初中三角函數(shù)--教案

1、28. 1銳角三角函數(shù)第1課時(shí)正弦函數(shù)1#1能根據(jù)正弦概念正確進(jìn)行計(jì)算；（重點(diǎn)）2能運(yùn)用正弦函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.（難點(diǎn)）、情境導(dǎo)入牛莊打算新建一個(gè)水站，在選擇水泵時(shí)，必須知道水站（點(diǎn)A）與水面（BC）的高度（AB）.斜#探究點(diǎn)一：正弦函數(shù)D如圖，sinA等于（）#方法總結(jié):我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做/ A的正弦，記作sinA.即卩 sinA=#/A的對(duì)邊a斜邊c.探究點(diǎn)二：正弦函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用【類(lèi)型一】 在網(wǎng)格中求三角函數(shù)值如圖，在正方形網(wǎng)格中有ABC，貝U sin/ ABC的值等于（3 幀A. 10 A. B. 10解析：/ AB = .20, BC= 18, AC = 2 ,二 AB

2、2 = BC2+ AC2,：/ ACB = 90°,. sineg D. 10/ABC=老.故選 B.#方法總結(jié)：解決有關(guān)網(wǎng)格的問(wèn)題往往和勾股定理及其逆定理相聯(lián)系，根據(jù)勾股定理求出#三邊長(zhǎng)度，再運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷三角形形狀.【類(lèi)型二】已知三角函數(shù)值，求直角三角形的邊長(zhǎng)2在 Rt ABC 中，/ C = 90°, BC = 4, sinA = 3,貝卩 AB 的長(zhǎng)為（）3A.8 B. 6 C. 12 D. 8解析：BC42-sinA- AB - AB 3AB - 6.故選 B.方法總結(jié)：根據(jù)正弦定義表示出邊的關(guān)系，然后將數(shù)值代入求解， 記住定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.【類(lèi)型三

3、】 三角函數(shù)與等腰三角形的綜合已知等腰三角形的一條腰長(zhǎng)為25cm，底邊長(zhǎng)為30cm,求底角的正弦值.2#解析：先作底邊上的高 AD，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得到BD = 2bc = 15cm ,再由勾股定理求出 AD，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.B DC解：如圖，過(guò)點(diǎn) A作AD丄BC,垂足為 D.t AB = AC= 25cm , BC = 30cm, AD為底邊上d A r QQ的高， BD =尹c(diǎn) = 15cm.由勾股定理得 AD =寸AB2 BD2= 20cm , a sin/ABC = AD =45.方法總結(jié)：求三角函數(shù)值一定要在直角三角形中求值, 通過(guò)作高，構(gòu)造直角三角形解答.【

4、類(lèi)型四】 在復(fù)雜圖形中求三角函數(shù)值當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要如圖，在 ABC中DC = 5, E為AC的中點(diǎn)，求sin / EDC 的值.解析：首先利用勾股定理計(jì)算出 AC的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得DE = EC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得/ EDC = / C,進(jìn)而得到 sin/ EDC = sin/ C= AD.AC解：/ AD 丄 BC, / ADC = 90°,T AD = 9, DC = 5,a AC= , 92+ 52= .106.T E 為1AC 的中點(diǎn)， DE = AE = EC = 2AC,/ EDC = / C,sin/ EDC = sin / C =9106

5、106 .方法總結(jié)：求三角函數(shù)值的關(guān)鍵是找準(zhǔn)直角三角形或利用等量代換將角或線(xiàn)段轉(zhuǎn)化進(jìn)行解答.【類(lèi)型五】在圓中求三角函數(shù)值已知BC = 6, AC = 8,求 sin /11如圖，ABD的值.解析：首先根據(jù)垂徑定理得出 / ABD = Z ABC，然后由直徑所對(duì)的圓周角是直角，得出 / ACB = 90°,根據(jù)勾股定理算出斜邊AB的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦的定義求出sinZ ABC的值,從而得出sin Z ABD的值.解：由條件可知 AC= Ad ,/ ABD = Z ABC,. sinZ ABD = sinZ ABC.： AB 為直徑,=sin Z ABC =ACABZ ACB = 90

