2019年浙江省高中數(shù)學競賽卷及評分標準

1、2019 年浙江省高中數(shù)學競賽試卷說明：本試卷分為 A 卷和 B 卷：A 卷由本試卷的 22題組成，即 10 道選擇題，7 道填空題、3 道解答題和 2 道附加題；B 卷由本試卷的前 20 題組成，即 10 道選 擇題，7道填空題和 3 道解答題。一、選擇題（本大題共有 10 小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號 填入題干后的括號里，多選、不選、錯選均不得分，每題5 分，共 50 分）4丄.4丄.221.化簡三角有理式cos Xsin6Xsin2XCOS2X的值為(A )sin x+cos x+2sin xcos xA.1 B. sinx cosx C. sin xcosx D. 1+

2、sin xcosx解答為 A。分母=(sin2x cos2x)(sin4x cos4x - sin2x cos2x) 2sin2x cos2x4設(shè) a,b 為兩個相互垂直的單位向量。已知OP=a，方Q=b， OR=ra +kb .若厶 PQR 為等邊三角形，則 k，r 的取值為（C ）=si nxcSscs2ixi也可以用特殊值法2.若p :（x2xco sq : x：-2，則p是q的（ B ）B. 必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件解答為 B。p 成立=x_-3，所以 P 成立，推不出 q 一定成立。3.集合 P=xx R, x + 3+|x + 6 =3，則集合CRP為( D )A.

3、 xx 6,或B. xxv6,或XA-3C.XX解答：Do畫數(shù)軸，由絕對值的幾何意義可得-6 x-3，P = x 6 蘭 x 蘭一 3, CRP =x x -6,或 x a -3。1 - . 3解答.C.PQ=| QR P,R即 r2(k -1)2(r -1)2k2、2,5.在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若 AB2BB,則 CA 與 GB 所成的角的大小是（C ）解答：C。建立空間直角坐標系，以AB1所在的直線為x軸，在平面AG上垂直于A1B1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸。則AC、,2,0,0), C1( ,0), C( , ,1),2 2 2 2B(0,0,1),CA1=(遼,

4、-,-1)QB =(一遼 GB =0O2 2 2 26.設(shè) a?,IbJ分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，且=4,ab4=1，則以下結(jié)論正確的是（A ）A.a?b?B.83：匕3C. b5D.b6解答：AO設(shè)等差數(shù)列的公差為 d,等比數(shù)列公比為 q,由 a1=4,a4=b4=1,得 d=-1,q=-2= 2,b34; a5=0,b-2;a-1,b4247.若R ,則（1 2x）15的二項式展開式中系數(shù)最大的項為（ D ）A.第 8 項 B.第 9 項 C.第 8 項和第 9 項 D.第 11 項2932解答：D. T譏 2，由 T Tr1, Tr八 Tr產(chǎn)三乞心石,r=10，第 11 項最大。33解得

5、r=k=。A. 60B. 75C. 90D. 105得 a-=3,b- =2-;a38. 設(shè)f(x)二x=COS-51 1二f (loge),b = f (log二一),c = f (log11-2），則下述關(guān)系e解答：xnD。函數(shù)f（x） =cos-為偶函數(shù)，在（0, ） 上,f（x）二COSX為減式正確的是（ D ）A. a b cB. b c aC. cabD. b a c而loge丄=-loge二,log一1,log14二2loge二，兀e loge兀e兀0： ：歸：迥二：二所以 b a c5loge二5549.下面為某一立體的三視圖，則該立體的體積為（ C ）10.設(shè)有算法如下:A=

6、H如果輸入 A=144, B=39,則輸出的結(jié)果是（B ）A. 144 B. 3C. 0D. 12解答 B（ 1）A=144，B=39，C=27:（ 2）A=39，B=27，C=12：（ 3）A=27，B=12，C=3:（ 4）A=12，B=3，C=0。所以 A=3。二、填空題（本大題共有 7 小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7 分,共 49 分）11. 滿足方程 x -2009 - 2 x - 2010，x - 2009 -2 2010 所有實數(shù)解為以及高為 1 的矩形俯視圖： 半徑為 1 的圓A.B.C.D.解答：C.根據(jù)題意，該立體圖為圓柱和一個1/4 的球的組合體正視圖：半徑為

7、 1 的半圓以及高為 1 的矩形1側(cè)視圖：半徑為 1 的1圓4輸人井零疋整社九B垛以R的金敵2010 x2011。解答 變形得.、 （x2010 1）2. （ x2010 1）2=2=0 空、 x20101，解得 2010 x2011。xx12.xR,函數(shù)f（x）=2sin3cos的最小正周期為12二.23xx解答2sin 的周期為 碼 3c0 的周期為 6 兀 所以函數(shù) f x 的周期為 兀。1 22313. 設(shè) P 是圓x2y36上一動點，A 點坐標為 20,0。當 P 在圓上運動時，線段 PA 的中點 M 的軌跡方程為（x-10）2 y2= 9.解答 設(shè) M 的坐標為（x, y），設(shè) P

8、 點坐標為（x0, y0）,則有x = ?20二號 2 2= X。= 2 x - 20, y= 2 y，因為 P 點在圓上，所以（2 x - 20）（2 y） 36所以 P 點軌跡為（x -10）2y2=9。14. 設(shè)銳角三角形 ABC 的邊 BC 上有一點 D,使得人。把厶 ABC 分成兩個等腰三角 形，試求 ABC 的最小內(nèi)角的取值范圍為 30 x45 或 22.5x30.解答女口圖，（1）AD=AC=BD（2）DC=AC AD=BD(1)在 （1） 中， 設(shè)最小的角為 x， 則 2x90 得 x45 又 x+180-4x30 所以 30 x45；在（2） 中， 設(shè)最小的角為 x,則 3x

