導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)應(yīng)用高考要求要求層次重難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念A(yù)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義C導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)C能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算C簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如）的導(dǎo)數(shù)）B導(dǎo)數(shù)公式表C導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過(guò)三次）C了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次）了解函數(shù)在某點(diǎn)取得

2、極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次）；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的極值、最值（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過(guò)三次）C利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題B例題精講板塊一：導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義知識(shí)內(nèi)容1函數(shù)的平均變化率：一般地，已知函數(shù)，是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記，則當(dāng)時(shí)，商稱作函數(shù)在區(qū)間（或）的平均變化率注：這里，可為正值，也可為負(fù)值但，可以為2函數(shù)的瞬時(shí)變化率、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變量為時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)的改變?nèi)绻?dāng)趨近于時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)常數(shù)（也就是說(shuō)平均變化率與

3、某個(gè)常數(shù)的差的絕對(duì)值越來(lái)越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)稱為函數(shù)在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率“當(dāng)趨近于零時(shí)，趨近于常數(shù)”可以用符號(hào)“”記作：“當(dāng)時(shí)，”，或記作“”，符號(hào)“”讀作“趨近于”函數(shù)在的瞬時(shí)變化率，通常稱為在處的導(dǎo)數(shù)，并記作這時(shí)又稱在處是可導(dǎo)的于是上述變化過(guò)程，可以記作“當(dāng)時(shí)，”或“”3可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)：如果在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間可導(dǎo)這樣，對(duì)開區(qū)間 內(nèi)每個(gè)值，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為或（或）導(dǎo)函數(shù)通常簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)如果不特別指明求某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，那么求導(dǎo)數(shù)指的就是求導(dǎo)函數(shù)4導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示為過(guò)點(diǎn)與的一條

4、割線由此割線的斜率是，可知曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變化率當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，割線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，它的最終位置為直線，這條直線叫做此曲線過(guò)點(diǎn)的切線，即切線的斜率由導(dǎo)數(shù)意義可知，曲線過(guò)點(diǎn)的切線的斜率等于、板塊二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算知識(shí)內(nèi)容1初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表，為正整數(shù)，為有理數(shù)注：，稱為的自然對(duì)數(shù)，其底為，是一個(gè)和一樣重要的無(wú)理數(shù)注意2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：函數(shù)和（或差）的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則，即，兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和（或差）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則，即，兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)的乘上第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由上述法則即可

5、以得出，即，常數(shù)與函數(shù)之積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則特別是當(dāng)時(shí)，有板塊三：常見題型導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)、基本初等函數(shù)的結(jié)合，這是導(dǎo)數(shù)的最主要的考查內(nèi)容；導(dǎo)數(shù)與極值；根的分布和交點(diǎn)問(wèn)題；導(dǎo)數(shù)與切線方程：常常涉及到函數(shù)與方程的知識(shí)，有時(shí)需要結(jié)合函數(shù)圖象求解；導(dǎo)數(shù)與不等式：導(dǎo)數(shù)在不等式的證明中的運(yùn)用，經(jīng)常需要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)去求單調(diào)性，證明不等式導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合；導(dǎo)數(shù)與數(shù)列：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的結(jié)合，要注意數(shù)列作為函數(shù)的特殊性；導(dǎo)數(shù)與其他：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的思想在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有重要的地位，經(jīng)常和其他的知識(shí)模塊進(jìn)行結(jié)合。板塊四：常用思想方法

6、極限的思想;分類討論;構(gòu)造函數(shù)；板塊五：知識(shí)框圖導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義【題1】 設(shè)在可導(dǎo)，則等于（ ）A B C D【題2】 如圖，在半徑為的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無(wú)限繼續(xù)下去設(shè)為前個(gè)圓的面積之和，則（ ）A B C D【題3】 如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標(biāo)分別為，則 ；函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) 【題4】 已知函數(shù)，則（ ）ABCD0導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象問(wèn)題【題5】 函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ）A BC D導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題極值問(wèn)題【題6】 （2007福建）設(shè)函數(shù)2 的最小值；若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【題7】 設(shè)函數(shù)，其中求

7、證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，求的極值求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值【題8】 （2007浙江）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立3 且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立【題9】 已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是 求函數(shù)的解析式； 設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值導(dǎo)數(shù)與切線方程【題10】 已知點(diǎn)在曲線上，為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（ ）ABCD導(dǎo)數(shù)與根的個(gè)數(shù)和交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題【題11】 已知函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；若的圖像總在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若函數(shù)與的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處

8、的切線相同，求實(shí)數(shù)的值【題12】 已知函數(shù) 求證：在上是增函數(shù)； 若在上恒成立，求的取值范圍；4 若在上的值域是，求的取值范圍導(dǎo)數(shù)與不等式【題13】 已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；若函數(shù)在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值若函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【題14】 （2006四川卷）已知函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)是對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)、，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【題15】 若方程有三個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A B C D【題16】 已知函數(shù)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；設(shè)，且，求證：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)【題17】 （2005江西）已知向量令，是否存在實(shí)數(shù)，使（其中是的導(dǎo)函數(shù)）若存在，則求出的值；若不存在，

9、則證明之導(dǎo)數(shù)與數(shù)列【題18】 已知函數(shù)，數(shù)列滿足：，證明：； 【題19】 （2008安徽21）設(shè)數(shù)列滿足，其中為實(shí)數(shù)，證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；設(shè)，證明：；設(shè)，證明：導(dǎo)數(shù)與微積分【題20】 若，則等于（ ） A B C或 D不確定導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題【題21】 如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)、及的中點(diǎn)處，已知，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界），且與、等距離的一點(diǎn)處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道、設(shè)排污管道的總長(zhǎng)度為設(shè)，將表示為的函數(shù)；請(qǐng)根據(jù)中的函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長(zhǎng)度最短家庭作業(yè)習(xí)題 1. 若，則當(dāng)無(wú)限趨近于時(shí)，_習(xí)題 2. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（ ）AB CD習(xí)題 3. （2007海南）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（ ）ABCD習(xí)題 4. 設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則_習(xí)題 5. 已知函數(shù)滿足（其中為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，為常數(shù)）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若方程有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求常數(shù)；在的條件下，若，求函數(shù)的圖象與軸圍成的封閉圖形的面積習(xí)題 6. （2008浙江21）已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)設(shè)為在區(qū)間上的最小值求的表達(dá)式求的取值范圍，使得月測(cè)備選習(xí)題 1. 設(shè)