向量及向量加減法

1、學(xué)習(xí)目的： 1.理解向量、零向量、單位向量、向量的模的意義； 2.理解向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量； 3.了解平行向量、共線向量和相等向量的意義，并會(huì)判斷向量間平行（共線）、相等的關(guān)系； 4.通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的向量和數(shù)量有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的唯物辯證思想和分析辨別能力. 5掌握向量的加法的定義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量； 6掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算； 7明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的差向量； 8在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利用向

2、量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明； 9通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算及多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量的加法運(yùn)算，可以滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生理解事物之間相互轉(zhuǎn)化，相互聯(lián)系的辨證思想，同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容: 向量這部分知識(shí)是新內(nèi)容，但我們已經(jīng)接觸過了.同學(xué)們?cè)谖锢淼恼n程學(xué)習(xí)過矢量的概念，它與我們要學(xué)的向量是一致的（知識(shí)是相通的），即使在數(shù)學(xué)中，前一段我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)線時(shí)講過有向線段，實(shí)際上向量就是用有向線段表示的.學(xué)習(xí)難點(diǎn): 向量的加法運(yùn)算 一、向量的概念 向量:既有大小又有方向的量.通常用有向線

3、段 表示，其中A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，顯然 表示不同的向量；有向線段 的長(zhǎng)度表示向量的大小，用| |表示，顯然 ，既有向線段的起、終點(diǎn)決定向量的方向，有向線段的長(zhǎng)度決定向量的大小. 注意:向量 的長(zhǎng)度| |又稱為向量的模；長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任一向量平行.平行向量可通過平移到同一條直線上，因此平行向量也叫共線向量. 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等，任意兩個(gè)相等的非零向量可經(jīng)過平移的過程重合在一起，既可用一個(gè)有向線段表示，而與起點(diǎn)無關(guān). 二、向量的加法 1向量加法的平行四邊形法則平行四邊形

4、ABCD中，向量 的和為 .記作: . 2向量加法的三角形法則 根據(jù)向量相等的定義有: ，既在ADC中， ，首尾相連的兩個(gè)向量的和是以第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn). 規(guī)定:零向量與向量 的和等于 . 三、向量的減法 向量 與向量 叫做相反向量.記作: .則 ，既用加法法則來解決減法問題.例題選講第一階梯 例1判斷下列命題的真假： 直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)軸都是向量； 兩個(gè)向量平行是兩個(gè)向量相等的必要條件； 向量 與 是共線向量，則 、 、 、 必在同一直線上； 向量 與向量 平行，則 與 的方向相同或相反； 四邊形是平行四邊形的充要條件是 分析： 判斷上述五個(gè)命題的真假性，需細(xì)心辨別才

5、能識(shí)其真面目 解： 直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)半軸，雖有方向之別，但無大小之分，故命題是錯(cuò)誤的 由于兩個(gè)向量相等，必知這兩個(gè)向量的方向與長(zhǎng)度均一致，故這兩個(gè)向量一定平行，所以，此命題正確； 不正確 與 共線，可以有 與 平行； 不正確如果其中有一個(gè)是零向量，則其方向就不確定； 正確此命題相當(dāng)于平面幾何中的命題：四邊形 是平行四邊形的充要條件是有一組對(duì)邊平行且相等 例2下列各量中是向量的有_. A、動(dòng)能 B、重量 C、質(zhì)量 D、長(zhǎng)度 E、作用力與反作用力 F、溫度 分析： 用向量的兩個(gè)基本要素作為判斷的依據(jù)注意對(duì)物理量實(shí)際意義的認(rèn)識(shí). 解: A，C，D，F(xiàn)只有大小，沒有方向，而B和F既有大小又有方

6、向，故為向量. 例3命題“若 ， ，則 ”（ ） A總成立B當(dāng) 時(shí)成立C當(dāng) 時(shí)成立D當(dāng) 時(shí)成立 分析： 這里要作出正確選擇，就是要探求題中命題成立的條件零向量與其他任何非零向量都平行，當(dāng)兩非零向量、不平行而時(shí)，有，但這時(shí)命題不成立，故不能選擇A，也不能選擇B與D，故只能選擇C 答案：C第二階梯 例1如圖1所示，已知向量 ，試求作和向量 分析： 求作三個(gè)向量的和的問題，首先求作其中任兩個(gè)向量的和，因?yàn)檫@兩個(gè)向量的和仍為一個(gè)向量，然后再求這個(gè)向量與另一個(gè)向量的和即先作 ，再作 解： 如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作向量，再作向量，則得向量，然后作向量，則向量即為所求 例2化簡(jiǎn)下列各式 (1)