9、90 得 x30 又 180-4x22.5 所以 22.5x30 xyz = (10_x)(10_y)(10 _z)(*1)(2)由以上分組可以知道，每個奇數(shù)組中出現(xiàn)一個1,所以第 2010 個 1 出現(xiàn)在第 4019 組，而第 4019 組中的 1 位于該組第 2010 位，所以第 2010個值為 1 的 項的序號為(1+2+3+- +4018) +2010=809428。19. 設(shè)有紅、黑、白三種顏色的球各 10 個?，F(xiàn)將它們?nèi)糠湃爰住⒁覂蓚€袋子 中，要求每個袋子里三種顏色球都有，且甲乙兩個袋子中三種顏色球數(shù)之積相等。 問共有多少種放法。解：設(shè)甲袋中的紅、黑、白三種顏色的球數(shù)為x, y,

10、z，則有1_x, y,z_9，且1 115.設(shè)z是虛數(shù)zZ 且 JW2則z的實部取值范圍為解答 設(shè) z = a bi = -1：a bi: 2=b -2=0= b = 0 或 a2b2= 1a2+b2a2+b22 21當b =0，無解；當a2 b2=1 ：一 a：1。216.設(shè)f (x) =k(x2-x 1) -x4(1 -x)4。如果對任何x 0,1，都有f(x) _ 0,則 k的最小值為需解答42x (1 -x)27xX 12123312因為x-x(x-2)d，xs 時x%1最小值為1 1分子, X(1X), x1x4(1-x)4取最大值(2)8,所以 k 的最小值為17.設(shè)p,qR，f

11、(x) =x2+ p|x|+q。當函數(shù)f(x)的零點多于 1 個時，f(x)在 以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值為0 或 q.解答 因為函數(shù)f(x)=x2 p | x| q為偶函數(shù)，由對稱性以及圖象知道，f (x)在 以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值0 或 q。三、解答題(本大題共有 3 小題，每題 17 分，共 51 分)解(1)將數(shù)列分組：入八 2、八 2 312. k、 .所以數(shù)列的第 2010 項屬于第 63 組倒數(shù)第 7 個數(shù)，即為577- 10 分- 17 分112 12 312 k18.設(shè)數(shù)列-,一，,，12 13 2 1 k k -11問：(1)這個

12、數(shù)列第 2019 項的值是多少；(2)在這個數(shù)列中，第 2010 個值為 1 的項的序號是多少因為 1+2+3+62=1953; 1+2+3+63=2019,-5 分 即有xyz =500 -50(x y z) 5(xy yz zx)。(*2)于是有 5 xyz。因此 x,y,z 中必有一個取 5。不妨設(shè) x = 5，代入(*1 )式，得到y(tǒng) z =10。-10 分此時，y 可取 1, 2,，8, 9 (相應地 z 取 9, 8,，2, 1),共 9 種放法。同 理可得y=5 或者 z=5 時，也各有 9 種放法，但有 x = y =z 時二種放法重復。因此 可得共有9X3-2 = 25 種放

13、法。 - 17 分220.已知橢圓 篤-y2=1(a1), Rt ABC 以 A (0, 1)為直角頂點，邊 AB、a27與橢圓交于兩點 B、0 若厶 ABC 面積的最大值為一，求a的值。81解：不妨設(shè) AB 的方程y二kx 1 k 0，則 AC 的方程為 y 二一x T。kBC得:=1(1 a2k2)x22a2kx =0 二 xB-2a2k2 2)1 a2k2得:(a2k2)x2-2a2kx = 0= xC=2a2ka2k2(2 2)a2t10O2a4t2a4SLABC -2,2,2八2a t +(a -1)令旦曰=(a3)(8a23a9)4 aUa=3297a -1816-1 2= a .

14、 1 、2,. a =-297(不合題意，舍去)，a = 3.-17 分a16所以，SDEL=SBCSFDSECSE= 口仆丫)仆。)一丫仆_B)SABCSABC=(1 - 1)(1 -：)(1 -)“,等號成立 u:=1 或=1 或 =1。-20 分因此 S.DEF亠 WSABC，等號成立，當且僅當，D 與 C 重合，或 E 與 A 重合，或 F 與 B重合。-25 分322. （ 1 ）設(shè)a 0，平面上的點如其坐標都是整數(shù)，則稱之為格點。今有曲線y=ax過格點（n，m），記1x蘭n對應的曲線段上的格點數(shù)為 N。證明:進而設(shè) a 是一個正整數(shù)，證明:a2-(n -1)n (3n 1)。4（注

15、x表示不超過 x 的最大整數(shù)）因為a2t -2 2(a -1)22a(a-1),a2-1時等號成立。因此當t=a2-1,(SABCmaxa2-1- 14 分四、附加題： （本大題共有 2 小題，每題 25 分，共 50 分。）記a = -BD.PBCICE7IAFCA AB證明:SIDEF-證明BD*BFsin BBCBA sin B(1_ ).- 5 分同理- 10 分21.設(shè) D, E, F 分別為 ABC 的三邊 BC, CA, AB 上的點。由SBFDS.DECS.ABCan3k =1證明 (1)考慮區(qū)域0：x豈n,0：y m,且該區(qū)域上的格點為 nm 個。又該區(qū)域由區(qū)域 E:0：x _ n,0：y _ ax3,以及區(qū)域 F：0：y _ m,0：x _3y組成。在區(qū)域 E 上，直線段x=k(kN；1_k_ n)上的格點為ak3個,n所以區(qū)域 E 上的 格點數(shù)為v