6、76; 在 Rt ABC 中，t BC = 6, AC= 8, AB= ；' BC2 + AC2= 10,. si nZ ABD3#方法總結(jié)：求三角函數(shù)值時(shí)必須在直角三角形中.在圓中，由直徑所對(duì)的圓周角是直角可構(gòu)造出直角三角形.三、板書(shū)設(shè)計(jì)1. 正弦的定義；2利用正弦解決問(wèn)題.#在教學(xué)過(guò)程中，重視過(guò)程，深化理解，通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)探究來(lái)體現(xiàn)他們的主體地位，教 師是通過(guò)對(duì)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的啟發(fā)、調(diào)整、激勵(lì)來(lái)體現(xiàn)自己的引導(dǎo)作用，對(duì)學(xué)生的主體意識(shí)和合作交流的能力起著積極作用28. 1銳角三角函數(shù)第2課時(shí)余弦函數(shù)和正切函數(shù)1.理解余弦、正切的概念；（重點(diǎn)）2.熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.（

7、重點(diǎn)）#一、情境導(dǎo)入教師提問(wèn)：我們是怎樣定義直角三角形中一個(gè)銳角的正弦的？為什么可以這樣定義?#學(xué)生回答后教師提出新問(wèn)題：在上一節(jié)課中我們知道，如圖所示，在RtAABC中，Z C=90。，當(dāng)銳角Z A確定時(shí)，Z A的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定了 現(xiàn)在我們要問(wèn)：其他邊4之間的比是否也確定了呢？為什么？二、合作探究探究點(diǎn)一：余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義【類(lèi)型一】利用余弦的定義求三角函數(shù)值D 在 Rt ABC 中，/ C = 90°, AB = 13, AC = 12,貝U cosA=（）551212A吊B元C応D.y如圖,在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則解析：/

8、 Rt ABC 中，/ C = 90°, AB= 13, AC= 12,二 cosA=AC=故選 CAB 13方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的余弦等于這個(gè)角的鄰邊與斜邊的比值.【類(lèi)型二】 利用正切的定義求三角函數(shù)值5tanA=()#4B. 534C. 4 D.3BC 4解析：在直角 ABC 中，/ ABC = 90°,. tanA= C= 4.故選 D.AB 3方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的正切等于它的對(duì)邊與鄰邊的比值.探究點(diǎn)二：三角函數(shù)的增減性【類(lèi)型一】判斷三角形函數(shù)的增減性EJ隨著銳角a的增大，COS a的值（）A .增大C.不變B .減小D .不確定解析：當(dāng)角度在0

9、°90°之間變化時(shí)，余弦值隨著角度的增大而減小，故選B.方法總結(jié)：當(dāng)0°< a< 90 °時(shí)，cos a的值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?【類(lèi)型二】比較三角函數(shù)的大小sin70 ° , cos70°, tan70 ° 的大小關(guān)系是()A. tan70°v cos70 < sin70 °B. cos70°< tan70 < sin70 °C. sin70 °< cos70 < tan70 °D. cos70

10、6;< sin70 < tan70 °解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin70°< 1, cos70°< 1, tan70°> 1.又t cos70°=sin20 °,正弦值隨著角的增大而增大，sin70 > cos70°= sin20 故選D.方法總結(jié)：當(dāng)角度在 0° w/ A< 90° 之間變化時(shí)，0< sinAw 1, 0< cosA< 1, tanA0.探究點(diǎn)三：求三角函數(shù)值【類(lèi)型一】三角函數(shù)與圓的綜合如圖所示， ABC內(nèi)接于O O ,

11、 AB是O O的直徑，點(diǎn) D在O O上，過(guò)點(diǎn) C的切線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) E,且AE丄CE，連接CD.求證：DC = BC;若 AB = 5, AC= 4,求 tan/DCE 的值.解析：連接OC,求證DC = BC可以先證明/ CAD = / BAC，進(jìn)而證明DC = BC; 由AB= 5, AC = 4,可根據(jù)勾股定理得到 BC = 3,易證 ACEABC，可以求出 CE、DE 的長(zhǎng)，在Rt CDE中根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求出 tan/DCE的值.(1) 證明：連接 OC.t OA = OC, / OAC = / OCA.TCE 是O O 的切線(xiàn)，/ OCE = 90° . /

12、 AE 丄 CE, /AEC = / OCE= 90°, / OC / AE, a / OCA =/ CAD, a/ CAD = / BAC, DC = BC.a DC = BC;(2) 解：/ AB 是O O 的直徑，/ ACB= 90°, BC= ； AB2-AC2= '52-42= 3. v/ CAEEC ACEC 412=/ BAC，/ AEC = / ACB = 90°,.山 ACEABC,a = -，即亠=,EC = vBC AB3 55 ' 9DC = BC= 3,a ED = /DC2- CE2 =32-(乎)2= |,. tan/

13、DCE = |C =尋=4.5方法總結(jié)：證明圓的弦相等可以轉(zhuǎn)化為證明弦所對(duì)的弧相等.利用圓的有關(guān)性質(zhì)， 尋找或構(gòu)造直角三角形來(lái)求三角函數(shù)值， 遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)， 可通過(guò)全等或相似將線(xiàn)段進(jìn)行 轉(zhuǎn)化.【類(lèi)型二】 利用三角形的邊角關(guān)系求三角函數(shù)值3 如圖， ABC 中，AD丄 BC,垂足是 D,若 BC = 14, AD = 12, tan/ BAD = 4，求sinC的值.3解析：根據(jù)tan/ BAD = 3 求得BD的長(zhǎng).在直角 ACD中由勾股定理可求 AC的長(zhǎng)，然后利用正弦的定義求解.解：v在直角 ABD 中，tan/BAD =亞=3,a BD = AD tan/BAD = 12X-= 9

14、,a CD AD 44=BC- BD = 14-9 = 5,a AC = AD2+ CD2122+ 52 = 13,a sinC = AD =12AC 13方法總結(jié)：在不同的直角三角形中，要根據(jù)三角函數(shù)的定義，分清它們的邊角關(guān)系，結(jié)合勾股定理是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.三、板書(shū)設(shè)計(jì)1 余弦函數(shù)的定義；2正切函數(shù)的定義；3.銳角三角函數(shù)的增減性.8#在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有一些學(xué)生往往不注重基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)，認(rèn)為只要會(huì)做題就可以了，結(jié)果往往失分于選擇題、 填空題等一些概念性較強(qiáng)的題目.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理，教會(huì)學(xué)生如何進(jìn)行知識(shí)的歸納、總結(jié)，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解、掌握基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)28. 1銳角三角函數(shù)

15、第3課時(shí)特殊角的三角函數(shù)#1. 經(jīng)歷探索30°、45 ° 60。角的三角函數(shù)值的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義; 點(diǎn)）2. 能夠進(jìn)行30°、45° 60。角的三角函數(shù)值的計(jì)算；（重點(diǎn)）3. 能夠結(jié)合30°、45 ° 60。的三角函數(shù)值解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.（難點(diǎn)）#一、情境導(dǎo)入問(wèn)題1: 一個(gè)直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切值是怎么定義的？1,問(wèn)題2:兩塊三角尺中有幾個(gè)不同的銳角？各是多少度？設(shè)每個(gè)三角尺較短的邊長(zhǎng)為 分別求出這幾個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切值.二、合作探究探究點(diǎn)一：特殊角的三角函數(shù)值【類(lèi)型一】利用特殊的三角函數(shù)值進(jìn)

16、行計(jì)算計(jì)算：（1）2cos60° sin30° . 6sin45 ° sin60 ° ;sin30 二 sin45 °（2）cos60 ° cos45 e解析：將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.解：（1）原式=2x2 x2 6予嚴(yán)=22=1 ；2 2、 2 2 2 2若COS a2=3,則銳角a的大致范圍是(A. 0°V aV 30°B. 30°V aV 45°C. 45 °V aV 60°D . 0 °V aV 30°解析： T cos30°= 3

