全等三角形輔助線做法講義1

1、全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法巧添輔助線一倍長(zhǎng)中線【夯實(shí)基礎(chǔ)】例：中，是的平分線，且，求證方法1：作于E，作于F，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長(zhǎng)中線【方法精講】常用輔助線添加方法倍長(zhǎng)中線中 方式1： 延長(zhǎng)到E， 是邊中線 使， 連接 方式2：間接倍長(zhǎng) 作于F， 延長(zhǎng)到N， 作的延長(zhǎng)線于E 使，連接 連接【經(jīng)典例題】例1：中，5，3，求中線的取值范圍例2：已知在中，D在上，E在的延長(zhǎng)線上，交于F，且，求證：例3：已知在中，是邊上的中線，E是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交于F，求證：提示：倍長(zhǎng)至G，連接，證明 三角形是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，D、E在上，且，過(guò)D作交于點(diǎn)F，

2、.求證：平分提示：方法1：倍長(zhǎng)至G，連結(jié)方法2：倍長(zhǎng)至H，連結(jié)例5：已知，是的中線，求證：提示：倍長(zhǎng)至F，連結(jié) 證明（）進(jìn)而證明（）【融會(huì)貫通】1、在四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段與、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長(zhǎng)、交于G 證明、 所以2、如圖，為的中線，平分交于E，平分交于F. 求證：3、已知：如圖，D中，90，于M，平分交于D，交于T，過(guò)D作交于E，求證：.提示：過(guò)T作于N 證明截長(zhǎng)補(bǔ)短法引輔助線思路：當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c有下列情況時(shí)：，如直接證不出來(lái)，可采用截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段與較長(zhǎng)線段相等

3、，這兩種方法放在一起叫截長(zhǎng)補(bǔ)短法。 通過(guò)線段的截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造全等把分散的條件集中起來(lái)。 例1. 如圖，中，2B，12。 求證：第 10 頁(yè)證法一：（補(bǔ)短法） 延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得 在與中 BF 2B 2F 而F F 而 證法二：（截長(zhǎng)法） 在上截取，連結(jié) 在與中 例2. 如圖，在中，90，12，交的延長(zhǎng)線于E，證明：2。 分析：這是一道證明一條線段等于另一條線段的2倍的問(wèn)題，可構(gòu)造線段2，轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問(wèn)題，分別延長(zhǎng)，交于F，證，得，再證，得。1、如圖，中，2，平分，且，求證：2、如圖，分別平分,，過(guò)點(diǎn)E，求證3、如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在，上，并且，分別是，的角平分線。求證：4、如圖，在

4、四邊形中，平分，求證： 5.已知：如圖，中，平分，若2B,證明：.6.已知：如圖，中，60，B與C的平分線交于點(diǎn)I，求證：.7.已知：如圖，在正方形中，E為上一點(diǎn)，平分交于F，求證：.與角平分線有關(guān)的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形與已知條件。（1）截取構(gòu)全等如圖1-1，如取，并連接、，則有，從而為我們

5、證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，平分，平分，點(diǎn)E在上，求證：。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段上截取，再證明，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。例2 已知：如圖1-3，2，求證分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問(wèn)題自已證明。例3 已知：如圖1-4，在中，2平分，求證：分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的與差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來(lái)證明。練習(xí)1 已知在中，平分，

6、2C，求證：2 已知：在中，2B，平分交于E，2，求證：23 已知：在中，為的平分線，M為上任一點(diǎn)。求證：4 已知：D是的的外角的平分線上的任一點(diǎn)，連接、。求證：。（2）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。例1 如圖2-1，已知, 。求證：180分析：可由C向的兩邊作垂線。近而證與B之與為平角。例2 如圖2-2，在中，90，。求證：分析：過(guò)D作于E，則，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的與差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3 已知如圖2-3，的角平分線、相交于點(diǎn)P。求證：的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。分析：

7、連接，證平分即可，也就是證P到、的距離相等練習(xí)：1如圖2-415，如果4，則（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在中，90，平分，1.52.5.求。3已知：如圖2-5, ，（）.求證：180。4.已知：如圖2-6,在正方形中，E為 的中點(diǎn)，F(xiàn)為 上的點(diǎn)，。求證：。5 已知：如圖2-7，在中，90，垂足為D，平分交于F，過(guò)F作交于H。求證。（3）、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線與高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段

8、，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，于D，H是中點(diǎn)。求證：（）分析：延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。例2 已知：如圖3-2，90，為的平分線，.求證：2。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在中，、分別的內(nèi)、外角平分線，過(guò)頂點(diǎn)B作垂直,交的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)并延長(zhǎng)交于M。求證：。分析：由、是內(nèi)外角平分線，可得，從而有，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在中，平分，交延長(zhǎng)線于M。求證：（）分析：題設(shè)中給出了角平分線，自然想到以為軸作對(duì)稱變換，作關(guān)于的對(duì)稱，然后只

9、需證，另外由求證的結(jié)果（），即2，也可嘗試作關(guān)于的對(duì)稱，然后只需證即可。練習(xí)：1 已知：在中，5，3，D是中點(diǎn)，是的平分線，且于E，連接，求。2 已知、分別是的的內(nèi)角與外角的平分線，于F，于E，連接分別交、于M、N，求證（4）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線12ACDB有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1與圖4-2所示。例4 如圖，, 1=2，求證：。BDCA例5 如圖，平分，且，求證：180。ABECD例6 如圖，、分別平分各，求證：。CAB練習(xí)：1. 已知

10、，如圖，2A，2。求證：是直角三角形。ABDC122已知：如圖，2，1=2，求證：AEBDC3已知、是的角平分線，60，求證：ABCD4 已知：如圖在中，90，是的平分線，求證：(5)、且垂直一線段，應(yīng)想到、角平分線等腰三角形的中線例6如圖7，是等腰直角三角形，90，平分交于點(diǎn)D，垂直于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：2。證明：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，在與中，1=2，90，從而2。又1+3+90，故1=3。在與中，1=3，90，2。注：此例中是等腰的底邊的中線。（六）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在中，60，的角平分線相交于點(diǎn)O，求證：2：（06鄭州市中考題）如圖，中，平分，且平分，于E，于F. （1）