、1. 證明：若函數(shù)在矩形閉區(qū)域上可積，則在上有界.證 假設(shè)在上可積,但在的任何一個分割,必在某個小區(qū)域時,任取,令,由于在上無界,即存在,使,從而 (*)另一方面,由于在上可積,取,故存在,對任一的分割,當時,的任一積分和都滿足.而此與(*)式矛盾,所以,在上有界.另證假設(shè)在上可積,但在的任何一個分割,必在某個小區(qū)域時,任取,令,由于在上無界,對任意的,都存在,使,從而 (*)所以 .此與在上可積的定義矛盾.2. 設(shè)在可求面積的區(qū)域上連續(xù),證明：(1) 若在上,非負且在上不恒為零,則(2) 若在內(nèi)任一子區(qū)域上都有,則在上.證 (1) 由已知,存在,使.則存在,對一切,(其中),有.而在有界閉區(qū)

2、域上非負連續(xù),則有,其中表示為的面積.(2) 用反證法:假設(shè)在內(nèi)存在一點,使,不妨設(shè).則存在,使對一切(其中),有.這時,這與題設(shè)產(chǎn)生矛盾(為區(qū)域的面積).3. 證明：若在有界閉域上連續(xù),在上可積且不變號,則存在一點使得.證不妨設(shè),函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù),必存在最大值與最小值,使對,有.從而.若,即對任意的,等式成立.若.由介值定理,存在,使.等式得證.4. 應(yīng)用積分中值定理估計積分.解由于在有界閉區(qū)域上連續(xù),則由中值定理,存在,使得而,且,所以.習題14-21. 計算下列二重積分：(1); (2);(3);(4);(5);(6).解 (1) .(2) .(3) .(4) 令,則由可得,所以,

3、.(說明:(4)由計算過程可知,該題目應(yīng)放在第3節(jié)才對)(5) 令,由,所以,因而.(說明:(5)由計算過程可知,該題目應(yīng)放在第3節(jié)才對)(6) 令,則由可得,所以,.圖14-1(說明:(6)由計算過程可知,該題目應(yīng)放在第3節(jié)才對)2. 改變下列積分的次序：(1),; (2)，(3); (4).解 (1)積分區(qū)域如圖14-1所示.(2)根據(jù)已知累次積分知道它對應(yīng)的而重積分的積分區(qū)域為.如圖14-2所示.要改變積分順序,應(yīng)將積分區(qū)域分成三個型區(qū)域,所以 圖14-2(3)積分區(qū)域如圖14-3所示(4) 積分區(qū)域如圖14-4所示,所以 圖14-33. 設(shè)在上連續(xù)，為常數(shù).證明：(1);(2),.證

4、(1).圖14-4(說明:在最后一個定積分中,將積分變量換成,還可得原式)(2)4. 求旋轉(zhuǎn)拋物面，三個坐標面及平面所圍有界區(qū)域的體積.圖14-5解如圖14-55. 設(shè)為定義在上的函數(shù)，若與均為可積的函數(shù)，則在上可積，且.證,而,所以.由于是一常數(shù),因而可提到積分號的外面,于是得.6. 設(shè)在原點附近連續(xù)，求極限.解 由積分中值定理,得,其中為圓域內(nèi)的一點.顯然,當時,點.于是,根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性知:.習題14-3后,試將它化為累次積分:(1),若,;(2),其中,若;(3),其中,若.解 (1),所以.(2),或,或.所以.(3) 因為變換將變換成,所以2.對積分進行極坐標變換并寫出變換后不同順

5、序的累次積分,(1)當為由不等式所確定的區(qū)域,(2); (3).解 (1) 令則極坐標變換將變成,從而(2) 令則極坐標變換將變成,從而(3)令則極坐標變換將變成,從而3.用極坐標計算下列二重積分:(1),其中;(2),其中;(3),其中;(4),其中.解 (1)已在第2節(jié)中出現(xiàn)過!(2)令則極坐標變換將變成,從而.(3) 令則極坐標變換將變成,從而.(4) 令則極坐標變換將變成,從而.4.求由和所圍立體的體積.解 立體在平面上的投影區(qū)域為,令,則.所以.5.設(shè)為連續(xù)函數(shù),且.證明:.證 令則,于是.習題14-41計算下列三重積分(1),其中=-2,5×-3,3×0,1;(

6、2),其中(3)，由曲面所圍成；(4)，由曲面圍成的位于第一卦限的有界區(qū)域.(5),其中是由與三個坐標面所圍成的區(qū)域;(6),其中是由及所圍成的區(qū)域.(7),其中是由所圍成的區(qū)域.(8),其中為繞軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面與所圍成的區(qū)域.解 (1)(2)圖14-6(3) 積分區(qū)域如圖14-6所示。圖14-7(4)積分區(qū)域如圖14-7所示（與教材的參考答案不一樣,請檢查）圖14-8(5)積分區(qū)域如圖14-8(6)積分區(qū)域如圖14-9圖14-9(7)積分區(qū)域如圖14-10所示圖14-10.(8) 積分區(qū)域如圖14-11所示圖14-112試改變下列累次積分的順序:(1);(2).解積分區(qū)域,如圖14-15,它

7、在平面上的投影區(qū)域,所以;圖14-15它在平面上的投影區(qū)域,所以它在平面上的投影區(qū)域,所以圖14-16(2) 積分區(qū)域,如圖14-16,它在平面,平面及上的投影區(qū)域分別為,以及, 所以習題14-51. 采用適當?shù)淖儞Q計算下列三重積分：圖14-17(1),由曲面圍成；(2),圖14-18其中由所圍成；(3)，由圍成；(4),由圍成；圖14-19(5),.解 (1) 積分區(qū)域如圖14-17所示.用柱坐標變換,得圖14-20(2)積分區(qū)域如圖14-18所示,用先二后一法進行積分,得(3)積分區(qū)域如圖14-19所示,用柱坐標變換,得(與參考答案不附)圖14-21(4) 積分區(qū)域如圖14-20所示,用球

8、坐標變換計算(5) 積分區(qū)域如圖14-21所示,是上半單位球體,故應(yīng)用柱坐標變換，則= （這是一個很有趣的題目，從題目的情況來看，使用球坐標變換應(yīng)該更方便一些，但情況卻恰恰相反，使用球坐標變換后的三次積分反而不好算。所以，很多問題必須具體問題具體分析，才可能選到最好的解決問題的途經(jīng)）2. 設(shè)球體上各點的密度等于該點到坐標原點的距離，求這球的質(zhì)量解 密度函數(shù),則球體的質(zhì)量.應(yīng)用球坐標變換將球體變成,所以圖14-22.3. 求由拋物面與錐面所圍成的空間的體積.解 曲面圍成的立體如圖14-22所示,故可用柱面坐標計算.4. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),證明:,其中為單位球.證令,則,所以習題14-1 求球面被柱面所截取部分曲面的面積.解曲面圍成的立體如圖14-23所示,上半球面的方程為.由圖14-24,得.由對稱性知2 求柱面與所圍成立體的表面積.解曲面圍成的立體在第一卦限的部分如圖14-23所示,由對稱性知,所圍立體的表面積等于第一卦限中位于柱面,所以求曲面的面積.解，所以.求密度函數(shù)的均勻上半球體:的重心.解 由對稱性知,重心坐標應(yīng)為,而,所以,重心坐標為和平面