數(shù)學(xué)建模之包餃子問(wèn)題分析

1、數(shù)學(xué)建模包餃子問(wèn)題包餃子問(wèn)題分析摘 要在日常生活中我們經(jīng)常會(huì)遇到：同樣的產(chǎn)品，不同大小的包裝的時(shí)候，應(yīng)該選擇哪一種較為劃算；包餃子，包餛飩的時(shí)候，皮多了或者餡多的問(wèn)題，這個(gè)時(shí)候應(yīng)該把餃子或者餛飩包大一些還是包小一些才能把多余的皮或餡用完。這些問(wèn)題在直觀上不容易判斷出結(jié)果，因此需要建立模型來(lái)來(lái)觀察，以做出最佳選擇。關(guān) 鍵 詞包餃子 數(shù)學(xué)模型 實(shí)際問(wèn)題的抽象化正 文一、問(wèn)題提出設(shè)在包餃子的時(shí)通常1kg面和1kg餡包100個(gè)餃子，有一次餡多了0.4kg，問(wèn)能否將餃子包大一些或小一些將這些餡仍用1kg面用完？二、問(wèn)題分析這是一個(gè)日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，問(wèn)題的本質(zhì)就是里用同樣面積的餃子皮包更多的餃子餡。將

2、問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以做出兩個(gè)合理的假設(shè): 餃子皮的厚度一樣，也即是餃子皮的總面積不變；餃子餡的形狀都一樣，可以都看成球體，因?yàn)橥瑯颖砻娣e下球體的體積最大，可以包更多的餡。那么餃子包大一些時(shí)，餃子的個(gè)數(shù)就會(huì)減少，餃子包小一些時(shí)，餃子的個(gè)數(shù)就會(huì)增多。也就是可以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：總表面積一定的n（n=1，2，3）個(gè)球體，當(dāng)n取多少的時(shí)候可以使得所有球體的總體積最大。這里忽略了餃子皮的厚度。在解決這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，可以把問(wèn)題進(jìn)一步抽象到把得到的總體積與是情況比較，這樣問(wèn)題就可以的得到很大程度的簡(jiǎn)化。并且可以先定性的分析問(wèn)題，判斷是將餃子包大還是包小才能達(dá)到題目要求，然后可以設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)來(lái)模擬這個(gè)過(guò)程，通

3、過(guò)函數(shù)來(lái)觀察這個(gè)問(wèn)題。三、基本假設(shè)從上面的分析我們可以看到在實(shí)建立模型的時(shí)候，需要做出一些基本假設(shè)：1 餃子都是標(biāo)準(zhǔn)的球形的；2 餃子皮的厚度都一樣，也就是餃子皮的總面積是常數(shù)；3 每個(gè)餃子都是皮剛好把餡包起來(lái)，不多也不少；四、問(wèn)題處理時(shí)對(duì)應(yīng)的情況是:表面積為，體積為的一個(gè)球體；在一般情況下對(duì)應(yīng)的情況則為：表面積為，體積為的個(gè)球體。個(gè)小球體，表面積體積=1時(shí)，大球體，表面積體積=1時(shí)的大球體，此時(shí)有：， 個(gè)小球體時(shí)，此時(shí)有：， 此時(shí)則有：， 由上式可以得到結(jié)論，球體個(gè)數(shù)少，即值越小，所有球體的體積和最大。所以題目中的問(wèn)題答案是應(yīng)該包大一點(diǎn)，那樣才可以把餡用完。以上所做工作都是定性分析，得出來(lái)應(yīng)

