3高考本源探究之?dāng)?shù)列不等式

1、數(shù)列高考試題探源及復(fù)習(xí)建議南昌一中 喻瑞明數(shù)列題在高考試卷中出現(xiàn)非常有規(guī)律：兩個(gè)選填題或一個(gè)大題重視基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，重視數(shù)學(xué)思想方法考查我們現(xiàn)在一起探索高考數(shù)列題的命題規(guī)律，及對今后數(shù)列命題、復(fù)習(xí)的一些思考1、近幾年全國高考數(shù)列試題統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)了全國I卷近五年、全國II卷近五年、全國III卷近三年文理共26份試卷以大題形式考查，全部是在第17題，14年II卷題考查了先放縮再求和，從而證明不等式，有一定難度，其它題均是基本題型，比較容易；以小題形式考查，有1題次出現(xiàn)在第12題（2017理科1卷，考查分組數(shù)列求和），2題次出現(xiàn)在題（遞推公式求通項(xiàng)，），其它題都是偏容易題型，以數(shù)列基本量的換算

2、題型出現(xiàn)次數(shù)最多重視轉(zhuǎn)化與化歸思想，無論是遞推公式求通項(xiàng)，還是數(shù)列求和，都注重將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列解決；重視函數(shù)與方程思想，考查數(shù)列的函數(shù)特性，利用函數(shù)圖像、性質(zhì)等求數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)，數(shù)列基本量的換算體現(xiàn)的是設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程的基本思想2、數(shù)列基本量的換算等差、等比數(shù)列的基本量有首項(xiàng)、公差（比），項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)、和，這些量之間的相互換算，是高考題中常見題型例1（2017年I卷理科第4題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若，則的公差為A1B2C4D8【答案】C題目來源：課本例題和習(xí)題思想方法：設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程的方程思想這類題大多數(shù)學(xué)生能比較快的做好，對這類題，我們還有哪些方面可以幫助同學(xué)

3、，或者說高考這類題型還可以從哪些方面變化呢？2.1靈活應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 要求同學(xué)特別熟悉等差、等比數(shù)列性質(zhì)，特別注意關(guān)注數(shù)列項(xiàng)與和的下標(biāo)聯(lián)系，簡化條件，盡量列出易解方程【例1】另解由聯(lián)想到，從而得到，兩式相減得到2.2 熟悉設(shè)未知數(shù)的方法一般設(shè)，也可以設(shè)為，如果等差數(shù)列已知和未知都只與有關(guān)，設(shè)更好算，同樣，如果等比數(shù)列已知和未知都只與有關(guān)，可以設(shè)【例1變式1】（2015年II卷文科第9題）已知等比數(shù)列滿足,則（ ） 【答案】C該題如果設(shè)公比，解方程，運(yùn)算稍微麻煩，結(jié)合性質(zhì)，把看成未知數(shù)，先求，再求，運(yùn)算量小2.3 重視解方程消元技巧等比數(shù)列基本量換算題，經(jīng)常會出現(xiàn)高次方程，需要同學(xué)有整

4、體思想，經(jīng)常將兩個(gè)方程相減、相加、相除，從而實(shí)現(xiàn)消元【例1變式2】（2017江蘇，9）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前項(xiàng)的和為,已知,則= 分析：當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則 ，兩式相除解得，所以，因此答案：2.4 數(shù)列性質(zhì)與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合【結(jié)論1】若奇函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，則【結(jié)論2】若函數(shù)在上單調(diào)，且圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，數(shù)列是等差數(shù)列，則：【例1變式3】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?shù)列是等差數(shù)列，若，則A恒為正 B恒為負(fù) C等于 D可正可負(fù)簡解： ，函數(shù)是奇函數(shù)，又，所以函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，得，根據(jù)結(jié)論1，選C【方法總結(jié)】（1）研究函數(shù)與數(shù)列綜合問題，不好入手，可以先看函數(shù)的性質(zhì)、圖

