《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》

1、-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 一章隨機事件及其概率 1.1 隨機事件 一、給出事件描述，要求用運算關(guān)系符表示事件： 二、給出事件運算關(guān)系符，要求判斷其正確性： 1.2 概率 古典概型公式: A 所含樣本點數(shù) I 所含樣本點數(shù) 實用中經(jīng)常采用“排列組合”的方法計算 補例 1:將 n 個球隨機地放到 n 個盒中去，問每個盒子恰有 1 個球的概率是多少？解: 設(shè) A: “每個盒子恰有 1 個球”。求：P(A)= ? Q所含樣本點數(shù)：n nn二nn A所含樣本點數(shù):n (n -1) (n - 2)1二n! 補例 2：將 3 封信隨機地放入 4 個信箱中，問信箱中信的封數(shù)的最大數(shù)分別為

2、 1、2、 3 的概率各是多少？ 解：設(shè) A :“信箱中信的最大封數(shù)為 i”。(匸 1,2,3)求：P(Ai )= ? Q所含樣本點數(shù)：4 4 4 = 43 = 64 A1所含樣本點數(shù)：4 3 24 A2所含樣本點數(shù)：C3 4 3= 36 A所含樣本點數(shù)：Cl 4 = 4 -來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 注：由概率定義得出的幾個性質(zhì)： 1、 0P (A) 1 2、 P( Q )=1 , P( )=0 1.3 概率的加法法則 定理：設(shè)A B是互不相容事件(AB=)，則： P (AU B) =P (A) +P ( B) 推論 1:設(shè) A、A、A互不相容，則 P(A1+A+.+A n)二P(A1)+

3、P(A2)+ +P(An) 推論 2:設(shè) A、A、A構(gòu)成完備事件組，則 I I P(A+A + .+A n)=1 !| - 推論 3： P (A) =1 P ( A) 推論 4： 若 B 二 A，則 P(B A)=P(B) P(A) 推論 5 (廣義加法公式)： 對任意兩個事件 A 與 B,有 P(AU B)=P(A)+P(B) P(AB) 補充對偶律： 1.4 條件概率與乘法法則 條件概率公式： P(A/B)=巴型(P(B)工 0) P(B) p(B/A)二巳AB! (P(A)工 0) P(A) P (AB =P (A/ B) P (B) =P (WA) P (A) -來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)

4、參考 有時須與 P (A+B =P (A) +P ( B) P (AB 中的 P (AB 聯(lián)系解題 全概率與逆概率公式： 全概率公式： 逆概率公式： （注意全概率公式和逆概率公式的題型： 將試驗可看成分為兩步做，如果要求第二步某 事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率， 就用逆概率公式。） 1.5 獨立試驗概型 事件的獨立性：貝努里公式（n 重貝努里試驗概率計算公式）：課本 P24 另兩個解題中常用的結(jié)論一一 I I 1、定理：有四對事件：A 與 B A 與B、A與 B、A與B，如果其中有一對相 互獨立，則其余三對也相互獨立。 2、公式：P（A - A2

5、一 一 An） = 1- P（Ai A2 . An） 第二章隨機變量及其分布 一、關(guān)于離散型隨機變量的分布問題 1、求分布列：確定各種事件，記為：寫成一行；： 計算各種事件概率，記為 pk寫成第二行。得到的表即為所求的分布列。 注 意：應(yīng)符合性質(zhì) 1、Pk - 0 （非負(fù)性）2、Pk叮（可加性和規(guī)范性） k 補例 1:將一顆骰子連擲 2 次，以：:表示兩次所得結(jié)果之和，試寫出：的概率分布。 解：Q所含樣本點數(shù)：6 X 6=36 所求分布列為：-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 X -x R,如果隨機變量：的分布函數(shù) F (x)可寫成 F (x)二(x)dx(x)dx，貝為 連續(xù)型。(x)稱概率密度函

6、數(shù)。 解題中應(yīng)該知道的幾個關(guān)系式： 第三章隨機變量數(shù)字特征 一、 求離散型隨機變量 二的數(shù)學(xué)期望 E- = ? 數(shù)學(xué)期望(均值) I i 二、 設(shè)：:為隨機變量，f(x)是普通實函數(shù)，則n =f ( )也是隨機變量，求 En =? 9 X1 X2 Xk Pk ./ P1 P2 Pk n =f(?) y1 y2 yk 以上計算只要求這種離散型的 補例 1 ：設(shè)：的概率分布為: 分布函數(shù) 二、關(guān)于連續(xù)型隨機變量的布問 為：2、求分布 亍函數(shù) F(x): 3 4 1/10 題： 3/10 6/10 以：表示 所求分布-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 9 -1 0 1 2 Pk -來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參

7、考 求： -1 ,- 的概率分布；E 解：因為 9 1 0 1 2 Pk n = ? ? 2 1 0 1 =9? n =- 1 0 1 4 所以，所求分布列為: n 二？ ? 2 1 0 1 Pk 和: =*/? n =- 1 0 1 1 4 Pk 當(dāng) n = 一 1 時，En =E ( - 一 1) 二一 2X 1+( -1) x 1- +0X 1一+1衛(wèi)+空 x 衛(wèi) 5 10 10 10 2 10 = 1/4 當(dāng) n 二？中時 En 二 E? =1x 丄+0 乂丄+1 乂丄+4 乂 2+冬 x 工 5 10 10 10 4 10 =27/8 三、求：或n的方差D =? Dn =? 實用公式

8、D =E 2 - E2 其中，=(E )2 = C XkPQ2 k ?E 2J k-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 補例 2: ? -2 0 2 Pk 0.4 0.3 0.3 求：E:和 D :解：E = 2X 0.4+0 X 0.3+2 X 0.3= -0.2 E 2= (- 2) 2X 0.4+0 2X 0.3+2 2X 0.3=2.8 D =E 2 E2 =2.8 -(- 0.2 ) 2=2.76 第四章幾種重要的分布 常用分布的均值與方差(同志們解題必備速查表) 名稱 概率分布或密度 期望 方差 參數(shù) 范圍 二項 分布 np npq 0P0 泊松 分布 1 1 丸 不要求 入 入 入0 指

9、數(shù) 分布 不要求 入0 解題中經(jīng)常需要運用的 E 和 D的性質(zhì)（同志們解題必備速查表） E?的性質(zhì) D 的性質(zhì) -來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 第八章參數(shù)估計 8.1 估計量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)（以下可作填空或選擇） 若總體參數(shù)e的估計量為，?，如果對任給的 o,有 I I limP畀日r- 如果滿足E（碼,則稱 B?是e的無偏估計；如果日？和碼均是e的無偏估計, 若D（e?） D&2），則稱日?是比碼有效的估計量。 8.3 區(qū)間估計： XX / / 幾個術(shù)語一一 1、設(shè)總體分布含有一位置參數(shù)，若由樣本算得的一個統(tǒng)計量 日?（Xi,Xn）及 區(qū) （心，X），對于給定的口 （ 05 1）滿足： 則稱

10、隨機區(qū)間 （必,必） 是日的 100 （1 。 ） 的置信區(qū)間， 日?和必稱為日的 100 （1 ） %的置信下、上限，百分?jǐn)?shù) 100 （1）%稱為置信度。 一、求總體期望（均值）E :的置信區(qū)間 1、總體方差二2已知的類型 據(jù)，得門0（U -.） = 1 -，反查表（課本 補簡例：設(shè)總體X NC1 ,0.09）隨機取 4 個樣本其觀測值為 12.6 ,13.4 , 12.8 , 13.2，求總體均值的 95%勺置信區(qū)間P260 表） 得臨界值 U：； Xi求 d=U飛置信區(qū)間（ x-d , x+d) n i H -來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 解： V 1-a =0.95 , a =0.05

11、.（Ua ） =1二=0.975，反查表得: 2 Xj =丄(12.6 13.4 12.8 13.2) =13 4 o 0 3 Vc =0.3 , n=4.d=U 了 =1.96漢石=0.29 所以，總體均值的a =0.05 的置信區(qū)間為: (X d, X + d) = (13-0.29 , 13 + 0.29 )即(12.71 , 13.29) 2、總體方差二2未知的類型（這種類型十分重要！務(wù)必掌握! 據(jù)和自由度 n-1 （n 為樣本容量），查表（課本 P262 表）得L.（n-1）； 1 n 1 n _ 確定“nJ和卄八）2? s 求 d=t-.(n-1)-置信區(qū)間(x-d , x+d)

