初中數(shù)學(xué)《新課標(biāo)》“數(shù)與代數(shù)”專題講座

1、專題講座初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù) 綦春霞（北京師范大學(xué)，教授） 史炳星（北京教育學(xué)院，副教授，教研員） 王瑞霖（北京師范大學(xué)教育學(xué)部，博士） 數(shù)與代數(shù)在這一部分內(nèi)容主要涉及到 6 個話題，前三個是和內(nèi)容有關(guān)系的，第一個話題是數(shù)與式，第二個話題方程與不等式，第三個話題是函數(shù)；另外三個話題，是基于知識之上側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的一些方面的能力，一是運算能力，一是符號意識，再一個是模型思想。 話題一 數(shù)與式 一、重點 關(guān)于數(shù)與式的主要內(nèi)容，包括有理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式和二次根式，代數(shù)式主要是整式和分式。這一部分內(nèi)容的重點應(yīng)當(dāng)是強(qiáng)調(diào)理解數(shù)的意義，建立數(shù)感，理解代數(shù)式的表述功能，建立符號感，同時理解運算的意義，強(qiáng)調(diào)運算的必要

2、性。 二、內(nèi)容的變化 （一）降低了對于實數(shù)運算的要求。比如“會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根與算術(shù)平方根，用立方運算求某些數(shù)的立方根”轉(zhuǎn)化為“會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根”。（二）取消了對“有效數(shù)字”的要求，但重視學(xué)生的估算能力，要求學(xué)生理解近似數(shù)。例如 “能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍”, “了解近似數(shù)，在解決實際問題中，能用計算器進(jìn)行近似計算，并按問題的要求對結(jié)果取近似值”。（三）與實驗稿比較，加強(qiáng)了對二次根式的要求，比如對二次根式的化簡，分母有理化，但二次根式的運算僅僅限于根號下是數(shù)的情況。（四）在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義。

3、例如要求“借助現(xiàn)實情境了解代數(shù)式，進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義?！保ㄎ澹┳⒅卮鷶?shù)式的實際應(yīng)用和實際意義。例如要求“能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示?！币约啊皶蟠鷶?shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進(jìn)行計算?！保τ诖鷶?shù)式的意義，除了關(guān)注數(shù)學(xué)意義外，還關(guān)注現(xiàn)實的意義。 （七）強(qiáng)調(diào)幾何直觀的作用。（八）知道a的含義（這里 a 表示有理數(shù)）。 三、價值及作用 數(shù)與式這部分內(nèi)容，在代數(shù)當(dāng)中甚至在整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中，都是非常重要的。具體的來講，有下面的幾點： 第一點，通過數(shù)與式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的價值，能夠培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)

4、學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。 關(guān)于數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，以及培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用意識，可以舉如下的例子：在我們學(xué)習(xí)數(shù)軸的時候，學(xué)生通過觀察溫度計、天平的標(biāo)尺以及常見的兩個相反方向行走的例子，能夠從這些現(xiàn)象當(dāng)中得到數(shù)軸、抽象出數(shù)軸的這樣一個概念。接下來我們就可以利用數(shù)軸聯(lián)系數(shù)學(xué)內(nèi)部的一些知識，即應(yīng)用于數(shù)學(xué)內(nèi)部。同時數(shù)軸作為一種工具，它又能很好地幫助學(xué)生理解其他生活中的問題，比如時區(qū)問題，化學(xué)中的一些常見的問題等等。 這就是我們說的核心的概念：幾何直觀。從溫度計抽象出數(shù)軸來，同時數(shù)軸又幫助學(xué)生理解有理數(shù)及實數(shù)的概念。學(xué)習(xí)有理數(shù)之后數(shù)軸還不能被充滿，但是學(xué)了實數(shù)之后這個數(shù)軸就被充滿了。這樣直觀的一個工

5、具，對于學(xué)生來理解實數(shù)是非常有幫助的。 第二點，我們來談?wù)勱P(guān)于數(shù)的概念和運算、代數(shù)式的建立、以及推導(dǎo)與探究性的活動，有利于學(xué)生形成數(shù)感、符號感的問題。學(xué)習(xí)數(shù)的概念和數(shù)的運算，除了學(xué)生會運算之外，數(shù)感和符號感也都是在這個過程當(dāng)中逐漸發(fā)展起來的，而且通過學(xué)習(xí)數(shù)的概念和數(shù)的運算，不僅能夠提高學(xué)生的運算能力，同時也能夠發(fā)展學(xué)生的推理能力，對于提高學(xué)生的思維水平都是非常重要的載體。如：對于一般化的處理方法，因為字母表示數(shù)，實際上就是把數(shù)的概念和運算進(jìn)行了一般化的處理，這樣就把學(xué)生的思維水平提高到抽象化的水平，同時也會逐漸通過式的建立以及對式的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，逐步形成模型的思想。 我們在學(xué)習(xí)冪的運算這一部分內(nèi)