5、像等（2）利用上述結(jié)論解題，對函數(shù)有兩個(gè)要求：是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)；圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱2.5 與解不定方程結(jié)合數(shù)列與不定方程結(jié)合題，通常以存在性問題出現(xiàn)，一般問是否存在三項(xiàng)滿足條件難點(diǎn)在解不定方程，通常有：由不等式求范圍找整數(shù)解，由整除條件找約數(shù)，由奇偶性否定，由有理數(shù)、無理數(shù)否定等方法【例1變式4】（武漢市2015屆五月模考題理科18題）若是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，公差為，為其前項(xiàng)和，且滿足，若數(shù)列滿足，為數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求和；（2）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由（1）（2）3、遞推公式上述26份試卷中，遞推公式題出現(xiàn)次數(shù)多，但主要以

6、等差、等比數(shù)列的證明、判定為主，有兩題是只要求前幾項(xiàng)，只有兩題是直接由遞推公式求通項(xiàng)的，但這兩題仍然是通過轉(zhuǎn)化成等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)，沒有考查過累加、累乘等方法3.1 由遞推公式求前幾項(xiàng)【例2】（2014年II卷文科第16題） 數(shù)列滿足，則_題目來源：課本例題和習(xí)題思想方法：特殊與一般思想，字母的意義【答案】參考題：（北京高考題）已知，若數(shù)列滿足，則等于_.重視周期數(shù)列，善于歸納推理。3.2 轉(zhuǎn)化成等差、等比數(shù)列【例3】（2015理科I卷第17題）為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知0，=.（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè) ,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（）（）該題第一問是由遞推公式求通項(xiàng)，那么這類題是怎么來的呢？1.設(shè)

7、數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則遞推公式，是公差為的等差數(shù)列2.設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則遞推公式型，是公差為的等差數(shù)列3.設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則遞推公式型，是公差為的等差數(shù)列4.設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則遞推公式，是公差為的等差數(shù)列如5.設(shè)數(shù)列（）是公差為的等差數(shù)列，則，當(dāng)時(shí)，即為例3第1問6. 設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則遞推公式，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列（可用待定系數(shù)法求得）7.設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則遞推公式，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列如，【例3變式1】（山西省晉城市2018屆高三上學(xué)期第一次模擬）已知數(shù)列滿足， （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前10項(xiàng)和簡析： ，又提醒（

8、1）找數(shù)列的第項(xiàng)時(shí)，要注意不但的下標(biāo)要改成，式子中的每一個(gè)也要改成；（2）利用遞推公式消，提醒同學(xué)不能同時(shí)用遞推公式換；（3）利用定義法證明數(shù)列是等比數(shù)列，需要檢驗(yàn)不等于8.設(shè)數(shù)列（）是公比為的等比數(shù)列，則【例3變式2】【2016年III卷文科第17題】已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，.（I）求；（）求的通項(xiàng)公式.【答案】（）；（）9.設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則得到遞推式：【例3變式3】（2013年高考新課標(biāo)I（理）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=,則數(shù)列的通項(xiàng)公式是=_.4、特殊數(shù)列求和特殊數(shù)列（不是等差、等比數(shù)列）求和，我們基本思路是裂項(xiàng)相消或轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和，具體方法有：裂項(xiàng)重組、裂項(xiàng)相消

9、、并項(xiàng)、錯(cuò)位相減、倒序相加，這里我們重點(diǎn)提裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法4.1裂項(xiàng)相消特殊數(shù)列求和的一種重要方法，在考試中出現(xiàn)的頻率比較高具體過程是：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成另一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差，即，然后通過累加，消掉中間的項(xiàng)，剩下首末若干項(xiàng)，從而求出數(shù)列的和【例3 】（2015理科I卷第17題）為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知0，=.（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè) ,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（）（）該題第二問是裂項(xiàng)相消法求特殊數(shù)列的和，這類題目怎么來的呢？1.設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則（1）（2）（3） （4） 如令，得到【例4變式4】（2013年高考江西卷（理）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足:(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,數(shù)

