北師大版數(shù)學(xué)必修二課時(shí)作業(yè)172柱、錐、臺(tái)的體積含答案

1、溫馨提示： 此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(十三)柱、錐、臺(tái)的體積一、選擇題(每小題3分，共18分)1.(2014·濟(jì)源高一檢測(cè))已知高為3的直三棱柱ABC-ABC的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則三棱錐B-ABC的體積為()A.B.C.D.【解析】選D.由題意知SABC=×12=，所以VB-ABC=SABC×3=.2.(2014·駐馬店高一檢測(cè))已知圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，其面積為S，圓柱的底面周長(zhǎng)為C，則圓柱的體積是()A.B.C.D.【解析】選D.由圓柱的底面

2、周長(zhǎng)為C，可得底面圓的半徑為R=，又由圓柱的側(cè)面積為S可得圓柱的高為h=，所以圓柱的體積V=××=.3.(2014·宿州高一檢測(cè))將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使BD=a，則三棱錐D-ABC的體積為()A.B.C.a3D.a3【解析】選D.設(shè)正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)E，沿AC折起后依題意得，當(dāng)BD=a時(shí)，BEDE，所以DE平面ABC，于是三棱錐D-ABC的高為DE=a，所以三棱錐D-ABC的體積V=·a2·a=a3.【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)常因弄不清折疊前后線(xiàn)段的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系的變化而導(dǎo)致錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練】如圖，

3、E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，沿圖中虛線(xiàn)將邊長(zhǎng)為2的正方形折起來(lái)，圍成一個(gè)三棱錐，求此三棱錐的體積.【解析】折疊起來(lái)后，B，D，C三點(diǎn)重合為S點(diǎn)，則圍成的三棱錐為S-AEF，這時(shí)SASE，SASF，SESF，且SA=2，SE=SF=1，所以此三棱錐的體積V=··1·1·2=.4.如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1=A1B1，則多面體P-BCC1B1的體積為()A.B.C.4D.16【解析】選B.由題意可得PB1=A1B1=1，且PB1平面BCC1B1，由棱錐的體積公式=×4&

4、#215;4×1=.5.(2014·安徽高考)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()A.21+B.18+C.21D.18【解題指南】將三視圖還原為原幾何體，原幾何體是一個(gè)正方體截去兩個(gè)全等小正三棱錐所得的組合體.【解析】選A.由三視圖可知原幾何體是一個(gè)正方體截去兩個(gè)全等的小正三棱錐.正方體的表面積為S=24，兩個(gè)全等的三棱錐是以正方體的相對(duì)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，側(cè)面是三個(gè)全等的直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，這6個(gè)等腰直角三角形面積的和為3，三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，這2個(gè)正三角形面積的和為，故所求幾何體的表面積為24-3+=21+.6.(2014·佛山高

5、一檢測(cè))圓臺(tái)的上、下底面的面積分別為，4，側(cè)面積是6，這個(gè)圓臺(tái)的體積是()A.B.2C.D.【解題指南】設(shè)出上下底面半徑及母線(xiàn)長(zhǎng)，可構(gòu)造它們的方程組，進(jìn)而求出，代入體積公式解決.【解析】選D.設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑為r，r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，則所以圓臺(tái)的高h(yuǎn)=， 所以V圓臺(tái)=(+4)·=.二、填空題(每小題4分，共12分)7.(2013·遼寧高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_.【解析】由三視圖可以得到原幾何體是一個(gè)圓柱里面挖去了一個(gè)長(zhǎng)方體，所以該幾何體的體積為V=4×4-16=16-16.答案：16-168.(2014·天津高考)一個(gè)幾何體的三

6、視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)m3.【解析】所給幾何體由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成，V=×2××22+×12×4=(m3).答案：9.已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為5cm，側(cè)面積為15cm2，則此圓錐的體積為_(kāi)cm3.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則有rl=15知r=3，所以h=4.所以其體積為V=Sh=r2h=××32×4=12.答案：12三、解答題(每小題10分，共20分)10.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上，且CEAB.(1)求證：CE平面PAD.(2)若

7、PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積.【解析】(1)因?yàn)镻A平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.因?yàn)锳BAD，CEAB，所以CEAD.又PAAD=A，所以CE平面PAD.(2)由(1)可知CEAD.在RtECD中，DE=CD·cos 45°=1，CE=CD·sin 45°=1.又因?yàn)锳B=CE=1，ABCE，ABAD，所以四邊形ABCE為矩形.所以S四邊形ABCD=S矩形ABCE+SECD=AB·AE+CE·DE=1×2+×1×1=.又PA平面A

8、BCD，PA=1，所以V四棱錐P-ABCD=S四邊形ABCD·PA=××1=.11.(2014·濱州高一檢測(cè))一幾何體按比例繪制的三視圖，如圖所示(單位：m)：(1)試畫(huà)出它的直觀圖.(2)求它的表面積和體積.【解析】(1)直觀圖如圖所示：(2)由三視圖可知該幾何體是長(zhǎng)方體被截去一個(gè)角，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長(zhǎng)方體的體積的，在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，則AA1EB是正方形，所以AA1=BE=1m.在RtBEB1中，BE=1m，EB1=1m，所以BB1=m.所以該幾何體的表面積S=+2+S正方形ABCD+=1