6、容時，教師們通常是讓學(xué)生在原有的一些知識基礎(chǔ)之上，猜想觀察猜想出冪的運算規(guī)律，從數(shù)的計算開始，103 × 102 = 10 5 =10 3+2 ，a 4× a 3 =a 7 =a4+3 ，a m· a n a m + n 逐步地提升到用字母來表示。再將這個公式應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題，這樣的話，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般，再從一般到特殊這樣一個過程，體會了這樣一個數(shù)學(xué)思想。但這個過程我想其實充分體現(xiàn)了符號對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。我們觀察冪的運算公式，會發(fā)現(xiàn)冪之間所做的運算，如果冪之間做的是乘除運算，到了指數(shù)上它就會變?yōu)榧訙p運算，運算等級降了一級，冪做乘方的運算，在指數(shù)上就變?yōu)榱顺朔ǖ?/p>

7、運算，其實也是降了一級。而學(xué)生無論通過觀察，還是在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下，他都能夠認(rèn)識這樣的規(guī)律，產(chǎn)生這樣的意識，這正是學(xué)生積累了一定的符號感。符號感的獲得一方面基于對算理的理解，也是基于學(xué)生不斷的歸納和類比和各種方法的運用，就可以逐步獲得這樣一種意識。 這個例子挺好，里面就體現(xiàn)了符號表示的一般化作用，因為在前面通過具體的數(shù)字產(chǎn)生了一種猜想，有可能這個同底的冪做乘法是指數(shù)相加，然后再根據(jù)指數(shù)冪的意義進(jìn)行計算，就得到一個一般化結(jié)論，所以這個過程中除了有符號感，也有合情推理的成分。因此我們認(rèn)為，這部分內(nèi)容不僅能夠發(fā)展學(xué)生的運算能力，而且也發(fā)展了學(xué)生的符號感還有推理能力。 第三點價值，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)里面，我們

8、經(jīng)?？吹揭恍α⒔y(tǒng)一思想。例如在一些概念、一些量中我們會發(fā)現(xiàn)，正數(shù)與負(fù)數(shù)，精確與近似，還有已知與未知之間的轉(zhuǎn)換等等這些概念中都蘊含著統(tǒng)一思想。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)確實有助于學(xué)生提高他們用唯物主義的思想和科學(xué)的觀點來認(rèn)識客觀事件的能力。而且也體現(xiàn)模型思想，比如正數(shù)與負(fù)數(shù)，在生活中我們表示東與西就用正數(shù)與負(fù)數(shù)，所以正數(shù)負(fù)數(shù)它不單純就是我們所學(xué)的計算等等，最后它已經(jīng)成為表示具有相反意義的量的一個數(shù)學(xué)模型。 話題二 方程與不等式  一、重點 方程與不等式在初中階段主要涉及到這樣一些內(nèi)容，一個就是關(guān)于方程的，比方說一元一次方程，二元一次方程組，一元二次方程，可化為一元一次方程的分式方程。不等式主要是

9、一元一次不等式，和一元一次不等式組。 方程和不等式這個話題里面，這部分內(nèi)容一個我們強(qiáng)調(diào)方程和不等式的模型思想，也就是說如何從現(xiàn)實生活中去把問題進(jìn)行抽象，用這種方程的形式和不等式的關(guān)系刻劃出來，然后進(jìn)行講學(xué)，最后運用到現(xiàn)實問題。所以這一部分內(nèi)容就是一個重點，還是突出它的模型思想，當(dāng)然另外一個部分，也是我們在這部分內(nèi)容所突出的一個重點，那就是如何解這個方程和不等式。 二、內(nèi)容的變化 在方程部分變化的內(nèi)容為： （一）與實驗稿相比，有些內(nèi)容適當(dāng)增加：如一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，但不要求應(yīng)用這個關(guān)系解決其他問題，了解就可以了，不要深挖洞。 （二）三元一次方程組作為選學(xué)內(nèi)容。 （三）一些具體要求，如一

10、元二次方程只要求解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；分式方程只要求解可化為一元一次方程的分式方程，并且方程中的分式不超過兩個。 （四）刪除了部分內(nèi)容，如由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的解法；由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程的方程組成的方程組的解法。這是與大綱相比發(fā)生的變化。 在不等式部分變化的內(nèi)容為： （一）強(qiáng)調(diào)結(jié)合具體問題，在具體情境中探索不等式的意義。而且強(qiáng)調(diào)了過程目標(biāo)“探索”，強(qiáng)調(diào)對于不等式組解的幾何意義的理解。 （二）刪除了一元一次不等式組的應(yīng)用。 （三）解不等式中對相關(guān)的內(nèi)容作出了限定。如能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式。 三、價值及作用 這里想突出方程與不等式

11、的三個主要的作用，第一個是模型思想。這點非常重要。另外涉及到的一點就是化歸的思想方法，我們解方程組等等一系列過程都涉及到化歸。第三點，這部分內(nèi)容對后續(xù)學(xué)習(xí)是一個非常重要的內(nèi)容，因此我們說它在整個數(shù)與代數(shù)里面有著非常重要的作用和價值。 首先，方程與不等式的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生形成建模思想。 方程的模型思想主要是指根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)過必要的抽象，提煉出未知數(shù)與已知數(shù)之間具有的等量關(guān)系，列出方程（組）；在列出方程后，再運用方程（組）求解的各種方法，求出方程（組）的解，進(jìn)而解決問題，從而體會方程（組）是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型，是貫穿方程與方程組的一條主線。 “相等”與“不等”是數(shù)學(xué)中兩

