量子力學(xué)-第四版-卷一-(曾謹(jǐn)言-著)習(xí)題答案第5章-1

1、第五章：對(duì)稱性及守恒定律P248設(shè)粒子的哈密頓量為。（） 證明。（） 證明：對(duì)于定態(tài)（證明）（），運(yùn)用力學(xué)量平均值導(dǎo)數(shù)公式，以及對(duì)易算符的公配律： （）分動(dòng)量算符僅與一個(gè)座標(biāo)有關(guān)，例如，而不同座標(biāo)的算符相對(duì)易，因此（）式可簡(jiǎn)化成：（）前式是輪換對(duì)稱式，其中對(duì)易算符可展開如下： （）（）將（）（）代入（），得：代入（），證得題給公式：（）（）在定態(tài)之下求不顯含時(shí)間的力學(xué)量的平均值，按前述習(xí)題的結(jié)論，其結(jié)果是零，令則 （）但動(dòng)能平均值由前式 P249 設(shè)粒子的勢(shì)場(chǎng)是的次齊次式證明維里定理（irial theorem）式中是勢(shì)能，是動(dòng)能，并應(yīng)用于特例：（）諧振子（）庫侖場(chǎng)（）（解）先證明維里定理：假

2、設(shè)粒子所在的勢(shì)場(chǎng)是直角坐標(biāo)的次齊次式，則不論是正、負(fù)數(shù)，勢(shì)場(chǎng)用直角坐標(biāo)表示的函數(shù)，可以表示為以下形式，式中假定是有理函數(shù)（若是無理式，也可展開成級(jí)數(shù)）：（）此處的暫設(shè)是正或負(fù)的整數(shù)，它們滿足：（定數(shù)）是展開式系數(shù)，該求和式可設(shè)為有限項(xiàng)，即多項(xiàng)式。根據(jù)前一題的結(jié)論：（）現(xiàn)在試行計(jì)算本題條件下的式子及其定態(tài)下平均值。這個(gè)關(guān)系在數(shù)學(xué)分析中稱Euler的齊次式定理。再利用（）即得：（）本證明的條件只要不顯含時(shí)間（見前題證明）故是一個(gè)普遍的證明?，F(xiàn)將其直接用于幾種特例，并另用（）式加以驗(yàn)證。（）諧振子：直接看出，根據(jù)（）式知道，即也可以根據(jù)前一題的結(jié)論，即（）式直接來驗(yàn)證前一結(jié)論，由（）式可知（）庫侖場(chǎng)

3、直接看出是的次齊次式，按（）式有： 但這個(gè)結(jié)論也能用（）式驗(yàn)證，為此也利用前一題結(jié)論（）有： 代入（）式，亦得到（）場(chǎng)直接看出是的次齊次式，故由（）式得：仍根據(jù)（）式來驗(yàn)證：由（）得 ，結(jié)果相同。本小題對(duì)于為正、負(fù)都相適，但對(duì)庫侖場(chǎng)的奇點(diǎn)除外。P260求海森伯表象中自由粒子的座標(biāo)的算符。（解）根據(jù)海森伯表象（繪景）的定義可導(dǎo)得海森伯運(yùn)動(dòng)方程式，即對(duì)于任何用海氏表象的力學(xué)算符應(yīng)滿足：（）又對(duì)于自由粒子，有（不隨時(shí)間變化）令為海氏表象座標(biāo)算符；代入（）（）但 （）代入（），得：積分得將初始條件時(shí)，代入得，因而得到一維座標(biāo)的海氏表象是：P260求海森伯表象中中諧振子的坐標(biāo)與動(dòng)量算符。解：用薛氏表象時(shí)

4、，一維諧振子的哈氏算符是：（）解法同于前題，有關(guān)坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程式是：（）將等式右方化簡(jiǎn)，用前一題的化簡(jiǎn)方法：（）但這個(gè)結(jié)果卻不能直接積分（與前題不同，與有關(guān)），為此需另行建立動(dòng)量算符的運(yùn)動(dòng)方程式：化簡(jiǎn)右方 = 將對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù),并與式結(jié)合,得算符的微分方程式:這就是熟知的諧振動(dòng)方程式，振動(dòng)角頻率，它的解是： ，待定算符，將它求導(dǎo)，并利用： 將t=0代入：x(0)=A P（0）=B，最后得解： 在初時(shí)刻t=0，海森伯表象的算符與薛定諤表象中的算符的形式是相同的，因?yàn)榍笆街校篶.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:§-48 Addison-Wesley5

5、.1設(shè)力學(xué)量不顯含，為本體系的Hamilton量，證明證.若力學(xué)量不顯含，則有,令則,5.1證明力學(xué)量（不顯含）的平均值對(duì)時(shí)間的二次微商為：（是哈密頓量）（解）根據(jù)力學(xué)量平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)公式，若力學(xué)量 不顯含，有（）將前式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將等號(hào)右方看成為另一力學(xué)量的平均值，則有：（）此式遍乘即得待證式。5.2證明，在不連續(xù)譜的能量本征態(tài)（束縛定態(tài)）下，不顯含的物理量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的平均值等于零。（證明）設(shè)是個(gè)不含的物理量，是能量的公立的本征態(tài)之一，求在態(tài)中的平均值，有：將此平均值求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，可得以下式（推導(dǎo)見課本§5.1）（）今代表的本征態(tài)，故滿足本征方程式（為本征值） （）又因?yàn)槭嵌蛎芩?/p>

