第七章無窮級數(shù)

1、第七章 無窮級數(shù)【數(shù)學13AB】2008考試內(nèi)容(本大綱為數(shù)學1，數(shù)學2-4需要根據(jù)大綱作部分增刪)常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念 收斂級數(shù)的和的概念 級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性 正項級數(shù)收斂性的判別法 交錯級數(shù)與萊布尼茨定理 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂 函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念 冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域 冪級數(shù)的和函數(shù) 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級數(shù) 狄利克雷（Dirichlet）定理 函數(shù)在l，l上的傅里葉級數(shù) 函數(shù)在0，l上的

2、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)2008考試要求1. 理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2. 掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。3. 掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。4. 掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。5. 了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系。6. 了觖函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7. 理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8. 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導(dǎo)和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)

3、項級數(shù)的和。9. 了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。10. 掌握的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開為冪級數(shù)。11. 了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在0，l上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和的表達式。一、三基層面及其拓展1. 級數(shù)收斂充要條件：部分和存在且極值唯一，即：存在，稱級數(shù)收斂。2. 級數(shù)的本質(zhì)：級數(shù)就是無限項求和，記為，雖然在形式上是用加法依次連成，但在意義上與有限項求和形式完全不同。從有限到無限發(fā)生了本質(zhì)的變化，如級數(shù)一般不滿足結(jié)合律（可任意加括號）和交換律（可任意變換相加順序），只有當級數(shù)收斂時才滿足結(jié)合

4、律，當級數(shù)絕對數(shù)收斂時才滿足交換律。所以，無窮級數(shù)不能看成是有限項相加，只是形式上的記號而已。無窮級數(shù)的特征就是收斂性，收斂性的定義就是部分和極限存在，只有在收斂時，才能討論無窮級數(shù)的性質(zhì)。研考數(shù)學需要掌握的級數(shù)對象分為三類：常數(shù)項級數(shù)（正項、負項、交錯和任意項），函數(shù)項級數(shù)（只要求掌握冪級數(shù)），傅里葉級數(shù)。研究常數(shù)項級數(shù)首先是研究正項級數(shù)（又稱不變號級數(shù)，因為正項級數(shù)的全部收斂性質(zhì)也代表負項級數(shù)）分為收斂和發(fā)散兩種；任意項級數(shù)（又稱變號級數(shù)，包含交錯級數(shù)）如分為絕對收斂與發(fā)散，條件收斂與發(fā)散兩組，若任意項級數(shù)收斂，發(fā)散，則稱條件收斂，若收斂，則稱級數(shù)絕對收斂，絕對收斂的級數(shù)一定條件收斂。任意

5、項級數(shù)（如）加上絕對值后就是正項級數(shù)，交錯級數(shù)（如）是任意項級數(shù)的特例，故判別它們的收斂性，就必須首先考慮其絕對收斂性，這時，所有正項級數(shù)的判斂法都能使用。如果任意項級數(shù)不絕對收斂，原級數(shù)不一定發(fā)散，需要用其他方法判別，如對交錯級數(shù)使用萊布尼茨定理判斂。而其它不絕對收斂的任意項級數(shù)類型一般使用拆項法或定義法，更復(fù)雜的類型不是考研數(shù)學的范疇。級數(shù)收斂時，去掉有限個項不影響其收斂性，如去掉奇次項或偶次項（無限次），則會影響收斂性，如，則收，發(fā)，。3. 任何級數(shù)收斂的必要條件是這是因為部分和 4 若有兩個級數(shù)和，則 ，。收斂，發(fā)散，則發(fā)散。若二者都發(fā)散，則不確定，如發(fā)散，而收斂?！纠?】已知級數(shù)。解

6、：5 下面三個重要結(jié)論及其證明方法具有代表性，請讀者反復(fù)歷練。收斂存在證明：正項（不變號）級數(shù)收收，反之不成立，如果不是不變號級數(shù)，則無此結(jié)論。證明：和都收斂收，收證明：二、正項（不變號）級數(shù)斂散性的判據(jù)與常用技巧1. 達朗貝爾比值法2. 柯西根值法3. 比階法代數(shù)式極限式 ，其中：和都是正項級數(shù)。三個常用于比較判斂的參考級數(shù)：a) 等比級數(shù)：b) P級數(shù)：c) 對數(shù)級數(shù)：例如，級數(shù)，故發(fā)散。斯特定公式：【例2】 常用收斂快慢正整數(shù) 由慢到快連續(xù)型 由慢到快例如根據(jù)上面的規(guī)律可以快速判斷等等。4積分判斂法若，在上單調(diào)遞減，則與反常積分同斂散。5對數(shù)判斂法若。例如 ，原級數(shù)發(fā)散。陳氏第17技 大