7、； (2) 分析： 化簡(jiǎn)含有向量的關(guān)系式一般有兩種方法是利用幾何方法通過作圖實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)；是利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，有時(shí)也需將一個(gè)向量拆分成兩個(gè)或多個(gè)向量 解： (1)原式= (2)原式= 例3用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 分析： 要證明四邊形是平行四邊形只要證明某一組對(duì)邊平行且相等由相等向量的意義可知，只需證明其一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)的向量是相等向量(需首先將命題改造為數(shù)學(xué)符號(hào)語言) 已知：如圖3，ABCD是四邊形，對(duì)角線AC與BD交于O，且AO=OC，DO=OB 求證：四邊形ABCD是平行四邊形 證明：由已知得

8、 ， ，且A，D，B，C不在同一直線上，故四邊形ABCD是平行四邊形第三階梯 例1下列命題: （1）單位向量都相等； （2）若 ，則 ； （3）若ABCD為平行四邊形，則 ； （4）若 ，則 . 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A、0B、1C、2D、3 解:（1）不正確.單位向量的長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同；（2）不正確. 可能在同一條直線上；（3）不正確.平行四邊形ABCD中， ；（4）正確.滿足等量的傳遞性.選B. 例2若O為正三角形ABC的中心，則向量 是（ ）. A、有相同起點(diǎn)的向量B、平行向量C、模相等的向量D、相等的向量 解: 的起點(diǎn)不同，不平行也不相等.由正三角形的性質(zhì): .選C. 例

9、3某人向東走3km，又向北走3km，求此人所走路程和位移. 解:此人所走路程:|AB|+|BC|=6km.此人的位移: 例4求證對(duì)角線互相平分的平面四邊形是平行四邊形. 已知: ，求證:ABCD為平行四邊形. 證明: 由加法法則: ， ， ，即線段AB與DC平行且相等， ABCD為平行四邊形. 例5非零向量 中，試比較 的大小. 解:（1） 共線時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， . （2） 不共線時(shí)， ， ， 即 ， 綜上： 課外練習(xí): 1若兩個(gè)向量不相等，則這兩個(gè)向量（ ）. A、不共線B、長(zhǎng)度不相等 C、不可能均為單位向量D、不可能均為零向量 2四邊形RSPQ為菱形，則下列可用一條有向線段表示的兩個(gè)向量是

10、（ ）. A、 B、 C、 D、 3“兩個(gè)向量共線”是“這兩個(gè)向量相等”的（ ）. A、充分不必要條件B、必要不充分條件 C、充要條件D、既不充分也不必要條件 4O是四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，若 ，則四邊形ABCD是（ ）. A、等腰梯形B、平行四邊形C、菱形D、矩形 5若O是ABC內(nèi)一點(diǎn)， ，則O是ABC的（ ）. A、內(nèi)心B、外心C、垂心D、重心 6ABC中， =（ ）. A、 B、 C、 D、 7平行四邊形ABCD中，E、F為AB，CD中點(diǎn)，圖中7個(gè)向量中，與 相等的向量是_；與 相等的向量是_；與 平行的向量是_；與 平行的向量是_. 8已知:首尾相接的四個(gè)向量 . 求證: .S 參

11、考答案: 1.D2.B3.B4.B5.D6.B 7. 8. 證明: ， ， . 測(cè)試選擇題1已知向量 a=(3,m)的長(zhǎng)度是5，則m的值為（ ）. A、4 B、-4 C、4 D、162下面有四個(gè)命題：（1）向量 的長(zhǎng)度與向量 的長(zhǎng)度相等.（2）任何一個(gè)非零向量都可以平行移動(dòng).（3）所有的單位向量都相等.（4）兩個(gè)有共同起點(diǎn)的相等向量，其終點(diǎn)必相同.其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）.A、4 B、3 C、2 D、13在下列命題中，正確的是（ ）. A、若| | |，則 B、| |=| |，則 = C、若 = ，則 與 共線 D、若 ，則 一定不與 共線4下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）. A、零向量是沒有方向的

12、B、零向量的長(zhǎng)度為0 C、零向量與任一向量平行 D、零向量的方向是任意的5 如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，則和 相等的向量的個(gè)數(shù)是（ ）. A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)答案與解析答案：1、C 2、B 3、C 4、A 5、B解析：1答案：C. 因?yàn)閨a| 所以 2答案：B. (1)對(duì).因?yàn)?與 是指同一條線段，因此長(zhǎng)度相等 (2)對(duì)這是由相等向量推導(dǎo)出的結(jié)論(3)錯(cuò).因?yàn)閱挝幌蛄恐灰竽ｉL(zhǎng)等于1，方向不作要求，因此不一定相等(4)對(duì)因?yàn)橄嗟认蛄靠梢越?jīng)過平移至完全重合解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí). 3答案：C. A錯(cuò)因?yàn)橄蛄坑写笮『头较騼蓚€(gè)要素?zé)o法比較大小B錯(cuò)相等向量不

13、僅要模長(zhǎng)相等，方向也要相同C對(duì)相等向量方向一定相同，因此共線D錯(cuò)因?yàn)橄蛄坎幌嗟?，可能僅由于模長(zhǎng)不等，方向仍可能是相同的，所以 與 有共線的可能 4答案：A. 零向量是規(guī)定了模長(zhǎng)為0的向量零向量的方向沒有規(guī)定，是任意的，可以看作和任一向量共線零向量絕不是沒有方向 5答案：B. 根據(jù)向量相等的條件. 向量重點(diǎn)難點(diǎn) 了解向量可以根據(jù)需要自由平移的特點(diǎn)是今后運(yùn)用向量方法解決問題的前提條件之一，也因此，平行向量也叫共線向量要根據(jù)向量的有關(guān)概念從圖形中找出相等的向量和共線的向量因此，要加強(qiáng)訓(xùn)練觀察一些常見圖形 以下三個(gè)問題上常出現(xiàn)錯(cuò)誤：一是用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的字母表示向量時(shí)，一定注意搞清字母

14、順序，起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后，例如 與 是大小相同，方向相反的兩個(gè)向量，二是零向量的方向是任意的，而不是沒有方向，因此有關(guān)零向量的方向問題一般要注意規(guī)定，例如命題： 與 共線， 與 共線， 與 共線，是錯(cuò)誤的，因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾模?與 的方向沒有任何關(guān)系，因此也無法判斷是否共線，三是注意區(qū)別平行向量與平面幾何中直線平行的概念，前者相當(dāng)于兩直線位置關(guān)系中的平行和重合兩種情況，例如錯(cuò)誤地認(rèn)為平行向量不可能是共線向量，其實(shí)這兩個(gè)概念是同一個(gè)概念. 典型題目 例1下列說法中正確的是 （ ）. A向量 與向量 共線，向量 與向量 共線，則向量 與向量 共線 B、任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一

15、平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) C、向量 與 不共線，則 與 所在直線的夾角為銳角 D、始點(diǎn)相同的兩個(gè)非零向量不平行 答案：A 點(diǎn)評(píng)：向量共線即方向相同或相反，故非零向量間的共線關(guān)系是可以傳遞的共線向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直線上.而相等向量是共線的，故B中四點(diǎn)可能在同一直線上，向量不共線，僅指其所在直線不平行或不重合，夾角可能是直角，而選項(xiàng)D中向量是否共線與始點(diǎn)位置無關(guān) 例2 “兩個(gè)向量共線”是“這兩個(gè)向量方向相反”的( )條件 A.充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要 答案：B 點(diǎn)評(píng)：向量共線即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立 例3下面有四個(gè)命題：(1)向量的模

16、是一個(gè)正實(shí)數(shù)(2)兩個(gè)向量平行是兩個(gè)向量相等的必要條件(3)若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等(4)溫度含有零上溫度和零下溫度，所以溫度是向量，其中真命題的個(gè)數(shù)為( ) A0B1C2D3 答案：B 點(diǎn)評(píng)：只有(2)是正確的，因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行只是指這兩個(gè)向量在方向上是相同或相反的方向相反則不可能是相等向量即使方向相同，對(duì)于大小也沒有要求，依然無法判定兩個(gè)向量是否相等而兩個(gè)相等向量的方向一定相同，必是平行向量(1)錯(cuò)在向量的模是表示向量的有向線段的長(zhǎng)度，零向量的模為零因此向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)(3)錯(cuò)在兩個(gè)單位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此這兩個(gè)向量不一定相等(4)錯(cuò)在溫度的

17、零上零下也只是表示數(shù)量向量既要有大小又要有方向常見的向量有力、速度、位移、加速度等正確解答本題的關(guān)鍵是把握住向量的兩個(gè)要素，并從這兩個(gè)要素人手區(qū)分其它有關(guān)概念 例4 一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100公里到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50走了200公里到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100公里到達(dá)D點(diǎn)(1)作出向量 、 (2) 求| |. 答案：(1)見圖. (2)由題意，易知 方向相反，故 與 共線，又 ， 在四邊形ABCD中，AB CD，四邊形ABCD為平行四邊形， ， =200公里. 點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).

18、例5 一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)沿東北方向走了100米到達(dá)B點(diǎn)后改變方向沿南偏東15又走了100米到達(dá)C點(diǎn)，求此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移 解：如圖，根據(jù)題意知ABC為等邊三角形，故a=15，| |=100， 此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移 ，大小為100米，方向?yàn)槲髌?5檢測(cè)題 1.在下列各命題中，為真命題的有（ ） （1）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量 （2）溫度有零上溫度和零下溫度因此溫度也是向量 （3）方向?yàn)槟掀?0的向量與方向?yàn)楸逼珫|60的向量是共線向量 （4）坐標(biāo)平面上的x軸和y軸都是向量 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 2.已知a、b、c是三個(gè)非零向量，則|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要條件是（ ） Aa、b同方向 Bb、c同方向 Ca、c同方向 Da、b、c同方向