17、, cos45°=亠2, cos60°= 1，且1V 2v 2 ,. cos60°v cos a V 222232COS45°,.銳角 a的范圍是45°V aV 60° .故選C.方法總結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題要熟記特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)的增減性.【類(lèi)型三】根據(jù)三角函數(shù)值求角度若3tan( a+ 10° )= 1，則銳角a的度數(shù)是(9A. 20°B. 30° C. 40° D . 50°解析：T '3tan( a+ 10° ) = 1,. tan(a+ 10°

18、 ) =.t tan30°=，二 a + 10°= 30°3 3 I a = 20° .故選 A.方法總結(jié)：熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.探究點(diǎn)二：特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用【類(lèi)型一】 利用三角形的邊角關(guān)系求線(xiàn)段的長(zhǎng)E)如圖，在 ABC 中，/ ABC = 90°, / A= 30°, D 是邊 AB 上一點(diǎn)，/ BDC = 45°, AD = 4，求BC的長(zhǎng).解析：由題意可知 BCD為等腰直角三角形，則 BD = BC,在RtA ABC中，利用銳角 三角函數(shù)的定義求出解：V/ B = 90=BC,即-AB BC+

19、43方法總結(jié)：在直角三角形中求線(xiàn)段的長(zhǎng),出式子，求出三角函數(shù)值，進(jìn)而求出答案.【類(lèi)型二】 判斷三角形的形狀中，tan/ A= tan30°BC的長(zhǎng)即可.,/ BDC = 45 °, BCD 為等腰直角三角形，/ BD = BC.在 Rt ABCBC，解得 BC = 2(/3 + 1).如果有特殊角，可考慮利用三角函數(shù)的定義列#已知 ABC中的/ A與/ B滿(mǎn)足(1 tanA)2+ |sinB 石|= 0,試判斷 ABC的形狀.解析：根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出tanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出/ A及/B的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論.解：/ (1 tanA)2+ |si

20、nB于|= 0, tanA= 1, sinB =于，/ A = 45°,/ B= 60 ° , / C = 180 ° 45° 60° = 75° ABC 是銳角三角形.方法總結(jié)：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值和偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值或偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0.【類(lèi)型三】 構(gòu)造三角函數(shù)模型解決問(wèn)題Rt ABC，使/ C要求tan30的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計(jì)算.作90 °,斜邊 AB = 2,直角邊 AC = 1,那么 BC= , 3, / ABC = 30°, tan 30

21、76;AC=_1_BC= .3在此圖的基礎(chǔ)上，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，探究tan15° 與 tan75 ° 的值.解析：根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及勾股定理首先求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出tan15CD BC，tan 75°BC求出即可.CD解：作/ B的平分線(xiàn)交 AC于點(diǎn)D ,作DE丄AB,垂足為E.v BD平分/ ABC, CD丄BC, DE 丄 AB , CD = DE.設(shè) CD = x,貝 U AD = 1 x, AE= 2-BE = 2- BC= 2 ,3.在 Rt ADE 中，DE2+ AE2= AD2, x2+ (2書(shū)尸=(1 - x)2，解得 x= 2護(hù)-3,

22、tan15°= - 3 = 2 護(hù),_ o bc V3 21 (3 tan75 = CD=不3=2+ 3.liPC方法總結(jié)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)構(gòu)造含有15°和75°的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出15°和75。的三角函數(shù)值.三、板書(shū)設(shè)計(jì)1.特殊角的三角函數(shù)值:30°45°60°sin a1亜遲222COS a亞近222tan a遲312應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值解決問(wèn)題.課程設(shè)計(jì)中引入非常直接，由三角尺引入，直擊課題，同時(shí)也對(duì)前兩節(jié)學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行了整體的復(fù)習(xí)，效果很好.在講解特殊角的三角函數(shù)值時(shí)講解的也很細(xì)，可以說(shuō)