7、收小收，小發(fā)大發(fā)，同階同斂散。只有大收小發(fā)情形下，比較法才可判斂。判別正項級數(shù)收斂的一般思路：先看是否成立，如不成立，則發(fā)散，如收斂，則根據(jù)級數(shù)通項的特點考慮比值法或根值法，如果比值法或根值法的極限不易求出或等于1，則使用比較法或其極限形式。 比階法的極限形式是核心方法，必須熟諳陳氏第17技，否則讀者在做題時會糊涂。比較法中最常用的技巧是找到合適的基準級數(shù)，主要技巧有3：對原級數(shù)通項放縮（如算術(shù)平均幾何平均等常用不等式）、利用等價無窮小及利用佩亞若余項泰勒展開。 凡是由達朗貝爾比值法給出的收斂性結(jié)論，由柯西根值法必可以給出相同的結(jié)論；反之卻不一定。【例3】設(shè)，單調(diào)遞減，發(fā)散，試證明：收斂。證明

8、：因為，單調(diào)遞減，則必存在，設(shè)， 由于發(fā)散，可推出（否則，由萊布尼茨定理判定必收斂。） 又， ，【例4】若，則級數(shù)是否收斂。解：，即與為等價無窮小。但充分大時，由于，則【例5】討論的收斂性。解： 顯然收斂。發(fā)散【例6】討論級數(shù)的收斂性。解：根據(jù)達朗貝爾比值法，有 根據(jù)柯西根值法，有【例7】，試討論級數(shù)的斂散性。 解：【例8】判別（1）和（2）的斂散性。解：(1)根據(jù)只有大收小發(fā)才可判斂的原則，無法判斷的斂散性； 顯然，要想辦法讓比較極限為零。 故我們另選參考級數(shù)根據(jù)大收小收，小發(fā)大發(fā)，(2)對選比較基準級數(shù)故原級數(shù)收斂。評注如能利用同價無窮小等手段估計出級數(shù)一般項的階次，選用的比較基準級數(shù)形式

9、就很容易確定。例如，可直接選用基準級數(shù)就可知原級數(shù)收斂。，也可選用基準級數(shù)就可知原級數(shù)收斂。，選用基準級數(shù)，得原級數(shù)發(fā)散?！纠?】判別級數(shù)的斂散性 解 方法一：試探比階法 上述極限=，故原級數(shù)收斂。方法二：泰勒展開法三、任意項級數(shù)的斂散性的判據(jù)與常用技巧萊布尼茨判交錯級數(shù)（任意項級數(shù)的特例） 收斂。這是一個必要條件，如果不滿足，則必發(fā)散，若只有不滿足，則不一定收斂還是發(fā)散，要使用絕對收斂判別其斂散性。任意項級數(shù)判斂使用絕對值，使之轉(zhuǎn)換為正項級數(shù)，即絕對收斂、條件收斂或發(fā)散。 任意項級數(shù)判斂的兩個重要技巧：微分積分法。換成連續(xù)變量，再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。階無窮小試探法。在不能估計出通項的無

10、窮小階次時，使用該試探法，見【例9】。變號級數(shù)的乘積級數(shù)的兩個判斂定理阿貝爾檢驗收斂，且單調(diào)，則收斂。狄利克雷檢驗有界，且單調(diào)趨于0，則收斂。【例10】設(shè)在上單調(diào)增加有界，求證：收斂。證明：又題知在上單調(diào)增加有界，故存在，則收斂，由正項級數(shù)的比較法知：收斂?！纠?1】設(shè)在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)有界，證明： （1）絕對收斂 （2） 證明：（1）有界，則常數(shù)M0由拉格朗日中值定理有 由比較法知 絕對收斂。 （2）證 而為常數(shù)。故 【例12】設(shè)的收斂性解： 比增加快，故，由萊布尼茨判據(jù)知原級數(shù)收斂。 又 （很大時） 而，故發(fā)散。即原級數(shù)條件收斂?！纠?3】討論的斂散性解：故，原級數(shù)條件收斂。【例1

11、4】判別級數(shù)的斂散性 解：考查一般項 【例15】討論的斂散性。 解：利用狄利克雷判斂法。，狄利克雷判斂法知收斂。 又，發(fā)散，故為條件收斂。【例16】 設(shè)在的某一鄰域內(nèi)具有不為零的二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明絕對收斂。證明（一）： 而在x=0某鄰域內(nèi)連續(xù)，則，在某一小鄰域內(nèi) 收，故原命題成立證明（二）： 令代入上式即得結(jié)論?！纠?7】的斂散性。 解 命，故0，單調(diào)減少； 由萊布尼茨定理知 收斂。又：，發(fā)，故發(fā)原級數(shù)條件收斂?！纠?8】的斂散性 解： 形式中，命發(fā)散，絕對不收斂；顯然不單調(diào)減少，萊布尼茨判劇失效。 但 原級數(shù)不一定發(fā)散 折項法 收，而，收 故原級數(shù)條件收斂?！纠?9】 已知 ，收，證明：

12、收證明：用定義法證明之：設(shè)部分和為，則時，由級數(shù)收斂定義知收斂【例20】判別下列命題的正誤（1）發(fā)（0） (2) 收 收 (3) 收 收 (4) 則和有相同的斂散性 (5) 至少一個發(fā)，則發(fā) (6) 收均收 (7) 若為正項級數(shù)，收 (8) 收收解：（1）錯誤。如反例：； （2）錯誤。如反例：； （3）錯誤。如反例：； （4）錯誤。因為只對不變號級數(shù)才成立，否則極限可能不唯一，無法判斷，見【例10】； （5）正確，反證如下：因為 ，與條件矛盾。 （6）錯誤，如反例：； （7）錯誤，如反例：；（8）正確，證明如下：因為 ，而：收斂都收斂， 但 【例21】設(shè)級數(shù)收斂，下列必收斂的級數(shù)是（ ）。 （

13、A）（B）（C）（D）解：（A）取，則命題錯誤； （B）取，則命題錯誤；（C）取，則命題錯誤；（D） ，收斂， 則命題正確?！纠?2】設(shè)級數(shù)，且收斂，則級數(shù)（ ）。 （A）收斂 （B）發(fā)散（C）不定 （D）與有關(guān)解：取，則命題（A）正確。 【例23】設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（ ）。 若收斂，則收斂。 若單調(diào)，則收斂。 若收斂，則收斂。 若單調(diào)，則收斂。解： 因為在內(nèi)單調(diào)有界，如單調(diào)，則單調(diào)有界，故收斂。正確?！纠?4】舉例說明：1）級數(shù)條件收斂結(jié)合性成立，交換性不一定成立，如級數(shù)不收斂，則結(jié)合性和交換性都不一定成立。 2）級數(shù)絕對收斂結(jié)合性成立，交換性也成立。解：1）如發(fā)散

14、，而，故收結(jié)果可能為1或零，故發(fā)散。2）又如條件收斂， 但交換位置后 故交換律不成立。四、冪級數(shù) 1阿貝爾（Abel）定理如果級數(shù)當點收斂，則級數(shù)在圓域內(nèi)絕對收斂；如果級數(shù)當點發(fā)散，則級數(shù)在圓域外發(fā)散。由阿貝爾（Abel）定理可見收斂點集或發(fā)散點集是分別連接成對稱連續(xù)區(qū)域，這一定理是引入冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域概念的理論依據(jù)。注意，除外，該定理并沒有完全保證圓上每一點的斂散性，正確理解阿貝爾定理是學好冪級數(shù)的關(guān)鍵。如推論：如果不是僅在一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個確定的正數(shù)存在，使得：陳氏第18技如果所給級數(shù)為在點收斂，則相當于在處為常數(shù)項級數(shù)收斂，顯然的收斂半徑。如