12、種基本的數(shù)量關(guān)系，二者相輔相成，形成對數(shù)量關(guān)系的完整認(rèn)識，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可缺少的基礎(chǔ)知識和有效工具，也是分析和解決一些實際問題的重要方法。 說到模型思想，我們在教學(xué)當(dāng)中曾經(jīng)用到這樣一個案例：一位同學(xué)小明，如果給出了他的走路速度和跑步速度：走路平均速度為 6km/h ，跑步平均速度為 10km/h ，又給出了從家到學(xué)校的距離為 2km ，有了這樣的條件，可以提出什么樣的一些問題呢？在和同學(xué)們討論之后，學(xué)生反應(yīng)非常熱烈。這里我們拿出一個例子跟老師們分享：有的學(xué)生提出了這樣一個補充條件，說他走在路上，走著走著突然發(fā)現(xiàn)自己有東西落在家里了，于是就趕緊跑回去，跑回家去取東西，接下來又跑到學(xué)校，跑到學(xué)

13、校發(fā)現(xiàn)所用的時間和走到學(xué)校的時間是一樣，也就是說到校的時間是沒有變化，那問小明是在什么地方或者走了多久發(fā)現(xiàn)自己落了東西？ 學(xué)生在提出這樣一個問題之后，要想確定出這個問題的模型，首先就要考慮，小明走到學(xué)校到底要花多長時間？通過計算得出用 20 分鐘。接下來在這次上學(xué)的過程中，到底發(fā)生了一些什么樣的事情，先走了一段路，接下來往回折返跑回去，相當(dāng)于從家又跑到了學(xué)校，這個過程當(dāng)中學(xué)生們通過分析通過畫圖通過各種各樣的方法，發(fā)現(xiàn)他跑的這一段路程實際上走路的路程多出來的就是家到學(xué)校的距離，即 2 公里。如果設(shè)未知數(shù)，我們就可以利用等量關(guān)系列出方程： 設(shè) t 分鐘之后返回，用 2 公里這個路程作為等量關(guān)系可以

14、列出這樣的方程： ，進(jìn)而解決問題。 當(dāng)然學(xué)生還可以改變條件，或提出各種各樣的補充條件，在這樣一個問題的基礎(chǔ)上，尋找“等量”“不等”這樣不同的關(guān)系，建立各種各樣的模型，用方程或不等式等多種方法來表述問題、解決問題，這個案例我想供老師們參考，希望能給大家一些啟發(fā)和思考。 關(guān)于列方程解決實際運用問題，有很多老師反應(yīng)比較難，找等量關(guān)系方面學(xué)生就比較有困難；找出等量關(guān)系了方程卻列不出來。像剛才的問題，有沒有什么好的建議？即怎么使學(xué)生能夠在分析實際問題的過程中抓住主要的關(guān)系，怎么能夠讀懂題目？怎么能夠提高他們分析問題和解決問題的能力？ 這確實是老師們比較頭疼的一個問題。學(xué)生在面對數(shù)學(xué)和生活聯(lián)系的時候，往往

15、很難直接找到它們之間的聯(lián)系建立模型。實際上學(xué)生在生活當(dāng)中，本身就應(yīng)用著數(shù)學(xué)，經(jīng)常面對數(shù)學(xué)，而教師們在設(shè)計問題或者說設(shè)計教學(xué)的時候，有的時候會忽略學(xué)生和實際數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。如果說利用剛才這樣的案例，給學(xué)生一個比較開放性的平臺，即給出的條件是不充足的，你再補充其他條件，這樣，問題也許會比較簡單，也許會比較復(fù)雜，也許有解也許沒有解，不同的階梯性補充，可能對水平存在差異的同學(xué)來說，確實是有很好的幫助。 有經(jīng)驗的教師也會發(fā)現(xiàn)，在解決方程與不等式建立模型或者說是列方程解決問題的時候，往往是在教師的引導(dǎo)下把問題簡化，指出主干讓學(xué)生去抓住問題當(dāng)中最基礎(chǔ)的這樣一個關(guān)系，這樣會使問題變得簡單，如果說一上來問題就比

16、較復(fù)雜的話，往往會挫傷學(xué)生的積極性，并且再處理起來，也確實無從下手。 第二方面，當(dāng)學(xué)生學(xué)方程和不等式的時候，對形成化歸的思想非常有幫助，我們知道，化歸就是把你原來不會的問題轉(zhuǎn)化成你能夠解決的問題，把復(fù)雜的問題變成一個簡單的問題。我們在求解方程的過程當(dāng)中，我們經(jīng)常用到合并同類項，移項去括號去分母等等，這樣一些方法來解決一元一次方程，以及可化為一元一次方程的分式方程，這是老師都比較熟悉的這樣一個解方程的步驟。再一個當(dāng)學(xué)二元一次方程組求解的時候，就可以通過消元，即把兩元變成一元，轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容。當(dāng)我們再學(xué)到一元二次方程的時候，我們也是想辦法降次，降次我們可能用到配方法，因式分解法，其實這些都體

17、現(xiàn)了我們所說的化歸思想。 第三方面，方程不等式同樣也是后面學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)一個非常重要的基石，例如我們談到根與系數(shù)的關(guān)系這部分內(nèi)容。當(dāng)然在一元二次方程中，只要學(xué)生能夠體會這種關(guān)系，而不需要他去擴(kuò)展解決其他問題。實際上根與系數(shù)的關(guān)系，作為一個普遍的規(guī)律在高次方程，一元 n 次方程的情況還是有適用性的。所以，學(xué)生通過這樣一個探索會發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律。一次方程，二次方程，高次方程等等這些方程，甚至是將來高等數(shù)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)當(dāng)中，根與系數(shù)關(guān)系都體現(xiàn)了一個很好的應(yīng)用，都體現(xiàn)了方程的模型思想，不同的只是解法不同。初中階段學(xué)習(xí)的方程和不等式其實對后續(xù)的學(xué)習(xí)是有非常大的幫助。 話題三 函數(shù)  一、重點 初中

18、階段函數(shù)部分的內(nèi)容，主要包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)， 在這個階段學(xué)習(xí)函數(shù)，重點就是要借助現(xiàn)實背景，在現(xiàn)實情景中理解函數(shù)的概念。而且在研究函數(shù)的性質(zhì)過程當(dāng)中，重點應(yīng)該是要利用圖象的方法直觀地發(fā)現(xiàn)函數(shù)。例如一次函數(shù)有什么特點？二次函數(shù)有什么特點？反比例函數(shù)呢？此外還有一個非常重要的方面，就是體會函數(shù)各種表示之間的聯(lián)系。例如函數(shù)的表示法，我們有表格表示，就是具體的看有一個 x 怎么和 y 對應(yīng)，另外就是有解析式表示，還有圖象表示。以前在傳統(tǒng)的教學(xué)當(dāng)中，可能這個解析式的表示我們用的比較多，表格、圖象表示用的比較少，不管在標(biāo)準(zhǔn)的實驗稿當(dāng)中還是修訂稿中，我們都要關(guān)注函數(shù)的圖象表示，借助函數(shù)的圖象來

19、研究函數(shù)的性質(zhì)，這是一種非常直觀的辦法。同時在這個修訂版的標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，也強(qiáng)調(diào)了對自變量取值范圍的討論，應(yīng)該結(jié)合具體的實際問題，在實際問題中討論自變量取值范圍，而不是說泛泛地、一般性地討論自變量的定義域、值域。 二、內(nèi)容的變化 （一）強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)的現(xiàn)實意義。如要求“結(jié)合具體情境體會一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達(dá)式?！?（二）強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，但不要求用圖象法求二元一次方程組的近似解。 （三）強(qiáng)調(diào)對于一次函數(shù)圖象變化的探索。例如“根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達(dá)式 y = kx + b (k 0) 探索并理解 k 0 和 k 0 時，圖象的變化情況?！?（四）強(qiáng)調(diào)用反比例函

20、數(shù)解決實際問題。如要求在具體情境中理解反比例函數(shù)的意義。 （五）突出反比例函數(shù)的圖象功能。能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式 (k 0) 探索并理解 k 0 和 k 0 時，圖象的變化情況。 （六）強(qiáng)調(diào)用函數(shù)解決實際問題。如要求在實際問題中分析體會二次函數(shù)的意義，并運用于實際，在實際問題中考慮自變量的取值范圍。 三、價值及作用 函數(shù)是非常有價值的內(nèi)容，首先變量之間的關(guān)系在現(xiàn)實世界當(dāng)中就是普遍存在的，如何研究變量之間的關(guān)系，從數(shù)學(xué)上解決這個問題，它的工具就是函數(shù)。所以對于學(xué)生來講，利用函數(shù)的方法解決現(xiàn)實問題，實際上是從常量的數(shù)學(xué)走到變量的數(shù)學(xué)，像在方程中，x 表示未知數(shù)，它實際上不是變量，

21、其實它是一個常量。在函數(shù)當(dāng)中就不一樣，它可能是自變量，也可能是因變量，所以從這個角度來講，從學(xué)生的思維角度來講，它是一種飛躍，而且通過變量的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以逐漸地形成辯證唯物主義的思想。 通過變量之間關(guān)系的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，因為學(xué)習(xí)函數(shù)，就要表示變量之間的關(guān)系，它有一個很重要的作用，就是利用函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行預(yù)測，或利用函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計算，未知的點可以通過函數(shù)關(guān)系把它計算出來。我們預(yù)測人口，如中國二十年以后的人口數(shù)量問題，可以根據(jù)對以前人口的統(tǒng)計、對數(shù)量進(jìn)行分析，根據(jù)它的變化規(guī)律來進(jìn)行預(yù)測。進(jìn)行計算也是函數(shù)非常重要的一個應(yīng)用，我們根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律，看其中某一些位置的點的函數(shù)值是多少等等

