221橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1

1、2.2 2.2 橢橢 圓圓第一課時(shí)第一課時(shí) 2.2.1 2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程aMF1 F2 MOaOM 新課引入新課引入 在前面圓的方程中我們知道：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)在前面圓的方程中我們知道：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓的軌跡是圓. 那么，到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡又是那么，到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡又是什么呢？什么呢？數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 實(shí)實(shí) 驗(yàn)驗(yàn)o(1)取一條細(xì)繩，取一條細(xì)繩，o(2)把它的兩端把它的兩端 固定在板上的兩固定在板上的兩 點(diǎn)點(diǎn)F1、F2o(3)用鉛筆尖用鉛筆尖 （M）把細(xì)繩拉）把細(xì)繩拉 緊，在板上慢慢緊，在板上慢慢 移動(dòng)

2、看看畫(huà)出的移動(dòng)看看畫(huà)出的 圖形圖形M觀察做圖過(guò)程觀察做圖過(guò)程(1)繩長(zhǎng)應(yīng)繩長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)大于當(dāng)大于F1、F2之間的距之間的距離。離。(2)由于繩長(zhǎng)固定，由于繩長(zhǎng)固定，所以所以 M 到兩個(gè)定點(diǎn)的距到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和也固定。離和也固定。F1F2（一）橢圓的定義（一）橢圓的定義o平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和（的和（2a）等于定長(zhǎng)（大）等于定長(zhǎng)（大于于|F1F2 |）的點(diǎn)的軌跡叫）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。橢圓。o定點(diǎn)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦叫做橢圓的焦點(diǎn)。點(diǎn)。o兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距（距（2C）。）。橢圓定義的文字表述：橢圓定義的文字表述：橢圓定義的符號(hào)表述：橢圓定義的

3、符號(hào)表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1時(shí)，當(dāng)2121FFMFMFMF1 F2 時(shí)，當(dāng)2121FFMFMF概念辨析概念辨析小結(jié)（小結(jié)（1）：滿足幾個(gè)條件）：滿足幾個(gè)條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓？的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓？（1）平面上）平面上-這是大前提這是大前提（2）動(dòng)點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn) M 到兩個(gè)定點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2 的距離之和是常數(shù)的距離之和是常數(shù) 2a （3）常數(shù)）常數(shù) 2a 要大于焦距要大于焦距 2CaMFMF221(2a2c)用定義判斷下列動(dòng)點(diǎn)用定義判斷下列動(dòng)點(diǎn)M M的軌跡是否為橢圓的軌跡是否為橢圓. .(1)(1)到到F F1 1(-2,0)(-2,0)、F F2 2(2,0)(2,0

4、)的距離之和為的距離之和為6 6的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡. .(2)(2)到到F F1 1(0,-2)(0,-2)、F F2 2(0,2)(0,2)的距離之和為的距離之和為4 4的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡. .(3)(3)到到F F1 1(-2,0)(-2,0)、F F2 2(0,2)(0,2)的距離之和為的距離之和為3 3的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡. .是是不是不是是是 概念辨析概念辨析（二）橢圓方程的推導(dǎo)（二）橢圓方程的推導(dǎo)F1F2M基本步驟：基本步驟：（1）建建系系（2）設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)（3）限限式式（4）代代換換（5）化化簡(jiǎn)、證明簡(jiǎn)、證明新知探究新知探究aMF1 F2 MaOM aMFMF22121FFxyx

5、yoo新知探究新知探究MF1 F2 xyo新知探究新知探究F1F2M0 xy解：以線段解：以線段F1F2中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1F2所在直線為所在直線為x軸，建立平面直軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則角坐標(biāo)系，則F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)。設(shè)設(shè)M(x, y)，則，則 |MF1|MF2|2a,即即aycxycx2)()(2222將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方，整理得將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方，整理得兩邊再平方，得兩邊再平方，得a42a2cx+c2x2=a2x22a2cx+a2c2+a2y2,整理得整理得 (a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2),由橢圓的定義可知由橢圓的定義可知 2a2c

6、 2a2c 即即 acac所以所以022 ca兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以22ba12222byax得得0222bbca令令222222bayaxb得得12222byax叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在的焦點(diǎn)在x x軸上。焦點(diǎn)是軸上。焦點(diǎn)是F F1 1,0 , c,0 ,2cF222bac但但 如果使點(diǎn)如果使點(diǎn)21FF ,在在y y軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)21FF ,的坐標(biāo)分別的坐標(biāo)分別, 01cFcF,02，a,ba,b的意義同上。的意義同上。那么方程為那么方程為12222bxay它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓焦點(diǎn)是焦

7、點(diǎn)是, 01cF., 02cF的焦點(diǎn)在的焦點(diǎn)在y軸上。軸上。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(一一) 0(12222babyax它表示：它表示：(1)橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在x軸上軸上(2)焦點(diǎn)是焦點(diǎn)是F1（-C，0）,F2（C，0）(3)a2= b2 + c2F1F2M0 xy橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（二）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（二）) 0(12222babxay它表示它表示:(1)橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在y軸上軸上(2)焦點(diǎn)是焦點(diǎn)是F1（0，-C）,F2（0，C）(3)a2= b2 + c2 F1F2M0 xy1=169y+144x222）1=16y+25x122）答答:在在 x 軸上軸上(-3,0)和和(3,

8、0）答答:在在 y 軸上軸上(0,-5)和和(0,5）1=1+my+mx32222）答答:在在y 軸上軸上(0,-1)和和(0,1)判定下列橢圓的焦點(diǎn)在判定下列橢圓的焦點(diǎn)在 哪個(gè)軸上，哪個(gè)軸上，并指明并指明a2、b2，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo).概念辨析概念辨析判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則：判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則： 焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。例例1 1 寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程方程. .(1)a = 4 , b = 1, (1)a = 4 , b = 1, 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸上軸上. .(2)a = 4 ,

9、 c = ,(2)a = 4 , c = ,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y y軸上軸上. .15(3)a + b = 10 , c = .(3)a + b = 10 , c = .52典例講評(píng)典例講評(píng)注意：注意：“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是個(gè)專用名詞，是個(gè)專用名詞，就是指上述的兩個(gè)方程，形式是固定的。就是指上述的兩個(gè)方程，形式是固定的。 （1 1）已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是）已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2-2，0 0），（），（2 2，0 0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn) . .)23,25(典例講評(píng)典例講評(píng)（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0， -4 ）、（）、（0，4）橢圓上一點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于到兩焦點(diǎn)距離的和等于10；求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程例例2 2求橢圓方程的方法和步驟：求橢圓方程的方法和步驟：根據(jù)題意，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；根據(jù)題意，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；（根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程）（根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程）根據(jù)條件確定根據(jù)條件確定a,ba,b的值；的值；寫(xiě)出橢圓的方程寫(xiě)出橢圓的方程.形成結(jié)論形成結(jié)論即為先定位（定焦點(diǎn)位置），