12、Gn 注：無特別聲明，一般可保留小數(shù)點后兩位，下同。 二、求總體方差匚2的置信區(qū)間 據(jù)a和自由度 n-1（n 為樣本數(shù)），查表得臨界值: 置信區(qū)間（下限，上限） Ua =1.96 !) 2口-1) 2 嘔(nT)和 2 1 1 n 2 1 2 確定X = ； Xj和s (X-Xi) n y n-1 y (n _ 1)s2 (n - 1)s2 上限 2,(n_1)下限 1 - 2 ：(nT) 2 -來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 典型例題:1、提出待檢假設(shè) H) -來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 補例 1:課本 P166 之 16 已知某種木材橫紋抗壓力的實驗值服從正態(tài)分布，對 10 個 試件作橫紋抗壓

13、力試驗得數(shù)據(jù)如下(單位： kg/cm2): 482 493 457 446 435 418 試對該木材橫紋抗壓力的方差進行區(qū)間估計 解：Ta =0.04，又 n=10,自由度 n 1=9 :(n 1) = 0.02(9) =19.7 2 W 2.98(9)=2.53 2 1 (482 493 . 469) =457.5 10 1 10 1 s2 = 、(X -Xj)2 二(457.5 -482)2 +(457.5 -493)2 + (457.5 -469)2 9 y 9 = 1240.28 所以，所求該批木材橫紋抗壓力的方差的置信區(qū)間為( 566.63 , 4412.06 ) 第九章假設(shè)檢驗

14、必須熟練掌握一個正態(tài)總體假設(shè)檢驗的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn) 般思路：471 510 394 469 a = 0.04)。 查表1 10 X=10j (n-1)s2 上限 二 5-1)= 1 2 9s2 2.98(9) 9 1240.28 2.53 =4412.06 (n-1)s2 下限 9S2 2(1)= 0.02(9) 2 9 1240.28 19.7 =566.63 -來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 2、選擇統(tǒng)計量 3、據(jù)檢驗水平，確定臨界值 4、計算統(tǒng)計量的值 5、作出判斷 檢驗類型：未知方差二2，檢驗總體期望（均值）卩 根據(jù)題設(shè)條件，提出 H/I =0（ %已知）； 據(jù):和自由度 n1 （n 為樣本容量）

15、，查表（課本 P262 表）得L.（n-1）；由樣本 值算出X =?和s =?從而得到T0 =F刀=； 作出判斷 典型例題: 對一批新的某種液體的存貯罐進行耐裂試驗，抽查 5 個，得到爆破壓力的數(shù)據(jù)（公 斤/寸2）為：545, 545, 530, 550, 545。根據(jù)經(jīng)驗爆破壓認(rèn)為是服從正態(tài)分布的， 而過去該種液體存貯罐的平均爆破壓力為 549 公斤/寸2,問這種新罐的爆破壓與過 去有無顯著差異？ （a =0.05 ） 解：比卩=549 V a =0.05 , n仁 4,二查表得：t .05(4) =2.776 X-卩 T卜 s/J n 選擇統(tǒng)計量 t(n - 1) 選擇統(tǒng)計量 X - J

16、s/ Jn t(n 1)； -來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 S2J(545 _ 545)2 +. +(543 _545)2 =57.5 4又 X =1(545 . 545) =543 -來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學(xué)習(xí)參考 二接受假設(shè)，即認(rèn)為該批新罐得平均保爆破壓與過去的無顯著差異 檢驗類型：未知期望（均值）檢驗總體方差二2 根據(jù)題設(shè)條件，提出 二已知）； 補例：某廠生產(chǎn)銅絲的折斷力在正常情況下服從正態(tài)分布，折斷力 方差 從一批產(chǎn)品中抽 10 根作折斷力試驗，試驗結(jié)果（單位：公斤）：578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570。是否可相信這批銅絲折斷力的方差也是 64?（ =0.05) 解：HL 二=64 v ： =0.05 , n仁 9,二查表得: 4 ：_ ( 一 0 = 2 0.975 (9) =2.7 2 To = 543 - 549 s/石 V575/V5 =1.772.776 選擇統(tǒng)計量 2(n-1)二 (n -1) s2 據(jù)和自由度 n1 （n 為樣本容量），查表（課本 P264 表）得臨界值: 2(n-1) -2 -1）； 由樣本值算出X =?和s = ?從而得到 若 2 1_: 2 (n -1) 02(門-1) 2 （n-1）則接受假設(shè)，否則拒絕 2 -=64,今 ?選擇統(tǒng)計量 2(n T)= (n