食餌—捕食者模型(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)模型課程食餌捕食者模型3. 討論具有自身阻滯作用的兩種群食餌-捕食者模型，首先根據(jù)該兩種群的相互關(guān)系建立模型，解釋參數(shù)的意義，然后進行穩(wěn)定性分析，解釋平衡點穩(wěn)定的實際意義，對模型進行相軌線分析來驗證理論分析的正確性，并用matlab軟件畫出圖形。自然界中不同種群之間還存在著一種非常有趣的既有相互依存、又有相互制約的生活方式：種群甲靠豐富的天然資源生長，而種群乙靠捕食甲為生，形成魚和鯊魚，美洲兔和山貓，落葉松和蚜蟲等等都是這種生存方式的典型，生態(tài)學(xué)稱種群甲為食餌，種群乙為捕食者。二者共同組成食餌捕食者系統(tǒng)。一食餌捕食者選用食餌(食用魚)和捕食者(鯊

2、魚)為研究對象,設(shè)/為食餌(食用魚)在時刻的數(shù)量，/為捕食者(鯊魚)在時刻的數(shù)量，為食餌(食用魚)的相對增長率，為捕食者(鯊魚)的相對增長率；為大海中能容納的食餌(食用魚)的最大容量，為大海中能容納的捕食者(鯊魚)的最大容量，為單位數(shù)量捕食者（相對于）提供的供養(yǎng)食餌的實物量為單位數(shù)量捕食者(相對于)消耗的供養(yǎng)甲實物量的倍；為單位數(shù)量食餌（相對于）提供的供養(yǎng)捕食者的實物量為單位數(shù)量捕食者(相對于)消耗的供養(yǎng)食餌實物量的倍；為捕食者離開食餌獨立生存時的死亡率二模型假設(shè)1.假設(shè)捕食者（鯊魚）離開食餌無法生存；2.假設(shè)大海中資源豐富，食餌獨立生存時以指數(shù)規(guī)律增長；三模型建立食餌(食用魚)獨立生存時以指

3、數(shù)規(guī)律增長，且食餌(食用魚)的相對增長率為，即，而捕食者的存在使食餌的增長率減小，設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成正比，于是滿足方程 (1)比例系數(shù)反映捕食者掠取食餌的能力。由于捕食者離開食餌無法生存，且它獨立生存時死亡率為，即，而食餌的存在為捕食者提供了食物，相當(dāng)于使捕食者的死亡率降低，且促使其增長。設(shè)這種作用與食餌數(shù)量成正比，于是滿足 (2)比例系數(shù)反映食餌對捕食者的供養(yǎng)能力。方程(1)、(2)是在自然環(huán)境中食餌和捕食者之間依存和制約的關(guān)系，這里沒有考慮種群自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡單的模型。結(jié)果如下。不考慮自身阻滯作用:數(shù)值解令x(0)=x0,y(0)=0,設(shè)r=1,d=0.

4、5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2 使用Matlab求解 求解如下1）先建立M文件function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2);2)在命令窗口輸入如下命令：ts=0:0.1:15;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,>> ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,ans =省略>

5、> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>>>> pause>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,（可以猜測，x(t),y(t)是周期函數(shù),與此相應(yīng)地相軌線y(x)封閉曲線，從數(shù)值解近似定出周期為10.7，x的最大最小值分別為99.3，2.0，y的最大，最小值分別為28.4和2.0，容易算出x(t),y(t)再一個周期的平均值為25，10.）考慮阻滯作用前面我們沒有考慮種群自身的阻滯作用，接下來我們考慮種群自身的阻滯作用，在上面（1），（2）兩式中加入Lo

6、gistic項，即建立以下數(shù)學(xué)模型： (3) (4)四平衡點進行理論分析下面對（3）（4）進行平衡點穩(wěn)定性分析：由微分方程(3)、(4)令f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0得到如下平衡點:, , 因為僅當(dāng)平衡點位于平面坐標(biāo)系的第一象限時()才有意義，所以，對而言要求>0。按照判斷平衡點穩(wěn)定性的方法計算：根據(jù)等于主對角線元素之和的相反數(shù)，而為其行列式的值，我們得到下表：平衡點穩(wěn)定條件<1>1 不穩(wěn)定五模型分析與檢驗1.平衡點穩(wěn)定性的分析及其實際意義：1) 對而言，有=，=，故當(dāng)<1時，平衡點是穩(wěn)定的。意義：如果穩(wěn)定，則種群乙滅絕，沒有種群的共存。2)對而言，有=，

7、=，故當(dāng)>1時，平衡點是穩(wěn)定的。意義：如果穩(wěn)定，則兩物種恒穩(wěn)發(fā)展，會互相依存生長下去。3)對而言，由于， ，又有題知>0,>0,故<0,即是不穩(wěn)定的。六用MATLAB求解驗證下面將進行MATLAB軟件求解此微分方程組中的、的圖形及相軌線圖形。設(shè)，,使用MATLAB軟件求1)建立M文件function y=fun(t,x)y=x(1).*(1-x(1)./3000-2*x(2)./400);0.3.*x(2).*(-1+6.*x(1)./3000-x(2)./400);2)在命令窗口輸入如下命令：ts=0:0.1:20ts =省略 >> x0 =3000 60x0 = 3000 60>> t,x=ode45('fun',0,20,3000,60)t =省略 >> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')圖1.數(shù)值解，的圖形>> plot(x(:,1),x(: