2011年廣東高考數學理科試題及答案詳解(共11頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上2011年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）數學（理科）本試題共4頁，21小題，滿分150分，考試用時120分鐘。注意事項：1、 答卷前，考生務必用黑色自己的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、和考生號、試室號、座位號，填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2、 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3、 非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉

2、原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求做大的答案無效。4、 作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再做答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。5、 考生必須保持答題卡得整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：柱體的體積公式，其中為柱體的底面積，為柱體的高.線性回歸方程中系數計算公式,.其中表示樣本均值.是正整數，則）.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. 設復數滿足，其中為虛數單位，則=A B C D【解析】B;依題意得，故選B.2已知集合為實數,且,為實數,且,則的元

3、素個數為A0 B1 C2 D33. 若向量，滿足且，則A4 B3 C2 D0【解析】D;因為且,所以，從而，故選D.4. 設函數和分別是上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是A是偶函數B是奇函數C是偶函數D是奇函數【解析】A;依題意,故,從而 是偶函數，故選A.5. 在平面直角坐標系上的區(qū)域由不等式組給定，若為上的動點，點的坐標為，則的最大值為xyO2AA BC4 D3 【解析】C;目標函數即,畫出可行域如圖所示，代入端點比較之，易得當時取得最大值,故選C6. 甲、乙兩隊進行排球決賽，現在的情形是甲隊只要再贏一次就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概

4、率為A BC D【解析】D;設甲隊獲得冠軍為事件,則包含兩種情況:(1)第一局勝;(2)第一局負但第二局勝;故所求概率,從而選D7. 如圖13，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為A B C D【解析】B;該幾何體是以正視圖所在的平行四邊形為底面，高為 的四棱柱，又平行四邊形的底邊長為,高為,所以面積 ,從而所求幾何體的體積,故選B8.設是整數集的非空子集，如果有，則稱關于數的乘法是封閉的. 若,是的兩個不相交的非空子集，且有有，則下列結論恒成立的是A中至少有一個關于乘法是封閉的 B. 中至多有一個關于乘法是封閉的C. 中有且只有一個關于

5、乘法是封閉的 D. 中每一個關于乘法都是封閉的【解析】A;因為,故必有或,不妨設,則令,依題意對,有,從而關于乘法是封閉的;(其實到此已經可以選A了,但為了嚴謹,我們往下證明可以有一個不封閉以及可以兩個都封閉),取,則為所有負整數組成的集合,顯然封閉,但顯然是不封閉的,如;同理,若奇數，偶數，顯然兩者都封閉，從而選A二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分。 (一）必做題（9-13題）9. 不等式的解集是 .【解析】;解法一:原不等式或或,解得,從而原不等式的解集為.解法二(首選):的幾何意義為到點的距離與到點的距離的差,畫出數軸易得.解法三:不等式即,平方得,解得.

6、10. 的展開式中，的系數是 （用數字作答）【解析】;題意等價于求的展開式中的系數,令得,故所求系數為.11. 等差數列前9項的和等于前4項的和. 若，則_.【解析】由得,故.或者：12. 函數在_處取得極小值. 【解析】;,當或時，；當時，故當時，取得極小值.13. 某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm .因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為_cm.父親的身高(x)173170176兒子的身高(y)170176182 （2） 選做題（14 - 15題，考生只能從中選做一題） 14.（坐標系與參數方程選

7、做題）已知兩曲線參數方程分別為和，它們的交點坐標為 .來源:K15.(幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓于,，且=7，是圓上一點使得=5，=, 則= .三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟。16. (本小題滿分12分)已知函數（）求的值； （）設求的值. 【解析】（）；（）因為，所以，因為所以，又所以，所以. 17. (本小題滿分13分)為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽出取14件和5 件，測量產品中的微量元素的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產品的測量數據：編號12345x16

8、9178166175180y7580777081（）已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品數量；（）當產品中的微量元素x , y滿足x175，且y75時,該產品為優(yōu)等品。用上述樣本數據估計乙廠生產的優(yōu)等品的數量；（）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優(yōu)等品數的分布列及其均值（即數學期望）.【解析】（）乙廠生產的產品數量為件. （）樣本中滿足x175，且y75的產品有件,故樣本頻率為,則可估計乙廠生產的優(yōu)等品數量為件.（）的可能取值為,且,故的分布列為的數學期望.18.(本小題滿分13分) 如圖5,在椎體中,是邊長為1的菱形，且,分別是的中點. （）證明：平面;

9、 （）求二面角的余弦值.【解析】（）連接，xyzM 因為是邊長為的菱形，且， 是的中點，所以均為正三角形， 且， 所以 所以，從而， 取的中點，連接，因為，所以, 又，所以平面，所以 在中，因為分別是的中點，所以，所以 又，所以平面. （）解法一:由（）知為二面角的平面角,易得,在中,由余弦定理得所以二面角的余弦值為.解法二:先證明平面，即證明即可，在中，；在中，所以在中，在中，故為直角三角形，從而.建立空間直角坐標系如圖所示,則,所以,設平面的一個法向量為，則，從而，解得，令得顯然平面的一個法向量為，從而，所以二面角的余弦值為.19.(本小題滿分14分)設圓與兩圓中的一個內切，另一個外切.（

10、）求圓的圓心軌跡的方程;（） 已知點,且為上動點,求的最大值及此時點的坐標.【解析】（）設圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為,半徑為2； 圓的圓心為,半徑為2；依題意,有或 所以 所以圓的圓心軌跡是以原點為中心,焦點在軸上,焦距為,實軸長為的雙曲線, 因此,故軌跡的方程為. （）易得過點的直線的方程為, 聯立方程消去得,解得, 則直線與雙曲線的交點為, 因為在線段外,所以, 因為在線段內,所以, 若點不住上,則, 綜上, 的最大值為,此時點的坐標為.20.(本小題滿分14分)設,數列滿足,.（）求數列的通項公式；（）證明：對于一切正整數,【解析】（）由得, 當時, , 所以是以首項為,公差為的等差

11、數列, 所以,從而. 當時, ,所以是首項為,公比為的等比數列,所以,從而. 綜上所述,數列的通項公式為 （）當時,不等式顯然成立; 當時,要證,只需證,即證(*) 因為 所以不等式（*）成立，從而原不等式成立；綜上所述，當時，對于一切正整數, (解后反思)事實上如果利用多元基本不等式更簡單,21.（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系上,給定拋物線:,實數滿足,是方程的兩根，記. （）過點作的切線交軸于點.證明:對線段上任一點有 （）設是定點，其中滿足,.過作的兩條切線，切點分別為，與軸分別交與.線段上異于兩端點的點集記為.證明:;（）設.當點取遍時，求的最小值(記為)和最大值(記為).【解析】（）因為,所以,過點的切線方程為 即,從而,又在直線上,故,其中 所以方程為,解得, 由于,且同號,所以,所以 （）過點且切