函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明方法

1、函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明方法（1）定義法。用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是取值，設(shè)汨eD,且可之；作差，求工1）-/佃）；變形（合并同類項(xiàng)、通分、分解因式、配方等）向有利于判斷差值符號(hào)的方向變形；定號(hào)，判斷了（氏）-/（4）的正負(fù)符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，應(yīng)分類討論;下結(jié)論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論。例1.判斷函數(shù)網(wǎng)=ax工+ 1在（1, +00）上的單調(diào)性，并證明.解：設(shè)1<X1<X2,則f（X1）f（x2）=再+1-通+1白應(yīng)（弓+1）-ax2（x+1）=二，一.厘（演專）=Si+g+1）-.11<X1<X2,1. X1X2<0,X1+1>0,X2+1&

2、gt;0.當(dāng)a0時(shí)，f（X1）f（X2）0,即f（X1）f（X2）,，函數(shù)y=f（X）在（一1,十°°）上單調(diào)遞增.當(dāng)a0時(shí)，f（X1）f（X2）0,即f（X1）f（X2）,函數(shù)y=f（X）在（一1,十°°）上單調(diào)遞減.例2.證明函數(shù)在區(qū)間（-電一加和（亞+0°）上是增函數(shù)；在一石,0獷口（0,而上為減函數(shù)。（增兩端，減中間）證明:設(shè)。2近則用）-他）=吟-黃心-狽曦）因?yàn)?#176;畫石所以工1F0,01a,所歷W0所以所以.'一_所以.；一。JT微設(shè)"-/偽）一八）二%+士一一士二。3。一旦）則網(wǎng)勺工用,因?yàn)榭梢徊?0印白

3、，二1,所以1-20所以工再即占,所以.''_卜1：所以1|居二:同理，可得二二'J'工U二-.；T".口數(shù)：（2）運(yùn)算性質(zhì)法.在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).（增+增=增;減+減=M；增-減二增，減-增=減）若/“，則/與血具有相同的單謝性/恒為正（或恒為負(fù)）時(shí)，/與，有相反的單調(diào)性當(dāng)函數(shù).函數(shù)/與硝7）,當(dāng)。時(shí)，二者有相同的單詢性，當(dāng)以。時(shí)，二者有相反的單調(diào)性。運(yùn)用已知結(jié)論，直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)等。（3）圖像法.根據(jù)函數(shù)圖像的上升或下

4、降判斷函數(shù)的單調(diào)性。q2例3,求函數(shù)了=一1+IXI的單調(diào)區(qū)間。解：在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)的圖像得（如33所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為一一減區(qū)間為二_.（4）復(fù)合函數(shù)法.（步驟：求函數(shù)的定義域；分解復(fù)合函數(shù)；判斷內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)性.若集合M是內(nèi)層函數(shù)"=gQ）的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，則"便是原復(fù)合函數(shù)尸加的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，如例4；苴加不是內(nèi)層函數(shù)為二&的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，則需把M劃分成內(nèi)層函數(shù)"二g的若干個(gè)單調(diào)子區(qū)間，這些單調(diào)子區(qū)間便分別是原復(fù)合函數(shù)）二加（刈的單調(diào)區(qū)間，如例5.）設(shè)好/僅），"g工E樂句，HE網(wǎng)*B是單調(diào)函數(shù)

5、，則丁二上（刈在出句上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來確定，即“里外”函數(shù)增減性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。如下表：»=虱力y=fM增增增增減減減增減減減增例4.求函數(shù)y二后二的單調(diào)區(qū)間解原函數(shù)是由外層函數(shù)J=、口和內(nèi)層函數(shù)宜（2）復(fù)合而成的;易知0，+h）是外層函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間;u=（）-2>0/M11令2,解得X的取值范圍為（-電T；由于（-電-1是內(nèi)層函數(shù)2的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間，于是便是原函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間；根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的復(fù)合原則知，（-電T是原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。4y=例5求函數(shù)/X2的單調(diào)區(qū)間.4y=-2解原函數(shù)

6、是由外層函數(shù)笈和內(nèi)層函數(shù)H二X一工一2復(fù)合而成的;4易知（電。）和都是外層函數(shù)H的單調(diào)減區(qū)間;d7-2<。,解得X的取值范圍為（T，2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知不是內(nèi)層函數(shù)=的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，但可以把區(qū)間（一12）劃分成內(nèi)層函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)子區(qū)間審）調(diào)減區(qū)間，2是其單調(diào)增區(qū)間;于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的復(fù)合原則知,口2是原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,中）上是原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。同理，令"/f - 2>0,可求得（一電7）是原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，Q叫是原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。綜上可知，原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 電7和口單調(diào)減區(qū)間是修）和億域（5）含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題n>0力>0已知

7、函數(shù)/型當(dāng)”8時(shí)，討論函數(shù)/單調(diào)性。例.設(shè)工+1（先分離常數(shù)，即對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形，找到基本函數(shù)的類型，再分類討論.）解：由題意得原函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ磺伊硕x+iax+a+b-ab-a工+i+i-dt+7+7口 <8時(shí)，即6-”0時(shí), 當(dāng)堿的富在5川小嘰為減函數(shù);口>8時(shí)，即3-&<0時(shí)，函數(shù)/（幻二竺約在100,-1）,（-L+8）當(dāng)1+1上為增函數(shù)。（6）抽象函數(shù)的單調(diào)性.（抽象函數(shù)問題是指沒有給出解析式，只給出一些特殊條件的函數(shù)問題）常采用定義法.要充分利用已知條件，對(duì)變量進(jìn)行合理賦值，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明。例1已知函數(shù)/（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)工，J均有加+加/+川）.且當(dāng)工>。時(shí),/m>0,試判斷的單調(diào)性，并說明理由.解析:設(shè)小跖eR,且看I1，則Ho,故/8-工1）>o.他）網(wǎng)）=小二小X加1）/）他）.故了在（3,+笛）上為增函數(shù).例2.設(shè)f（x）定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)X:口時(shí)，/熾）>1,且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、V,有小+#"/力，求證：/在吐為增函數(shù)。證明：在"/5中取=y=°,得/="（。）若八0）=0,令K>0,尸=0,則八工）=0,與/:>1矛盾所以/10-0,即有八°）=1當(dāng)工。時(shí)，八力10.當(dāng)：-/w=時(shí)，1而二所