22、。另外由于在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，我們非常重視函數(shù)的圖象表示，所以對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀函數(shù)也是非常重要的載體。通過直觀分析函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生可以對函數(shù)的增減性，或者是周期性等等都能夠有很好的認(rèn)識。 從常量到變量數(shù)學(xué)的過渡階段，學(xué)生從小學(xué)階段就已經(jīng)開始。到了初中階段，學(xué)生又接觸到一些新的知識，他們逐漸在豐富的自己的認(rèn)識。如我們在教學(xué)中也曾經(jīng)向?qū)W生出示這樣的一些圖象，向?qū)W生提出問題：這些圖象都可以刻畫什么？ 不同的學(xué)生有著不同的一些想法。你能不能夠在現(xiàn)實生活中找到這樣的函數(shù)的一個實際背景或?qū)嵗?？例如第一個圖象，學(xué)生可能會說是勻速行駛的汽車的時間和路程之間的關(guān)系，也有學(xué)生會舉例子說，如果蘋果一斤是 2

23、元錢，這個圖表示的是蘋果斤數(shù)和總價的關(guān)系，這些例子都是比較樸素的。不妨再來看看第八個圖，有的學(xué)生會說，這個是向水桶中注水，最后達(dá)到了上限還要再注，時間與水面高度的關(guān)系；還有同學(xué)舉例子說，將 20 度的水加熱，加熱到沸騰；有的學(xué)生是說從甲地出發(fā)到了某地之后，這個車壞了怎么修也修不好；還有的說是彈簧的承重有一個限度，但它超過這個限度之后，長度就已經(jīng)超過了彈簧的承受能力，長度就不變了。當(dāng)然這些所舉的例子都還需要再斟酌。有的學(xué)生會說是小明的體溫，開始逐漸上升，最后持續(xù)高燒，這也是一種可能的情境。有非常多的學(xué)生都提出自己的想法，用來解釋以上圖象，即是說他們能夠從現(xiàn)實生活中挖掘出豐富的現(xiàn)實情景，去解釋各種

24、各樣的函數(shù)關(guān)系，我想在這樣一個過程中學(xué)生們就能真正體會到函數(shù)圖象的價值。這是在用解析式表達(dá)、學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)、應(yīng)用函數(shù)解決問題等等之外的收獲?？赡芪覀兪紫葢?yīng)該讓學(xué)生感受到的就是：函數(shù)離我們這么近，其實它就是這么普通。這樣，函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的取值范圍等在學(xué)生的理解中也就更簡化，更容易被他們所接受。 函數(shù)還有一個作用，體現(xiàn)在解方程中。即方程可用函數(shù)的方法去解，如果一個方程，我們不能用已學(xué)的的方法去解。例如三次方程，我們的學(xué)生還沒有學(xué)，就不會解，但是我們可以畫一下它的圖象，然后就可以以此來大致的估計一下它的解的范圍，對它的解形成一些初步的認(rèn)識。實際上在初中，方程、不等式還都可以看成函數(shù)的一種特殊情況。

25、 另外函數(shù)這一研究變量關(guān)系的方法，實際上對于其他的學(xué)科，如物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)及一些文科都有非常重要的作用，都是非常有力的工具。因此學(xué)好函數(shù)這部分內(nèi)容，搞好函數(shù)這部分的教學(xué)，在初中代數(shù)中是非常重要的。 話題四 運算能力  一、意義及作用 運算能力是一項基本的數(shù)學(xué)能力，初中數(shù)學(xué)中大多數(shù)問題的解決，都離不開運算。但是，教學(xué)中常常出現(xiàn)學(xué)生在計算時機(jī)械地搬用運算公式、盲目推算，缺乏合理選擇簡捷運算途徑的意識等。因此，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿將“運算能力”作為一項重要的內(nèi)容，同時提出運算能力培養(yǎng)的價值，即“有助于學(xué)生理解運算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\算途徑解決問題?！庇纱丝梢?，運算能力在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤

26、其是數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中具有重要的價值和意義。 二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義 課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿將“運算能力”界定為“能夠根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力?！薄罢_”是對運算結(jié)果的要求，這是進(jìn)行一切運算最終的也是最根本的要求?！案鶕?jù)法則和運算律”也就是運算的依據(jù)和運算的前提。這要求學(xué)生要理解運算時所用的法則和運算律，不僅如此，還要求會正確、恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用這些運算律、運算法則。 此外，課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿還指出了 “培養(yǎng)運算能力還有助于學(xué)生理解運算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\算途徑解決問題。”因此，運算能力不僅包含對運算意義、法則、公式、運算程序的正確理解，還包含對簡捷的運算途徑的合理選擇。這要求學(xué)生能夠根據(jù)問題的不同

27、條件和不同目標(biāo)，靈活地運用公式、法則和有關(guān)的運算律，能夠掌握同一個問題的多種運算方法，并善于通過觀察、分析、比較，作出合理的選擇。也就是說，運算能力中包含著對思維能力的要求。因而，在運算過程中，學(xué)生的思維能力會受到檢驗，并得到鍛煉。 三、與內(nèi)容的聯(lián)系 與運算能力相關(guān)的內(nèi)容，一個是有理數(shù)的運算。還有實數(shù)的運算，但由于解決實際問題取近似值，落腳點還是有理數(shù)運算，帶根號的無理數(shù)的運算實際上是恒等變形。關(guān)于式的運算，實際上就是恒等變形。運算在解決問題中是必須的，運算能力的培養(yǎng)是重要的。還有方程或不等式的求解，都有式的運算，都要求其結(jié)果具有正確性、采用簡便算法，及選擇最佳途徑。 四、如何培養(yǎng) 關(guān)于運算能

28、力的培養(yǎng)有四點，即關(guān)于態(tài)度、知識、能力，以及應(yīng)用。 第一在學(xué)生的態(tài)度上，首先要讓學(xué)生重視數(shù)學(xué)運算，讓他們意識到數(shù)學(xué)運算是非常重要的，需要在態(tài)度上面有一個非常正確的認(rèn)識，不要認(rèn)為這個運算可有可無，或者把丟一個數(shù)或者錯一個數(shù)，看成一個非常不重要的事情。所以第一點就是強(qiáng)調(diào)態(tài)度，必須重視運算。 第二個運算不是憑空建立起來，它是基于一定的知識背景的，這種知識是什么？首先必須要讓學(xué)生要掌握好運算過程中的一些概念，性質(zhì)，以及用到什么樣的公式，用到什么樣的法則。因此我們認(rèn)為，在學(xué)習(xí)這些知識的時候，應(yīng)該給學(xué)生強(qiáng)化，讓他意識到這是一個最根本的東西。 其實在學(xué)生運算過程中運算能力與推理能力直接關(guān)系。為什么這么說呢？

29、因為學(xué)生在運算的時候需要一步一步地去進(jìn)行，前一步是后一步的前提，運算不是憑空建立起來，必須有充分的理由才能夠做后面的運算，才能夠?qū)崿F(xiàn)前后的這種連貫。因此在這個過程中一定要讓學(xué)生理解運算的性質(zhì)和公式，以提高他們進(jìn)行推理的能力。 比如我們在學(xué)習(xí)乘法公式的時候，學(xué)生經(jīng)常愛犯的錯誤中，比較典型的就是將這兩個公式混淆了，認(rèn)為 (a+b)2 =a2 +b2 。這是一個常見的錯誤，不利于今后的學(xué)習(xí)和使用以上知識點。這個錯誤產(chǎn)生原因我們可以分析，可能是一些知識的負(fù)向遷移。我們到底如何避免這樣的錯誤？老師們不妨在教學(xué)中不斷的回到最初，不斷地追本溯源讓學(xué)生重新認(rèn)識公式是如何得來的。 公式得來其實有兩個方面：一個是

30、代數(shù)推導(dǎo)，一個是幾何直觀推導(dǎo)。它的代數(shù)推導(dǎo)就是我們之前的所學(xué)的知識：多項式乘多項式。這個乘法的運算中，共得出四項，再合并同類項得到了三項。在這個方法之外，其實幾何也非常重要，而且是完全不同的一個途徑呢。 對于這個圖，我們還是很熟悉的，在幾何圖形中，(a+b)2 可以理解為邊長為 a+b 的正方形的面積，而它是在兩個小正方形 a2 和 b2的基礎(chǔ)之上，還要算上兩個矩形的面積，這樣我們就完全否定了剛才的錯誤。學(xué)生在有了數(shù)、形兩個方面對這個公式的認(rèn)識之后，對這個公式的正確掌握會得以提高。在此給大家一個建議，此處很好地體現(xiàn)了幾何直觀的作用，利用幾何直觀糾正學(xué)生這個錯誤很有效。 這個問題也是大家一直談?wù)?/p>

31、的：我們算的目的是什么？其實我們在培養(yǎng)學(xué)生運算能力的時候，可能有的時候又要考慮到算的原因和它將來的發(fā)展。在學(xué)生出現(xiàn)問題的時候，我們怎么去給它克服思維的定勢，找到錯誤的根源，以及解決它。所以運算能力的培養(yǎng)不僅要關(guān)注在解決問題的過程中，考慮要解決一些純數(shù)學(xué)問題，也要考慮解決其他知識這方面的問題。這個例子一方面反應(yīng)了對運算的理解，另一個方面有一些運算也可以運用到其他的知識中去，這其實也加深了學(xué)生對運算知識的一些理解，同時也培養(yǎng)他這方面的能力。所以運算能力的培養(yǎng)其實是一個大家比較關(guān)注的話題，當(dāng)然也是一個非常重要的話題，但是我們也注意到，運算能力的培養(yǎng)不是一下子能夠到位，我們應(yīng)該循序漸進(jìn)，隨著知識的學(xué)習(xí)

32、和深入把它要滲透到我們教學(xué)過程里面去，這樣的話才對學(xué)生真正的發(fā)展起作用。  話題五 符號意識和代數(shù)的思維特點  一、意義及作用 學(xué)生一進(jìn)入初中，首先學(xué)的代數(shù)內(nèi)容就是用字母表示數(shù)。用字母表示數(shù)一般被認(rèn)為是學(xué)習(xí)代數(shù)的開始。用字母表示數(shù)把小學(xué)所學(xué)的關(guān)于數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行了一般化的表示。用符號是數(shù)學(xué)的一個特點，符號實際上是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)可以說是一個符號化的世界，在數(shù)學(xué)當(dāng)中，人們用符號來進(jìn)行表示，而且用符號來進(jìn)行交流，所以學(xué)生具有符號意識是非常重要的。逐步形成符號或感受符號的作用是非常重要的，沒有符號在一定意義上來說就沒有近代和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)，所以符號的產(chǎn)生，用符號來進(jìn)行表示非常重要，標(biāo)準(zhǔn)指

