直線與橢圓位置關(guān)系(經(jīng)典)(共12頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上直線與橢圓(教師版)知識(shí)與歸納：1.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)部的充要條件是；在橢圓外部的充要條件是；在橢圓上的充要條件是.2.直線與橢圓的位置關(guān)系.設(shè)直線l：Ax+By+C=0，橢圓C：，聯(lián)立l與C，消去某一變量(x或y)得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程，此一元二次方程的判別式為，則l與C相離的0.3.弦長(zhǎng)計(jì)算計(jì)算橢圓被直線截得的弦長(zhǎng)，往往是設(shè)而不求，即設(shè)弦兩端坐標(biāo)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|= （k為直線斜率）形式(利用根與系數(shù)關(guān)系（推導(dǎo)過程：若點(diǎn)在直線上，則，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者。)一，直線

2、與橢圓的位置關(guān)系例題1、判斷直線與橢圓的位置關(guān)系解：由可得 （1）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓相交（2）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓相切（3）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓相離例題2、若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解法一：由可得，即解法二：直線恒過一定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，短半軸長(zhǎng)，要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)則即當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)可保證直線與橢圓恒有交點(diǎn)即綜述：解法三：直線恒過一定點(diǎn)要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即要保證定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部即評(píng)述由直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組解的情況直接導(dǎo)致兩曲線的交點(diǎn)狀況，而方程解的情況由判別式來決定，直線與橢圓有相交、相切、相離三種關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去或得到關(guān)于或的一元

3、二次方程，則（1）直線與橢圓相交（2）直線與橢圓相切（3）直線與橢圓相離，所以判定直線與橢圓的位置關(guān)系，方程及其判別式是最基本的工具?；蛘呖墒紫扰袛嘀本€是否過定點(diǎn)，并且初定定點(diǎn)在橢圓內(nèi)、外還是干脆就在橢圓上，然后借助曲線特征判斷：如例2中法二是根據(jù)兩曲線的特征觀察所至；法三則緊抓定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部這一特征：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或在橢圓上則二、弦長(zhǎng)問題例3、已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若過點(diǎn)P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求ABF2的面積解法一：由題可知：直線方程為由可得，解法二：到直線AB的距離由可得，又評(píng)述在利用弦長(zhǎng)公式（k為直線斜率）或焦（左）半徑公式時(shí)，應(yīng)結(jié)合韋達(dá)定理解決問題。

4、例題4、 已知長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)分析：可以利用弦長(zhǎng)公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解因?yàn)?，所以因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問題例1 過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y-1

5、=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），則是方程的兩個(gè)根，于是，又M為AB的中點(diǎn)，所以，解得，故所求直線方程為。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），M（2，1）為AB的中點(diǎn)，所以，又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A()，由于中點(diǎn)為M（2，1），則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4-)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有，兩式相減得，由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題例2 過橢圓上一點(diǎn)P（-8，0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。解法一：設(shè)弦PQ中點(diǎn)M（）

6、，弦端點(diǎn)P（），Q（），則有，兩式相減得，又因?yàn)?，所以，所以，而，故?；?jiǎn)可得 （）。解法二：設(shè)弦中點(diǎn)M（），Q（），由，可得，又因?yàn)镼在橢圓上，所以，即，所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為 （）。三、弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題例3 求直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點(diǎn)，由題意得，消去y得，即，所以，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。解法二：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點(diǎn)，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。例題5、已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根

7、與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計(jì)算即得并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的解：方法一：設(shè)所求直線方程為代入橢圓方程，整理得 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，則、是的兩根，為中點(diǎn)，所求直線方程為方法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)，為中點(diǎn)，又，在橢圓上，兩式相減得，即直線方程為方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，另一個(gè)交點(diǎn)、在橢圓上，。 從而，在方程的圖形上，而過、的直線只有一條，直線方程為說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法若已知焦點(diǎn)是、的橢圓截直線所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，則如何求橢圓方程？例題6

8、、已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得 ：解得方程為說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長(zhǎng)問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式；解決弦長(zhǎng)問題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程例題7、 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與該橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.【解前點(diǎn)津】 由

