高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽切比雪夫（Chebyshev）多項(xiàng)式知識(shí)整理

1、.方法一：余弦倍角公式是由余弦的冪整系數(shù)線性組合來表示倍角的余弦這樣就產(chǎn)生余弦的倍角能否用余弦的冪次的整系數(shù)線性組合表示等問題通過研究，發(fā)現(xiàn)都是關(guān)于2的首項(xiàng)系數(shù)為1的、次數(shù)等于的倍數(shù)的、系數(shù)符號(hào)正負(fù)相間的整系數(shù)多項(xiàng)式，還進(jìn)一步得到的一些性質(zhì)應(yīng)用此性質(zhì)，可以得到一些求和公式及解決許多數(shù)學(xué)問題進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式可以轉(zhuǎn)化為切比雪夫多項(xiàng)式在初等數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)是一個(gè)非常有用的工具，余弦是眾所周知的偶函數(shù)，它的倍角公式如： ，1 2它們都是由余弦的冪整系數(shù)線性組合來表倍角的余弦這樣就自然產(chǎn)生了余弦的倍角能否用余弦的冪次的整系數(shù)線性組合表示問題，稍作計(jì)算可以得 ，3 4觀察公式14，可以發(fā)現(xiàn)假如公式

2、兩端同乘以2，那么公式右邊都是關(guān)于2的首系數(shù)為1的、次數(shù)等于公式左邊的倍數(shù)的、系數(shù)符號(hào)正負(fù)相間的整系數(shù)多項(xiàng)式由此猜測(cè)2也具有這一性質(zhì)，下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明猜測(cè)， 5 5式可改寫為： ，99式稱為n倍角余弦公式，其中為正整數(shù)因?yàn)橛嘞以谏蠁握{(diào)，對(duì)應(yīng)值為降到，即， 因此存在反函數(shù)，假設(shè)令，那么，因此，在余弦倍角公式中令，那么倍角公式為于是首項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)式，各項(xiàng)系數(shù)是整數(shù)，符號(hào)依次變化，的冪依次遞減2次，假設(shè)遞減到最后，冪次為負(fù)，那么該項(xiàng)取零假設(shè)記=，那么滿足，稱為切比雪夫多項(xiàng)式從遞推關(guān)系可以得到：第一類切比雪夫多項(xiàng)式有許多良好的性質(zhì)，例如：1分析：令，2，這說明當(dāng)為奇偶數(shù)時(shí)是奇偶函數(shù)34，5函

3、數(shù)列的生成函數(shù)為分析：生成函數(shù)又叫母函數(shù)，在數(shù)學(xué)中，某個(gè)序列的母函數(shù)是一種形式冪級(jí)數(shù)，其每一項(xiàng)的系數(shù)可以提供關(guān)于這個(gè)序列的信息使用母函數(shù)解決問題的方法稱為母函數(shù)方法母函數(shù)的思想就是把離散數(shù)列和冪級(jí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來，把離散數(shù)列間的互相結(jié)合關(guān)系對(duì)應(yīng)成為冪級(jí)數(shù)間的運(yùn)算關(guān)系，最后由冪級(jí)數(shù)形式來確定離散數(shù)列的構(gòu)造母函數(shù)是解決組合計(jì)數(shù)問題的有效工具之一，其思想方法是把組合問題的加法法那么和冪級(jí)數(shù)的乘冪的相加對(duì)應(yīng)起來6函數(shù)列滿足2階遞推關(guān)系分析：由三角恒等式最小偏向切比雪夫在1857年提出這樣一個(gè)問題：在最高項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式中，尋求在區(qū)間上與零的偏向最小的多項(xiàng)式換句話說，就是尋求在中的最正確一致逼近多項(xiàng)

4、式，這里定理 在區(qū)間上所有最高項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式中，與零的偏向最小，其偏向?yàn)榉Q為第n個(gè)第二類切比雪夫多項(xiàng)式，前7個(gè)第二類切比雪夫多項(xiàng)式為：第二類切比雪夫多項(xiàng)式也有許多良好的性質(zhì)，例如： 1即當(dāng)以為奇偶數(shù)時(shí)是奇偶函數(shù)2，,，3函數(shù)列的生成函數(shù)為45函數(shù)列滿足2階遞推關(guān)系兩類切比雪夫多項(xiàng)式的關(guān)系定理1設(shè)和分別為第一類和第二類切比雪夫多項(xiàng)式，為整數(shù)，那么證明 由兩類切比雪夫多項(xiàng)式的定義得而 那么比較式在子兩邊項(xiàng)的系數(shù)，即有4切比雪夫多項(xiàng)式的應(yīng)用4.1切比雪夫多項(xiàng)式插值切比雪夫多項(xiàng)式在逼近理論中有重要的應(yīng)用這是因?yàn)榈谝活惽斜妊┓蚨囗?xiàng)式的根被稱為切比雪夫節(jié)點(diǎn)可以用于多項(xiàng)式插值相應(yīng)的插值多項(xiàng)式能最大限度地降低龍格現(xiàn)象，并且提供多項(xiàng)式在連續(xù)函數(shù)的最正確一致逼近切比雪夫多項(xiàng)式插值法：定理：設(shè)為區(qū)間上個(gè)互不一樣的點(diǎn)，那么對(duì)任何,存在，使得拉格朗日插值余，滿足其中插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)極小化：要使拉格朗日插值多項(xiàng)式盡量逼近，就要使余項(xiàng) 盡量小在 中，是固定的，而 又是未知數(shù)，所以要減小 ，只有恰中選擇節(jié)點(diǎn)集，使得在插值區(qū)間內(nèi)余項(xiàng)的最大值為極小值為了應(yīng)用切比雪夫多項(xiàng)式，首先應(yīng)將插值區(qū)間,通過簡(jiǎn)單變換歸一化到區(qū)間1,1,做變換 所以插值節(jié)點(diǎn)應(yīng)取為.其中，所以下面我們只需要討論區(qū)