33、出，建立符號意識有助于學(xué)生的理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形成就是從用字母表示數(shù)開始，學(xué)生就應(yīng)該用符號來進(jìn)行表示，用符號來進(jìn)行思考。 二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義 在課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂稿中，將“符號意識”界定為：主要是指學(xué)生能夠理解，并且運用符號來表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，知道使用符號可以進(jìn)行一般性的運算和推理。這里所提到的運用符號來表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，其實也像剛才所提，在小學(xué)字母表示數(shù)的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步建立比較復(fù)雜一些的數(shù)量關(guān)系和盡可能地用符號刻畫事物發(fā)展的趨勢和變化規(guī)律。符號可以進(jìn)行一般性的運算和推理，也就是涉及到我們用基礎(chǔ)的符號來不斷構(gòu)建數(shù)學(xué)、代數(shù)部分的運算大系統(tǒng)。其實符號可以

34、表示，也可以運算，也可以去轉(zhuǎn)換。課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿中特別突出符號的作用，它可以進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考。這里面我們所理解的數(shù)學(xué)表達(dá)，其實對學(xué)生來說就是能夠建立初步的符號意識，用符號和其他的一些手段，用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)現(xiàn)實生活，這其實是一種對學(xué)生來說比較基本的要求。在此基礎(chǔ)之上，他能夠用符號進(jìn)行思考，其實更是對他理性思維和在數(shù)學(xué)能力上的一個要求的體現(xiàn)。 三、與內(nèi)容的聯(lián)系 與符號意識相關(guān)內(nèi)容，第一個要考慮的是符號的表示。第二點是對符號的解釋。還有一點，在符號意識中還有一個符號的運算，以及符號之間的轉(zhuǎn)換。 四、如何培養(yǎng) 首先應(yīng)該讓學(xué)生在實際的問題情景中理解符號以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義。也就是說我們培養(yǎng)符號意

35、識和具體問題應(yīng)該是發(fā)生聯(lián)系的。 其次也是非常重要的，我們經(jīng)常說數(shù)學(xué)是一種語言，其實是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的符號也是一種語言，因此我們要培養(yǎng)學(xué)生的自然語言和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換能力。我們知道學(xué)生自然語言能力非常好，因為這是他的母語，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生符號意識的過程中，讓他實現(xiàn)這兩種語言之間的轉(zhuǎn)換也非常重要。有學(xué)者認(rèn)為，在解決問題的過程中，他的符號感通常和數(shù)感、函數(shù)感、圖表感相互聯(lián)系。笛卡爾也指出，任何問題都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的問題，任何的數(shù)學(xué)問題，都能夠轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，任何的代數(shù)問題又可以轉(zhuǎn)化成解方程的問題。通過數(shù)學(xué)化思想來實現(xiàn)問題的解決，我們現(xiàn)在且不說這個論述是不是完全正確，但從某種意義上說，數(shù)學(xué)化是一個非常

36、重要的過程。在方程學(xué)習(xí)過程中，他如何實現(xiàn)這種數(shù)學(xué)化？方程就是把文字表達(dá)的一些條件，改用了數(shù)學(xué)符號，其實這是利用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題所必須的一個程序。另外就是數(shù)學(xué)當(dāng)中除了字母表示數(shù)之外，還有一些其他的符號，如、 等等。我們在引入這些符號的時候可以聯(lián)系一些數(shù)學(xué)史，給學(xué)生增加一些數(shù)學(xué)文化方面的知識，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)既有價值又非常有意思，愿意學(xué)，我們課程目標(biāo)的一個目標(biāo)是態(tài)度情感價值觀的，在這個方面應(yīng)該使學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的熱愛，體會到數(shù)學(xué)本身也是有意思的，這方面老師在教學(xué)當(dāng)中也可以嘗試做一下。話題六 模型思想 一、意義及作用 數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活緊密相連。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是信息技術(shù)的發(fā)展，通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模

37、型來解決實際問題的方法正廣泛應(yīng)用于科學(xué)、工程和社會學(xué)科等多個領(lǐng)域。因此，模型思想作為重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，對 7 9 年級學(xué)生思維能力的發(fā)展和問題解決能力的培養(yǎng)都具有重要的作用。 二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義 課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿將“模型思想”界定為“建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識?！庇纱丝梢?，模型思想有這樣幾層含義：首先其來源于現(xiàn)實生活和問題情境；其次，用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行表述，將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，并加以解決；最

38、后，還原到現(xiàn)實問題，去解釋數(shù)學(xué)解的合理性。 三、與內(nèi)容的聯(lián)系 1方程模型 一個長為 10 米 的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為 8 米。如果梯子的頂端下滑 1 米 ，那么梯子的底端滑動多少米？ 2不等式模型 模型：某地出租車費用是這樣計算的 : （ 1 ）每公里 2 元, 基價為 3 公里, 起價 10 元； （ 2 ）15 公里以上的部分加收 50% 空駛費； 請分析里程為多少公里時更換出租車更劃算？ 設(shè)里程為 x km(x>15) ，超過 15 公里時兩種方案的費用分別為： 時，即 x>19 時，更換出租車更劃算 3函數(shù)模型 某書定價 8 元。如果一次購買 10

39、本以上，超過 10 本部分打 8 折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。 四、如何培養(yǎng)首先，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)貼近學(xué)生的生活。其次，注意引導(dǎo)學(xué)生建立模型。最后，結(jié)合綜合實踐活動的開展，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。 課程初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù) 運算能力、符號意識、模型思想與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系是什么？教學(xué)中應(yīng)如何去培養(yǎng)？請結(jié)合個人教學(xué)實踐談一談。 作業(yè)要求：（1）字?jǐn)?shù)要求：不少于300字。字體要求宋體，大小medium，word文檔字體大小三號。 （2）作業(yè)內(nèi)容如出現(xiàn)雷同，該作業(yè)成績?yōu)椴缓细瘛?（3）為方便批改，請盡量不要用附件的形式提交。（最好先在文檔編輯word軟件里編

40、輯好，再將內(nèi)容復(fù)制到答題框提交，提交的操作時間不要超過20分鐘） 初中數(shù)學(xué)作業(yè)二初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)部分與運算能力相關(guān)的內(nèi)容，一個是有理數(shù)的運算。還有實數(shù)的運算，但由于解決實際問題取近似值，落腳點還是有理數(shù)運算，帶根號的無理數(shù)的運算實際上是恒等變形。關(guān)于式的運算，實際上就是恒等變形。運算在解決問題中是必須的，運算能力的培養(yǎng)是重要的。還有方程或不等式的求解，都有式的運算，都要求其結(jié)果具有正確性、采用簡便算法，及選擇最佳途徑。 1、經(jīng)歷過程，理解運算的意義 。標(biāo)準(zhǔn)降低了對有理數(shù)運算的要求，降低了式的運算和變形的難度和技巧，并不代表現(xiàn)在不需要重視學(xué)生運算能力的培養(yǎng)，而是結(jié)合時代特點對運算的內(nèi)涵及其重點進(jìn)

41、行必要的調(diào)整。重要的不再是計算的熟練程度和技巧，而是對運算意義的理解。如乘法公式現(xiàn)在只要求兩個：平方差公式和完全平方公式。但對其理解的要求更高了：會推導(dǎo)乘法公式，了解公式的幾何背景，并能進(jìn)行簡單計算。在教學(xué)中通過學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)過程，可以體會到數(shù)與代數(shù)中公式的這一本質(zhì)。而且如果真的碰到 (a+b)3 的話，也會用類似的方法計算或推導(dǎo)出新的公式。因此最主要的還是對“公式”本身的意義和作用的理解，體會公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，懂得怎么應(yīng)用公式。2、講究策略，優(yōu)化運算的過程，強(qiáng)化一題多解。運算過程可以理解為是根據(jù)運算定義及其性質(zhì)從已知的運算對象推導(dǎo)出結(jié)果的過程，因此，運算過程的實質(zhì)是一種推理過程。例如，在

42、教學(xué)1+2+3+99+100= 有些學(xué)生是想的：1+100=2+99=3+98=50+51=101，所以答案101×50=5050；也有的是，兩次題目中的加數(shù)、顛倒相加而得；還有的學(xué)生用的是另外的方法。不論哪種策略方法，但用了推理能力這一點則是無疑的。        3、學(xué)會反思，提高運算的準(zhǔn)確性（養(yǎng)成良好的習(xí)慣）。例如在教學(xué)整式的加減法時，例題教學(xué)結(jié)束后，提出如下問題：怎樣能夠準(zhǔn)確的進(jìn)行整式的運算？學(xué)生在結(jié)合自己的做法討論交流后得出：在掌握去括號和合并同類項的法則后，還要每做完一步就回過頭快速的檢查自己是否正確，當(dāng)確信準(zhǔn)確

43、無誤后再繼續(xù)進(jìn)行下面的計算，經(jīng)過了這樣的過程，學(xué)生的計算準(zhǔn)確性就大大的提高了。這是對運算過程的反思。還有就是對運算結(jié)果的反思。在教學(xué)一元一次方程的解法和應(yīng)用時，除了要求學(xué)生在解的過程中反思外，還要求對計算的結(jié)果進(jìn)行反思，不僅是檢驗結(jié)果正確與否，更重要的是考察結(jié)果是否合理，是否符合實際。與符號意識相關(guān)內(nèi)容，第一個要考慮的是符號的表示。第二點是對符號的解釋。還有一點，在符號意識中還有一個符號的運算，以及符號之間的轉(zhuǎn)換。 1學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是要懂得符號的意義和會用符號來解決問題。作為我們數(shù)學(xué)教師特別要重視符號教學(xué)在實踐當(dāng)中實施的過程。符號雖然很抽象，但它來源于實際，我們在教學(xué)過程當(dāng)中應(yīng)該從實際問題當(dāng)中去抽象，讓學(xué)生感覺到這些符號有用。例如：每千克蘋果a元，那么3千克蘋果多少元？學(xué)生明確后，進(jìn)而提出問題：你能利