10、列bn的前項(xiàng)和為.證明:對于任意的,都有答案：，2.設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則令，則3.設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則,利用的單調(diào)性進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和如【例3變式5】（2014年高考新課標(biāo)II卷理科17）已知數(shù)列滿足（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； 答案： （2）證明： 4.設(shè)數(shù)列，是公比分別為的等比數(shù)列，則,利用的單調(diào)性進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和【例3變式6】（2012廣東理科19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且成等差數(shù)列（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；答案：（3）證明：對一切正整數(shù)，有簡解：4.2 錯(cuò)位相減法適用于差比型數(shù)列求和，是高考熱點(diǎn)之一，考查等差（比）數(shù)列定義，

11、考查等比數(shù)列定義、求和，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想同學(xué)對錯(cuò)位相減法是又愛又恨，愛是因?yàn)榉椒ㄈ菀紫氲健⑷菀讓W(xué)會，恨是因?yàn)榛ê芏鄷r(shí)間，容易算錯(cuò)【例4】求數(shù)列的前項(xiàng)和1兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：（1）兩式相減時(shí)漏掉式中的第一項(xiàng)或式中的最后一項(xiàng)；（2）利用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，錯(cuò)誤認(rèn)為式中間是項(xiàng)，這里為了避免考慮項(xiàng)數(shù)，盡量選擇公式；2最后結(jié)果是可以驗(yàn)證的，如時(shí)， 時(shí)，3.思考：我們都熟悉裂項(xiàng)相消法求和，這里我們能不能把表示成另一個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的和呢？設(shè)，待定系數(shù)得：，即，這樣我們就可以用裂項(xiàng)相消法求和了， 對于差比型數(shù)列（其中等差，等比）求和，我們可以考慮把通項(xiàng)拆成：，其中是等差數(shù)列，可以通過觀察出來，也可以通過待定系數(shù)

12、得到，從而得：5、數(shù)列最大（小）項(xiàng)數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或其子集）的函數(shù)，因此我們研究數(shù)列的最大（小）項(xiàng)可以利用數(shù)列的函數(shù)特性，借助研究函數(shù)最值常用方法來解決，體現(xiàn)函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想這類題經(jīng)常出現(xiàn)在較難的選填題和解答題第二問【例5】（2013年2卷理科16題）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，已知，則 的最小值為_.5.1 數(shù)列單調(diào)性法是通過判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而求出數(shù)列最大（小）項(xiàng)的方法分享兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)：（1）判斷數(shù)列單調(diào)性常用方法：判斷的符號，若恒為正，則數(shù)列是遞增數(shù)列，若恒為負(fù)，則數(shù)列為遞減數(shù)列；（2）若數(shù)列在時(shí)遞增，在時(shí)遞減，則的最大項(xiàng)為；若數(shù)列在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，則的最小項(xiàng)為5.2 圖像法(見

13、錄像課)5.3 整體法通過理解數(shù)列項(xiàng)的大小、正負(fù)等，整體把握數(shù)列前項(xiàng)和或前項(xiàng)積的變化規(guī)律，從而求出其最大（?。╉?xiàng)的方法【規(guī)律總結(jié)】（1）數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則是的最小值的充要條件是（2）數(shù)列是遞減數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則是的最大值的充要條件是（3）各項(xiàng)均為正的數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)積為，則是的最小值的充要條件是（4）各項(xiàng)均為正的數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)積為，則是的最大值的充要條件是【例5變式】（2012南昌市二模）已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，又依次成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，其中為大于的常數(shù)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析

14、：（1），；（2）由（1）得，我們需要研究這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和的最值，因?yàn)榇笥?，所以隨增大而減小，即，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是6、數(shù)列分組問題分組數(shù)列最早起源于數(shù)學(xué)競賽，然后慢慢走進(jìn)高考中【例6】（2017年1卷理科第12題）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前

15、N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A440B330C220D110【答案】A【題源】（2003年全國高考理科第22題）設(shè)是集合中所有的數(shù)從小到大排列，即將數(shù)列各項(xiàng)按照上小下達(dá)，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：（1） 寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；（2） 求數(shù)列是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)，如果數(shù)列的排列規(guī)律比較復(fù)雜，不是我們常見的等差、等比數(shù)列，我們經(jīng)常對其按一定規(guī)則分組，使我們更容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列項(xiàng)的排列規(guī)律，從而找到該數(shù)列的項(xiàng)或和，常見的分組方法有：數(shù)字特征分組、循環(huán)特征分組、增項(xiàng)缺項(xiàng)分組6.1數(shù)字特征分組對排列規(guī)律不明顯的數(shù)列，我們可以通過觀察其各項(xiàng)的數(shù)字特征：如分子、分母的

16、和，冪的底數(shù)、指數(shù)和或差等，根據(jù)數(shù)字特征分組【例6變式1】已知數(shù)列：，則這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)滿足（ ） A B C D我們可以發(fā)現(xiàn)：第組各項(xiàng)分子、分母的和為，分子由遞減到，分母由遞增到，共有項(xiàng)由，我們得到前組共有項(xiàng)，找滿足不等式的最小的正整數(shù)，估算：，這樣我們可以確定在第組的第項(xiàng)，所以的分母是，分子、分母和為，因此分子為，即，選A答案：A6.2增缺項(xiàng)分組在原數(shù)列基礎(chǔ)上增加或刪去部分項(xiàng)得到新數(shù)列，需要求新數(shù)列的項(xiàng)或和，我們可以對其進(jìn)行分組研究，分組策略是以增加項(xiàng)或缺項(xiàng)為分組界項(xiàng)【例6變式2】【2018年浙江卷】已知集合將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則使得成立的的最小值為_

17、第組有且只有中的一個(gè)元素：，各組其他的元素是中元素依次排列，第組的第一個(gè)奇數(shù)是，最后一個(gè)奇數(shù)是，前組包含的奇數(shù)有：奇數(shù)，共個(gè)，因此前組所有項(xiàng)的和是：，若是第組的最后一個(gè)數(shù)，即，則不等式化為：，即，解得，所以即，因此滿足不等式，現(xiàn)在我們只要思考在第六組最后一項(xiàng)即滿足不等式外，還有沒有項(xiàng)滿足條件，設(shè)第六組的第項(xiàng)滿足條件，則該項(xiàng)為，前組所有項(xiàng)和為，第六組前項(xiàng)和為：，所以不等式可以化為：，即，驗(yàn)證滿足這個(gè)不等式的最小的整數(shù)為，這時(shí)，是第個(gè)奇數(shù)，在其前面有集合中的個(gè)元素，所以，所以滿足不等式的最小的正整數(shù)的值為6.3 循環(huán)特征分組：見微課程7、易錯(cuò)點(diǎn)7.1 總是忘記了“”由前項(xiàng)和公式求通項(xiàng)是數(shù)列中的常見題，大家都知道可以通過公式：消去，從而求通項(xiàng)，但我們用這個(gè)公式解題時(shí)，經(jīng)常忘記當(dāng)時(shí)的情形【例7】已知數(shù)列滿足，若，則等于_分析：是不是很開心，這下我總不會忘記你，時(shí)，！錯(cuò)解：由，得，兩式相減得到：，由累乘知道：，將代入，得到：，所以，正解： 又當(dāng)時(shí)，條件化為：，所以，所以答案：7.2數(shù)不清的項(xiàng)數(shù)利用等差、等比數(shù)列求和時(shí)，我們同學(xué)總是不注意項(xiàng)數(shù)的判斷，習(xí)慣認(rèn)為就是項(xiàng)，從而導(dǎo)致出錯(cuò)，要讓我們同學(xué)養(yǎng)成好的習(xí)慣，注意觀察前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而找到最后一項(xiàng)是第幾項(xiàng)【例8】設(shè)，則