6、符，按定義有下式（需要是束縛態(tài)，這樣下述積分存在）（）（題中說力學(xué)量導(dǎo)數(shù)的平均值，與平均值的導(dǎo)數(shù)指同一量）（）（）代入（）得：因，而5.2）設(shè)力學(xué)量不顯含，證明束縛定態(tài)，證：束縛定態(tài)為:：。在束縛定態(tài)，有。其復(fù)共軛為。5.3證明，對(duì)于一維波包有：（解）一維波包的態(tài)中，勢(shì)能不存在故（自由波包）依據(jù)力學(xué)量平均值時(shí)間導(dǎo)數(shù)公式：（）但 （）因（）代入（）式，得到待證的一式。5.4 多粒子系若不受外力，則其哈密頓算符可表成：證明：總動(dòng)量為守恒。 證明：待證一試是矢量算符，可以證明其x分量的守恒關(guān)系，即為足夠按力學(xué)量守恒條件這要求： =+ 第一個(gè)對(duì)易式中，因?yàn)椋?， ，故整個(gè) 至于第二個(gè)對(duì)易式中，其相互勢(shì)

7、能之和有以下的形式 =又式的第二對(duì)易式又能用分配律寫成許多對(duì)易式之和，由于不同粒子的坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符永遠(yuǎn)能夠?qū)σ祝接帜芎?jiǎn)化成： = 再運(yùn)用對(duì)易式（第四章11題） 代入上式得： =滿足式，故式得征。5.5多粒子系如所受外力矩為0，則總動(dòng)量為守恒。證明：與前題類似，對(duì)粒子系，外力產(chǎn)生外力勢(shì)能和外力矩，內(nèi)力則產(chǎn)生內(nèi)力勢(shì)能，但因?yàn)閮?nèi)力成對(duì)產(chǎn)生，所以含內(nèi)力矩為0，因此若合外力矩為零，則總能量中只含內(nèi)勢(shì)能： 要考察合力矩是否守恒，可以計(jì)算的分量看其是否等于零。 因?yàn)?因而可以化簡(jiǎn)： 用對(duì)易關(guān)系： 最后一式第一求和式用了等，第二求和式用了：最后的結(jié)果可用勢(shì)能梯度內(nèi)力表示，因內(nèi)力合矩為零，故有 同理可證

8、因此是個(gè)守恒量。5.6證明：對(duì)經(jīng)典力學(xué)體系，若A，B為守恒量，則A，B即泊松括號(hào)也為守恒量，但不一定是新的守恒量，對(duì)于量子體系若，是守恒量，則也是守恒量，但不一定是新的守恒量。 證明先證第一總分，設(shè)qi 為廣義坐標(biāo)，pi為廣義動(dòng)量，A qi ，pi和B qi ，pi 是任意力學(xué)量, i=1,2,3,為坐標(biāo)或動(dòng)量編號(hào)，s自由度，則經(jīng)典Poisson括號(hào)是：（前半題證明c.f.Goldstein：Clessical Mechanlcs）在經(jīng)典力學(xué)中，力學(xué)量A 隨時(shí)間守恒的條件是 或?qū)懽鳎簩⒐茴D正則方程式組： 代入前一式得 因此，若力學(xué)量A，B不顯示含時(shí)間t,則這兩涵數(shù)隨時(shí)間守恒的條件是： 假定以

9、上兩條件都適合，我們來考察A，B是否也是守恒的？為此只需要考察下式能否成立：為了考察前一式，可令：將此式用泊松括號(hào)的定義展開得：仔細(xì)地展開前一式的各項(xiàng)，將發(fā)現(xiàn)全部有關(guān)H的二階導(dǎo)數(shù)都抵消，只留下H的一階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，化簡(jiǎn)形式如下： 式中F，G都含A和B的導(dǎo)數(shù)，為了確定這兩個(gè)待定系數(shù)，可令H等于特殊函數(shù)(這不失普遍性，F(xiàn)與H無關(guān))，代入式后有前式中的值可在中，作替代A>B，B>得到，求法類似。再在式中，令H=，得：I=F（A，B）因而得： 同理令H=得：將所得的F和G代入，并將這結(jié)果再和等同起來，得到：A，B，HB，A，H這個(gè)式子說明：如果（2），（3）滿足，（4）式就成立即A,B守恒。在

10、量子力學(xué)體系情形，守恒的條件是 再考察 將此式加減后得到：若，是守恒量，前一式等號(hào)右方，左方所以也是守恒量，所以量子體系的情形也有類似的結(jié)論。在量子體系情形，若是守恒量，則有共同本征態(tài)，在此態(tài)中測(cè)得的值為確定值A(chǔ)0和B0（初始時(shí)刻的值），的值為0。5.73.2，3.35.8表示沿方向平移距離算符.證明下列形式波函數(shù)（Bloch波函數(shù)）, 是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為證： 證畢5.8證明周期場(chǎng)中的Bloch波函數(shù)（§3.4） ，是的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值是。（證明）是位移算符，它的本征態(tài)具有空間的移動(dòng)（或平移）的對(duì)稱性，假使是這種態(tài)，則同時(shí)是有運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性的： 將作用于Bloch函數(shù)：5.96.75.9設(shè)表示的本征態(tài)（本征值為），證明是角動(dòng)量沿空間方向的分量的本征態(tài)。證：算符相當(dāng)于將體系繞軸轉(zhuǎn)角，算符相當(dāng)于將體系繞軸轉(zhuǎn)角，原為的本征態(tài)，本征值為，經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)動(dòng)，固定于體系的坐標(biāo)系（即隨體系一起轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系）的軸（開始時(shí)和實(shí)驗(yàn)室軸重合）已轉(zhuǎn)到實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的方向，即方向，變成了，即變成了的本征態(tài)。本征值是狀態(tài)的物理屬性，不受坐標(biāo)變換的影響