9、+2××(1+2)×1+1×+1+1×2=7+(m2).該幾何體的體積V=×1×2×1=(m3).【一題多解】幾何體也可以看作是以AA1B1B為底面的直四棱柱，其表面積求法同方法一，=×(1+2)×1×1=(m3).所以幾何體的表面積為(7+)m2，體積為m3.【拓展延伸】求體積時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.(2)與三視圖有關(guān)的體積問(wèn)題注意幾何體還原的準(zhǔn)確性及數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性.一、選擇題(每小題4分，共16分)1.(2014&

10、#183;蚌埠高一檢測(cè))如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是3，則圖中主視圖所標(biāo)a=()A.1B.C.D.2【解析】選C.由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)平臥的三棱柱，結(jié)合圖中的尺寸可得V=×2×a×3=3，解得a=.2.(2014·亳州高一檢測(cè))如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EFAB，EF=，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為()A.B.5C.6D.【解析】選D.連接EB，EC，AC.四棱錐E-ABCD的體積VE-ABCD=×32×2=6.由于AB=2EF，EFAB，所以SEAB=2SB

11、EF.所以VF-BEC=VC-EFB=VC-ABE=VE-ABC=，所以VABCDEF=VE-ABCD+VF-BEC=6+=.3.(2014·佛山高一檢測(cè))圓錐的過(guò)高的中點(diǎn)且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是()A.11B.16C.17D.18【解析】選C.如圖，設(shè)圓錐底面半徑OB=R，高PO=h，O為PO中點(diǎn)，所以PO=，因?yàn)?，所以O(shè)A=，所以V圓錐PO=··=R2h.V圓臺(tái)OO=··=R2h.所以=.4.棱長(zhǎng)為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線(xiàn)段為棱的八面體的體積為()A.a3B.a3C.a3D.a3【解析】選C.八面體可

12、以看成兩個(gè)正四棱錐拼接而成，其中正四棱錐的棱長(zhǎng)為a，高為a.則V=2···a=a3.二、填空題(每小題5分，共10分)5.(2014·遼寧高考改編)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi).【解題指南】結(jié)合三視圖的特點(diǎn)，該幾何體是由一個(gè)正方體在相對(duì)的兩個(gè)角上各割去四分之一個(gè)圓柱后剩下的部分.【解析】截得該幾何體的原正方體的體積為2×2×2=8；截去的圓柱(部分)底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，截去的兩部分體積為(×12×2)×2=；故該幾何體的體積為8-.答案：8-6.如圖所示，一個(gè)正三棱柱形容器，高為2

13、a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒使一個(gè)側(cè)面成為底面，這時(shí)水面恰為中截面，如圖，則未放倒前的水面高度為_(kāi).【解題指南】容器放倒前后水的體積不變，即圖三棱柱的體積與圖中的直四棱柱的體積相等.【解析】設(shè)圖中水面的高度為h，水的體積為V，則V=Sh=S·2a，所以h=.答案：a【變式訓(xùn)練】如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8cm.若側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過(guò)AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高多少？【解析】設(shè)原三棱柱ABC-A1B1C1的底面積為Scm2，高為hcm.因?yàn)镈EAB，所以EDCABC，且=，所以SEDC=S.所以當(dāng)側(cè)面AA1B

14、1B水平放置時(shí)，無(wú)水的空間即CDE-C1D1E1為一小三棱柱.此時(shí)水的體積為V水=Sh-S·h=Sh(cm3).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水占有的空間為一個(gè)三棱柱，設(shè)該三棱柱的高為hcm，則Sh=Sh，所以h=h=×8=6(cm)，則液面高6cm.三、解答題(每小題12分，共24分)7.(2014·宿州高一檢測(cè))如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1，V2的左右兩部分，求V1V2的值.【解題指南】V1對(duì)應(yīng)的幾何體AEF-A1B1C1是一個(gè)棱臺(tái)，一個(gè)底面的面積與棱柱的底面積相等，另一個(gè)底面的面積等于棱

15、柱底面積的；V2對(duì)應(yīng)的是一個(gè)不規(guī)則幾何體，顯然V2無(wú)法直接表示，可以考慮間接的辦法，用三棱柱的體積減去V1來(lái)表示.【解析】設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V=V1+V2=Sh.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以SAEF=S，V1=h=Sh，V2=Sh-V1=Sh，故V1V2=75.【變式訓(xùn)練】如圖是一個(gè)正方體，H，G，F(xiàn)分別是棱AB，AD，AA1的中點(diǎn).現(xiàn)在沿GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，求鋸掉的部分的體積與原正方體體積的比.【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為a3.三棱錐的底面是RtAGF，而FAG為90°，G，F(xiàn)分別為AD，AA1的中點(diǎn)，所以AF=A

16、G=a.所以AGF的面積為×a×a=a2.又AH是三棱錐的高，H又是AB的中點(diǎn)，所以AH=a.所以鋸掉的部分的體積為×a×a2=a3.所以鋸掉的部分的體積與原正方體體積的比為a3÷a3=.【拓展延伸】等積法等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是求三角形的高和三棱錐的高.這一方法回避了具體通過(guò)作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值.8.(2014·咸陽(yáng)高一檢測(cè))底面半徑為1，高為1的圓柱，內(nèi)接長(zhǎng)方體如圖，設(shè)矩形ABCD的面積