15、果所給級數(shù)為在點發(fā)散，則相當于在處為常數(shù)項級數(shù)發(fā)散，顯然的收斂半徑。參見例26、例27和例28。2冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域已知，若；則根據(jù)比值判斂法有：收斂。收斂半徑：。收斂區(qū)間：級數(shù)在收斂；冪級數(shù)的收斂區(qū)間是非空點集，對至少在處收斂，對至少在處收斂。由阿貝爾定理可以推出：冪級數(shù)的條件收斂點只能位于收斂區(qū)間端點。收斂域：由于級數(shù)在收斂區(qū)間的端點上（收斂半徑上）收斂性待定，故收斂域是、或四種情況之一。3在收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì) (1)的和函數(shù)連續(xù)并有任意階導(dǎo)數(shù)；(2)可逐項微分 (3) 可逐項積分 (4)收斂域的等價求法關(guān)于的冪級數(shù)，乘以或除以一個常數(shù)或關(guān)于函數(shù)（保證指數(shù)不小于0），則收斂域

16、不變；對冪級數(shù)求導(dǎo)或積分收斂區(qū)間不變，但求導(dǎo)或積分會改變收斂區(qū)間端點的斂散性，故需要單獨驗證端點的斂散性。例如求的收斂域。的形式與相同，而的收斂區(qū)域為，故的收斂區(qū)域為。再驗證端點，所以，原級數(shù)的收斂域為。410個標準泰勒冪級數(shù)，5. 冪級數(shù)求和方法 函數(shù)項級數(shù)求和方法 一般先求收斂域，然后逐次積分或微分，利用上述10各泰勒級數(shù)結(jié)論進行零部件組裝 數(shù)項級數(shù)求和方法 構(gòu)造輔助冪級數(shù)法?！纠?5】已知級數(shù)在收斂，試確定的取值范圍。解：的收斂半徑為：【例26】設(shè)冪級數(shù)在條件收斂，證明：冪級數(shù)在發(fā)散。解： 顯然兩個級數(shù)有相同的收斂半徑。且收斂區(qū)間的中點相同，都為。因為在條件收斂，根據(jù)阿貝爾定理：絕對收斂

17、區(qū)間為，即求得的兩個邊界點為。而不在收斂域內(nèi)，故冪級數(shù)在發(fā)散?！纠?7】設(shè)冪級數(shù)在時條件收斂，則在處的收斂性如何？ 解：在時條件收斂，相當于在條件收斂， 又由阿貝爾定理知：對應(yīng)的級數(shù)的收斂半徑為，而的收斂半徑與相等，故收斂區(qū)間為 不在收斂區(qū)間內(nèi)，故發(fā)散?！纠?8】已知冪級數(shù)在處收斂，則在處發(fā)散，求冪級數(shù)的收斂性域。 解：冪級數(shù)在處收斂，相當于在收斂，由阿貝爾定理知：的收斂半徑為；冪級數(shù)在處發(fā)散，相當于在處發(fā)散，由阿貝爾定理知：對應(yīng)的級數(shù)的收斂半徑為，所以，收斂半徑也；收斂區(qū)間為。要使收斂，則必須滿足：。【例29】設(shè)冪級數(shù)在時條件收斂，則的收斂性如何？解：對應(yīng)的級數(shù)的收斂半徑為。而是相當于冪級數(shù)

18、在處的正數(shù)項級數(shù)形式，又因為，故絕對收斂，因此收斂?！纠?0】設(shè)冪級數(shù)在處收斂，則的收斂性如何？解：在處收斂【例31】設(shè)存在，且，討論級數(shù)的收斂性。解：利用佩亞諾余項麥克勞林形式把泰勒展開，得：，【例32】試確定的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域。解：令收斂半徑：；收斂區(qū)間：收斂區(qū)域：故收斂區(qū)域為?！纠?3】試確定的收斂區(qū)域。解：令 ，沒有冪級數(shù)形式，所以不能討論收斂半徑，但可視為“數(shù)項級數(shù)”討論。可見，盡管時原級數(shù)收斂，但本題，這種情況并不存在，我們只要討論情形下的取值范圍對原級數(shù)收斂性的影響?！纠?4】將展開成的冪級數(shù)，并求。解: 【例35】將展開為的冪級數(shù)。解：評 注函數(shù)展開成冪級數(shù)時，常常

19、需要用到“先求導(dǎo)后積分”或“先積分后求導(dǎo)”方略。但對于原函數(shù)中含有常數(shù)項情形，在“先積分后求導(dǎo)”時，則應(yīng)將常數(shù)項和非常數(shù)項分離；在“先積分后求導(dǎo)”時，則無需考慮常數(shù)項。比如，假設(shè)“先求導(dǎo)后積分”說明常數(shù)無法還原；“先求導(dǎo)后積分”說明常數(shù)可以還原；將展開成冪級數(shù)。解：求收斂域，可以使用等價求法最為方便，因為，故的收斂區(qū)間為，當代入后的級數(shù)均收斂，故的收斂域為。【例36】將函數(shù)在處展開為冪級數(shù)，并求解：【例37】設(shè)試將展開成的冪級數(shù)，并求的和。解：令 【例38】求的收斂域及。解：令收斂區(qū)間；由于或原級數(shù)也收斂，故收斂域為 ；而恒成立（與無關(guān)），又時u=1,故 ； 其中：【例39】求的和函數(shù)。 解：

20、【例40】求和函數(shù) 解：收斂域-1，1，【例41】 設(shè)有冪級數(shù) ，求（1）收斂半徑與收斂域（2）和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)解：（1）將 化成二個級數(shù)之和在時， 它們都收斂，故收斂域為 （2）令 【例42】 將函數(shù) 展開為的冪級數(shù)，試求的和。解：【例43】求-2，2 解： 令 在收斂域內(nèi)是連續(xù)的評 注 注意在無定義點求函數(shù)值需使用極限求之，或直接代入原級數(shù)求之。【例44】【例45】求解：【例46】求解：顯然 【例47】求【例48】求解：【例49】求解：【例50】 求 之和解：因為：【例51】設(shè)，求的冪級數(shù)。解：評 注注意下列題型設(shè)，求證：當時，有證明：的收斂半徑 ，故級數(shù)在內(nèi)逐項可導(dǎo)。又，又，注

21、意到，則故，原命題成立。求五、付立葉級數(shù) 1周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)為在上周期為的周期函數(shù)，則特別地，當時當是偶函數(shù)當是奇函數(shù)2非周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)方法如果非周期函數(shù)只是定義在區(qū)間，兩種區(qū)間可以令相互轉(zhuǎn)換，為了利用付里葉級數(shù)展開，必須將拓展，其方式有兩種，即：（1）偶拓展 令 ，使成為上的周期偶函數(shù)，展開后取上的函數(shù)值即為的付里葉展開。（2）奇拓展 令 ，使成為上的周期奇函數(shù)，展開后取上的函數(shù)值即為的付里葉展開。3狄利克雷收斂定理設(shè)函數(shù)在上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，并且至多只有有限個極值點，則的付里葉級數(shù)收斂。并且：【例52】將函數(shù)展開成正弦級數(shù)。 解：展開成正弦級數(shù)需要對奇拓展。（

22、展開成余弦級數(shù)需要對偶拓展。）【例53】將函數(shù)展開成余弦級數(shù)，并求的和。解：將進行偶拓展：【例54】展開為付氏級數(shù)，并求 之和。解：將 拓展成周期為2的函數(shù)進行付氏展開 ，則 令 設(shè)【例55】將展開成付里葉級數(shù)，并討論起收斂性。解：，它是以為周期的周期函數(shù)，且只存在第一類間斷點，滿足由狄利克雷收斂定理知，展的付里葉級數(shù)在上收斂于，即： 是偶函數(shù)，上式對仍然成立，因為以為周期?！纠?6】設(shè)為周期為2的周期函數(shù)，在上定義為 ，則的付里葉級數(shù)在收斂于_.解：根據(jù)題狄利克雷定理：的付里葉級數(shù)在收斂于?！纠?7】將函數(shù)展開為周期為2的正弦函數(shù)，求。解：展開成正弦級數(shù)需要把奇拓展為。，而為的第一類間斷點，

23、根據(jù)狄利克雷收斂定理【例58】設(shè)，而，其中，則=_.解：由題意知：是作偶延拓后的付里葉級數(shù)，即根據(jù)題狄利克雷定理：【例59】求在上的付里葉展開。解：附 錄 級數(shù)判斂題型與題法專題講座2009一級數(shù)判斂的數(shù)學定勢級數(shù)考點不外乎兩大方面（本講為判斂法）： 1、 判 斂；2. 展開與求和。我們只要掌握正項級數(shù)的5大判斂方法，對于任意項級數(shù)或函數(shù)項級數(shù)加上絕對值后，也就轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)的5大判斂類型了。不過這時原來的正項級數(shù)的“收斂和發(fā)散”概念成為“絕對收斂和條件收斂或發(fā)散”的概念。作為任意項級數(shù)的特例的交錯級數(shù)還要掌握萊布尼茨判斂法，對于函數(shù)項級數(shù)的冪級數(shù)還要掌握阿貝爾定理，三角函數(shù)的付里葉級數(shù)還要掌

24、握狄利克雷定理。二、正項（不變號）級數(shù)斂散性的5大判據(jù)與常用技巧4. 達朗貝爾比值法5. 柯西根值法6. 比階極限法 核心思想，貫穿整個判斂題型。 代數(shù)式 極限式 ，其中：和都是正項級數(shù)。應(yīng)用技巧 大收小收，小發(fā)大發(fā)，同階同斂散。只有大收小發(fā)情形下，比較法才可判斂。評 注： 判別正項級數(shù)收斂的一般思路：先看是否成立，如不成立，則發(fā)散，如收斂，則根據(jù)級數(shù)通項的特點考慮比值法或根值法，如果比值法或根值法的極限不易求出或等于1，則使用比較法或其極限形式。 比階法的極限形式是核心方法，必須熟諳應(yīng)用技巧，否則讀者在做題時會糊涂。比較法中最常用的技巧是找到合適的基準級數(shù)。主要技巧有3：對原級數(shù)通項放縮、利

25、用同階無窮小及利用佩亞若余項泰勒展開。 凡是由達朗貝爾比值法給出的收斂性結(jié)論，由柯西根值法必可以給出相同的結(jié)論；反之卻不一定（參見例1）。4柯西積分法若為非負數(shù)遞減連續(xù)函數(shù)，則基數(shù)與積分的兩散性相同。5對數(shù)判斂法若時，成立，則正項級數(shù)收斂，否則發(fā)散。三、級數(shù)斂散性判定的模型和基準 模 型常常用作基準收斂的級數(shù)主要有2個：，常常用作基準發(fā)散的級數(shù)有3個四、級數(shù)斂散性判定過程中需要用到的基本結(jié)論1不等式 平均值不等式： 對數(shù)不等式： 三角不等式： 積分比較不等式：如 ； 型不等式：為嚴格單調(diào)增加序列2階次級別的無窮大階次由低到高排列，此結(jié)論相當重要，務(wù)必記??！五、級數(shù)斂散性判定的部分題型和題法與技

26、巧題型一朗貝爾比值法與柯西根值法的題型【例1】討論級數(shù)的收斂性。 解：根據(jù)達朗貝爾比值法，有 根據(jù)柯西根值法，有可見，柯西根值法審斂精度高?！纠?】討論級數(shù)的收斂性解：因為 ，故該級數(shù)收斂?！纠?】，試討論級數(shù)的斂散性。 解：題型二 比階極限法的題型【例4】討論級數(shù)的收斂性解：，故該級數(shù)發(fā)散?！纠?】討論級數(shù)的收斂性解：，故該級數(shù)發(fā)散?！纠?】討論級數(shù)的收斂性解：【例7】討論級數(shù)的收斂性解：【例8】討論級數(shù)的收斂性解：根據(jù)對數(shù)不等式放縮通項，故該級數(shù)收斂?！纠?】討論級數(shù)的收斂性解：，故該級數(shù)發(fā)散?！纠?0】討論級數(shù)的收斂性解:，故該級數(shù)收斂?！纠?1】討論級數(shù)的收斂性解:，我們只要討論。，故該級數(shù)收斂?！纠?2】討論級數(shù)的收斂性解:，故該級數(shù)發(fā)散。【例13】判別（1） 和（2） 的斂散性。解：(1)根據(jù)只有大收小發(fā)才可判斂的原則，無法判斷的斂散性； 顯然，要想辦法讓比較極限為零。 故我們另選參考級數(shù)根據(jù)大收小收，小發(fā)大發(fā) ， (2)對選比較基