23、前面部分的教學(xué)很成功，學(xué)生理解的很好 28. 1銳角三角函數(shù)第4課時(shí)用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值及銳角1.初步掌握用計(jì)算器求三角函數(shù)值的方法；(重點(diǎn))2熟練運(yùn)用計(jì)算器求三角函數(shù)值解決實(shí)際問(wèn)題.(難點(diǎn))11#一、情境導(dǎo)入教師講解：通過(guò)上面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道，當(dāng)銳角/A是30°、45°或60°等特殊角時(shí)，可以求得這些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果銳角/A不是這些特殊角，怎樣得到它的三角函數(shù)值呢？我們可以借助計(jì)算器來(lái)求銳角的三角函數(shù)值.二、合作探究探究點(diǎn)一：用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值及銳角【類(lèi)型一】已知角度，用計(jì)算器求函數(shù)值D 用計(jì)算器求下列各式的值 (精確到o.oo

24、ol)：sin47° (2)sin12 ° 30(3) cos25 ° 18(4)sin 18 ° + cos55 ° tan59°解析：熟練使用計(jì)算器，對(duì)計(jì)算器給出的結(jié)果，根據(jù)有效數(shù)字的概念用四舍五入法取近似數(shù).解：根據(jù)題意用計(jì)算器求出：(1) sin47° 0.7314;(2) sin12 ° 300.2164;cos25 ° 180.9041;sin18° + cos55 °tan59° 0.7817.方法總結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練使用計(jì)算器，使用計(jì)算器時(shí)要注意按鍵

25、順序.【類(lèi)型二】 已知三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角的度數(shù)已知下列銳角三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角/A，/ B的度數(shù)(結(jié)果精確到0.1#(1) sinA= 0.7, sinB = 0.01;(2) cosA = 0.15, cosB = 0.8;(3) tanA = 2.4, tanB= 0.5.解析：由三角函數(shù)值求角的度數(shù)時(shí)，用到_sin , _cos , |tan鍵的第二功能鍵，要注意按鍵的順序.解：(1)sinA= 0.7,得/ A44.4° sinB= 0.01 得/ B 0.6(2)cosA = 0.15，得/ A 81.4° cosB = 0.8，得/ B 36.9&

26、#176;由 tanA= 2.4，得/ A 67.4 °由 tanB = 0.5，得/ B 26.6° .方法總結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練使用計(jì)算器，在使用計(jì)算器時(shí)要注意按鍵順序.【類(lèi)型三】 利用計(jì)算器驗(yàn)證結(jié)論(1)通過(guò)計(jì)算(可用計(jì)算器)，比較下列各對(duì)數(shù)的大小，并提出你的猜想: sin30° 2sin 15 ° cos15 sin36° 2sin 18 ° cos18 sin45 2sin22.5 ° cos22.5° sin60° 2sin30 ° cos30° sin80

27、6; 2sin40 ° cos40 ° .猜想：已知 0°V aV 45°，貝U sin2 a2sin a cos a .（2）如圖，在 ABC中，AB= AC = 1,/ BAC = 2 a,請(qǐng)根據(jù)提示，利用面積方法驗(yàn)證結(jié) 論.解析：(1)利用計(jì)算器分別計(jì)算(2)通過(guò)計(jì)算 ABC13的面積來(lái)驗(yàn)證.解：（1）通過(guò)計(jì)算可知： sin30°= 2sin15 °cos15° sin36°= 2sin18 °cos18° sin45°= 2sin22.5 °os22.5 °

28、 sin60°= 2sin30 °cos30° sin80°= 2sin40 °cos40°sin2 a = 2sin a cos a .1/ Sabc = qAB sin2 a1AC = 2sin2 a ,1SA abc =2ABsin a-ACcosa = sin a-cos#a ,. sin2 a = 2sin a cos a .方法總結(jié)：本題主要運(yùn)用了面積法，通過(guò)用不同的方法表示同一個(gè)三角形的面積,來(lái)得到三角函數(shù)的關(guān)系，此種方法在后面的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到.【類(lèi)型四】用計(jì)算器比較三角函數(shù)值的大小用計(jì)算器比較大?。?0sin87° tan87#解析：20sin87 ° 20 x 0.9986 = 19.974 , tan87 ° 19.081 ,/ 19.974>19.081 ,20sin87 ° >tan87方法總結(jié)：利用計(jì)算器求值時(shí)，要注意計(jì)算器的按鍵順序.探究點(diǎn)二：用計(jì)算器求三角函數(shù)值解決實(shí)際問(wèn)題' 如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)