4、該把餃子包大一些的定性結(jié)論，那么到底應(yīng)該包大多少，具體由應(yīng)該怎么來(lái)描述“變大”的餃子？要想得到問(wèn)題的答案，接下來(lái)就需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定量分析。根據(jù)前面的想法，可以用餃子的個(gè)數(shù)也即小球體的個(gè)數(shù)來(lái)定量的表觀餃子的大小。那么可以記所有球體的總體積為函數(shù)值，就可以通過(guò)以上分析得到與之間的函數(shù)關(guān)系：其中可以認(rèn)為為常數(shù)，因?yàn)闉樗星蝮w的總體積，對(duì)應(yīng)實(shí)際問(wèn)題中的表面積與所有餃子皮面積相等的球體，是一個(gè)固定不變的值。依題意有： 又可知多出kg餡后，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系為： 解方程可得：則聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題，值越小越好，且應(yīng)為正整數(shù)，所以取=51 。所以原問(wèn)題的解決方案是：把餃子包大，平且包成51個(gè)可以剛好用完所有餡。五、問(wèn)題

5、拓展日常生活常識(shí)告訴我們，把100個(gè)餃子包成51個(gè)餃子，那么那51個(gè)餃子將幾乎跟包子一樣了。因此很有必要對(duì)模型進(jìn)行一定量的修改，以使模型更加符合實(shí)際情況。在原來(lái)的假設(shè)中我們認(rèn)為每個(gè)餃子都是皮剛好把餡包起來(lái)，但是在實(shí)際問(wèn)題中這是不可能的。通過(guò)分析上面建立模型的過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵在于餃子的體積與表面積之間的函數(shù)關(guān)系，為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以在做出一個(gè)合理的假設(shè)，認(rèn)為體積與表面積的商是一個(gè)關(guān)于半徑的函數(shù)，進(jìn)一步可以認(rèn)為是關(guān)于餃子個(gè)數(shù)的函數(shù)，即則時(shí)有聯(lián)立兩式可得總體積與餃子個(gè)數(shù)的函數(shù)關(guān)系：則當(dāng)時(shí) 那么只要知道函數(shù)的表達(dá)式就可解出答案。六、模型評(píng)價(jià)通過(guò)數(shù)學(xué)思想的抽象化，得到了一個(gè)函數(shù)模型。很明顯這個(gè)

6、模型比較簡(jiǎn)單，基本不具有實(shí)用性，只能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性的考察，在對(duì)模型簡(jiǎn)單的修正，添加了函數(shù)后，是模型更加接近現(xiàn)實(shí)，有一定的實(shí)用性。但是總的來(lái)說(shuō)在建立模型的時(shí)候還是忽略了很多總要因素，需要進(jìn)一步的改進(jìn)。結(jié)論通過(guò)上面建立的模型，可以定性的得到結(jié)論，把餃子包大一些可以把多出的餡包完。附錄 人狼羊菜渡河問(wèn)題編程設(shè)計(jì)思路1、duhe（L,B,M,s）函數(shù)。用來(lái)實(shí)現(xiàn)渡河總函數(shù)。將起始矩陣A分別與可取運(yùn)載相加（使用二進(jìn)制法則），判斷相加后的矩陣C是否是。如果是，則渡河成功；否則，則用fuhe(C,M) 函數(shù)判斷C是否是可取狀態(tài)，如果是，則打印并將C與初始矩陣合并成新矩陣，繼續(xù)調(diào)用duhe.m函數(shù)。2、fuhe

7、(C,M)函數(shù)。判斷和矩陣C是否屬于矩陣M，如果是，則返回1，否則返回0。3、Panduan（S）函數(shù)。判斷S矩陣中是否有兩個(gè)相同的狀態(tài)，即行向量。如果有，則返回0，否則返回1.4、print(K,C,S)函數(shù)。打印相應(yīng)的狀態(tài)。源程序?yàn)椋?、xduhe.m文件clear;clc;A=1,1,1,1;B=1,0,1,0;1,1,0,0;1,0,0,1;1,0,0,0;M=1,1,1,0;0,0,0,1;1,1,0,1;0,0,1,0;1,0,1,1;0,1,0,0;1,0,1,0;0,1,0,1;duhe(A,B,M,1);2、duhe.m文件3、fuhe.m文件function y=fuhe(C,M)y=0;for i=1:8 if(C=M(i,:) y=1; break; endend4、Panduan.m文件function z=Panduan