9、題設(shè)條件，不能確定焦點(diǎn)是在x軸，還是在y軸上，且對(duì)于a、b、c的關(guān)系條件未作定性說明，故可設(shè)橢圓方程為：mx2+ny2=1(m0，n0)簡(jiǎn)便.【規(guī)范解答】 設(shè)橢圓方程為：mx2+ny2=1(m0，n0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由中消去y并依x聚項(xiàng)整理得：(m+n)x2+2nx+(n-1)=0，=4n2-4(m+n)(n-1)0，即m+n-mn0，OPOQ等價(jià)于x1x2+y1y2=0，將y1=x1+1，y2=x2+1代入得：2x1x2+(x1+x2)+1=0， 又|PQ|= 聯(lián)立并解之得： 經(jīng)檢驗(yàn)這兩組解都滿足0，故所求橢圓方程為x2+3y2=2或3x2+y2=2.【解后歸納】

10、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓方程可用統(tǒng)一形式：mx2+ny2=1(m0，n0)，m與n的大小關(guān)系，決定了焦點(diǎn)位置.三，對(duì)稱問題例題8、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則已知條件等價(jià)于：(1)直線；(2)弦的中點(diǎn)在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與交于點(diǎn)的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點(diǎn)，解得(法2)同解法1得出，即點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)

11、，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點(diǎn)在直線上，。由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線恒對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程(2)利用弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式四，最值問題例題9、 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=，已知點(diǎn)P(0， )到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程.【解前點(diǎn)津】 由條件，可將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程用含一個(gè)參數(shù)的形式表示，將“最遠(yuǎn)距離”轉(zhuǎn)化

12、為二次函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】 由e=可推出a=2b，于是可設(shè)橢圓方程為：，即有x2=4b2-4y2.設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，且-byb，|PM|2=-3(y+)2+4b2+3，由于y-b，b，于是轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間-b，b，求二次函數(shù)的最值.當(dāng)b時(shí)，y=-b，|PM|2有最大值b2+3b+，令b2+3b+=()2，解得b=-，舍去.當(dāng)b時(shí)，取y=-知|PM|2有最大值4b2+3，令4b2+3=( )2解得：b=1，a=2，故所求方程為：.【解后歸納】 這是一道解析幾何與函數(shù)的綜合題，其知識(shí)的交匯點(diǎn)及“等價(jià)轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，是必須“關(guān)注”的.例題10、 設(shè)橢圓方程為，過原點(diǎn)且傾斜角為和-(

13、0)的兩條直線分別交橢圓于A、C和B、D兩點(diǎn).(1)用表示四邊形ABCD的面積；(2)當(dāng)(0， )時(shí)，求S的最大值.【解前點(diǎn)津】 設(shè)直線方程為y=xtan，利用橢圓圖形的“對(duì)稱性”，易用表示S，然后運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)，求面積S的最大值.【規(guī)范解答】 (1)設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為：y=xtan，代入求得：x2=，由對(duì)稱性知四邊形ABCD為矩形，又由于0，所以四邊形ABCD的面積為：S=4|xy|=.(2)當(dāng)0時(shí)，0tan1，設(shè)t=tan，則S=(0t1)，函數(shù)f(t)=t+在(0，)上是單調(diào)減函數(shù)，f(t)min=f(1)=1+2=3，當(dāng)=時(shí)，Smax=.【解后歸納】 從代數(shù)角度出發(fā)，利用橢圓的幾何性質(zhì)，確定四邊形ABCD為矩形，是解題的一個(gè)亮點(diǎn)，讀者應(yīng)認(rèn)真體會(huì).練習(xí)題：1、在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和（I）求的取值范圍；（II）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說明理由解：（）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得整理得直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和等價(jià)于，解得或即的取值范圍為（）設(shè)，則，由方程， 又而所以與共線等價(jià)于，將代入上式，解得由（）知或，故沒有符合題意的常數(shù)2、橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的值；（2）若橢圓的離心率滿足，求橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍.